本科階段固體物理期末重點(diǎn)計(jì)算題.

1、第一章 晶體結(jié)構(gòu)1. 氯化鈉與金剛石型結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子還是布拉維格子，各自的基元為何？寫出這兩種結(jié)構(gòu)的原胞與晶胞基矢，設(shè)晶格常數(shù)為a。解：氯化鈉與金剛石型結(jié)構(gòu)都是復(fù)式格子。氯化鈉的基元為一個(gè)Na+和一個(gè)Cl組成的正負(fù)離子對(duì)。金剛石的基元是一個(gè)面心立方上的原子和一個(gè)體對(duì)角線上的原子組成的原子對(duì)。由于NaCl和金剛石都由面心立方結(jié)構(gòu)套構(gòu)而成，所以，其元胞基矢都為：相應(yīng)的晶胞基矢都為：2. 六角密集結(jié)構(gòu)可取四個(gè)原胞基矢與,如圖所示。試寫出、這四個(gè)晶面所屬晶面族的晶面指數(shù)。解：(1)對(duì)于面，其在四個(gè)原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其晶面指數(shù)為。(2)對(duì)于面，其在四個(gè)原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其

2、晶面指數(shù)為。(3)對(duì)于面，其在四個(gè)原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其晶面指數(shù)為。(4)對(duì)于面，其在四個(gè)原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其晶面指數(shù)為。3. 如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球體可能占據(jù)的最大體積與總體積的比為：簡(jiǎn)立方：；體心立方：；面心立方：；六角密集：；金剛石：。證明：由于晶格常數(shù)為a，所以：(1)構(gòu)成簡(jiǎn)立方時(shí)，最大球半徑為，每個(gè)原胞中占有一個(gè)原子，(2)構(gòu)成體心立方時(shí)，體對(duì)角線等于倍的最大球半徑，即：，每個(gè)晶胞中占有兩個(gè)原子，(3)構(gòu)成面心立方時(shí)，面對(duì)角線等于倍的最大球半徑，即：，每個(gè)晶胞占有個(gè)原子，(4)構(gòu)成六角密集結(jié)構(gòu)時(shí)，中間層的三個(gè)原子與底面中心的那個(gè)原子恰構(gòu)成一

3、個(gè)正四面體，其高則正好是其原胞基矢的長(zhǎng)度的一半，由幾何知識(shí)易知。原胞底面邊長(zhǎng)為。每個(gè)晶胞占有兩個(gè)原子，原胞的體積為： (5)構(gòu)成金剛石結(jié)構(gòu)時(shí)，的體對(duì)角線長(zhǎng)度等于兩個(gè)最大球半徑，即：，每個(gè)晶胞包含8個(gè)原子，4. 金剛石結(jié)構(gòu)原子間的鍵間角與立方體的體對(duì)角線間的夾角相同，試用矢量分析的方法證明這一夾角為。證明：如圖所示，沿晶胞基矢的方向建立坐標(biāo)系，并設(shè)晶格常數(shù)為。選擇體對(duì)角線和，用坐標(biāo)表示為和。所以,其夾角的余弦為： 5. 試求面心立方結(jié)構(gòu)(110)和(111)晶面族的原子數(shù)面密度，設(shè)晶格常數(shù)為a。解：如圖所示，面ABCD即(110)面，面CDE即為(111)面。設(shè)該面心立方的晶格常數(shù)為a，則在(1

4、10)面內(nèi)選取只包含一個(gè)原子的面AFGD，其面積為，所以其原子數(shù)面密度為：在(111)面內(nèi)選取只包含一個(gè)原子的面DHIG，其面積為：，所以其原子數(shù)面密度為： 6. 若在面心立方結(jié)構(gòu)的立方體心位置上也有一原子，試確定此結(jié)構(gòu)的原胞，每個(gè)原胞內(nèi)包含幾個(gè)原子，設(shè)立方邊長(zhǎng)為a。解：這種體心立方結(jié)構(gòu)中有五種不同的原子。頂角、體心上的原子是兩種不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子兩兩一組，是互不相同的原子。故此種結(jié)構(gòu)共有五種不同的原子，整個(gè)面心立方就是一個(gè)原胞。每個(gè)原胞中的原子數(shù)為：（個(gè)）7. 底心立方（立方頂角與上、下底心處有原子）、側(cè)心立方（立方頂角與四個(gè)側(cè)面的中心處有原子）與邊心立方（

5、立方頂角與十二條棱的中點(diǎn)有原子）各屬何種布拉維格子？每個(gè)原胞包含幾個(gè)原子？解：這三種結(jié)構(gòu)都屬于簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)，原胞包含的原子數(shù)分別為：底心立方：側(cè)心立方：邊心立方：第二章1. 由實(shí)驗(yàn)測(cè)得NaCl晶體的密度為2.16g/cm3 , 它的彈性模量為2.14×1010 N/m2 ，試求NaCl晶體的每對(duì)離子內(nèi)聚能。（已知馬德隆常數(shù)M=1.7476, Na和Cl的原子量分別為23和35.45）解：NaCl晶體中Na+和Cl-的最近距離為晶胞基矢長(zhǎng)為 2， 一個(gè)晶胞中含有四對(duì)正負(fù)離子對(duì) 一個(gè)原胞（一個(gè)NaCl分子）的體積為： = NaCl晶體中的正負(fù)離子的平衡間距為： 由晶體體積彈性模量的公式：

6、，并且由于NaCl晶體為面心立方結(jié)構(gòu)，參數(shù)=2，故由上式可得： = =7.82由平衡時(shí)離子晶體的內(nèi)聚能公式：， 將n=7.82代入得NaCl晶體的每對(duì)離子的內(nèi)聚能為： = 2. LiF晶體具有NaCl結(jié)構(gòu)，已由實(shí)驗(yàn)測(cè)得正負(fù)離子間的最近距離=0.2014nm(1摩爾的內(nèi)聚能1012.8kJ/mol, 以孤立離子系統(tǒng)的內(nèi)能為能量的零點(diǎn))。試計(jì)算該晶體的體積彈性模量，并與它的實(shí)驗(yàn)植進(jìn)行比較。 解：由平衡時(shí)離子晶體的內(nèi)聚能公式：，其中M=1.784 計(jì)算1mol的內(nèi)聚能時(shí)，N=Na=6.02×1023 ，且=0.2014，計(jì)算得： n= = =6.33 LiF晶體具有NaCl結(jié)構(gòu)，將 =2，

7、n =6.33, =0.2014代入上式得：晶體的彈性模量為: = 7.242×101 0 (N/m2)相對(duì)誤差為：3. 由氣體分子的實(shí)驗(yàn)測(cè)得惰性氣體Xe的倫納德瓊斯勢(shì)參數(shù)在低溫下Xe 元素形成面心立方的晶體，試求Xe晶體的晶格常數(shù)a,每個(gè)原子的內(nèi)聚能及體積彈性模量Bm。若對(duì)Xe晶體施加壓力。試在近似假定體積彈性模量不變的情況下，計(jì)算這些晶體的晶格常數(shù)a將變?yōu)槎嗌?？并求這時(shí)的內(nèi)聚能將變?yōu)槎嗌伲?解：原子間的平衡間距為 ：因結(jié)構(gòu)為立方晶體，則晶格常數(shù)為：每個(gè)原子的內(nèi)聚能為：體積彈性模量： =3.81×109 N/m2由體積彈性模量的定義式可知： 因?yàn)椋汗?P 晶格常數(shù) 內(nèi)聚能

8、 第三章1.一維單原子晶格，在簡(jiǎn)諧近似下，考慮每一原子與其余所有原子都有作用，求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)第個(gè)原子的勢(shì)能函數(shù)為其中，為與第個(gè)原子的相距的原子間的恢復(fù)力常數(shù)，為晶格常數(shù)。則，第個(gè)原子的受力為其中，利用了。第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 令其試解為代入運(yùn)動(dòng)方程得故，2. 聚乙烯鏈的伸張振動(dòng)，可以采用一維雙原子鏈模型來(lái)描述，原胞兩原子質(zhì)量均為，但每個(gè)原子與左右的力常數(shù)分別為和，原子鏈的周期為。證明振動(dòng)頻率為解：?jiǎn)捂I及雙鍵的長(zhǎng)分別為和，而原子與的運(yùn)動(dòng)方程分別為令這兩個(gè)方程的試解為把試解代入運(yùn)動(dòng)方程得有非零解的條件為解得利用，方程的解為晶體中的衍射1. 試證明面心立方與體心立方互為正倒格子。方法1：面

9、心立方： （1）由正格子和倒格子的轉(zhuǎn)換關(guān)系 （2）其中：得： （3）在體心立方中 （4）由（2）式可得 （5）比較（1）與（5），（3）與（4）便可得面心立方與體心立方互為正，倒格子。方法2：由方法一中的（1）可知正格子與倒格子之間存在如下關(guān)系： 由此可得面心立方的倒格子基矢： 同理可得體心立方的倒格子基矢： 比較可得面心立方和體心立方互為正倒格子。2. 為簡(jiǎn)單正交格子的基矢，試證明晶面族（h k l）的晶 面間距為解： 由知 可得： 再由中和的關(guān)系：可得： 得證。3. 設(shè)一二維格子的基矢,夾角a=，試畫出第一與第二布里淵區(qū)。二維倒格子基矢與正格子基矢間有如下關(guān)系： 解：令 中間矩形為第一布里

10、淵區(qū)，陰影部分為第二布里淵區(qū)。晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)1， 求一維單原子鏈的振動(dòng)模式密度，若格波的色散可以忽略，其具有什么形式，比較這兩者的曲線。解: 一維單原子鏈的晶格振動(dòng)的色散關(guān)系為 其中，此函數(shù)為偶函數(shù)，只考慮的情況，下式右邊乘2。區(qū)間振動(dòng)模式數(shù)目為其中，故色散關(guān)系為其中，為單鏈總長(zhǎng)，為晶格常數(shù)，因此，為原子個(gè)數(shù)。若格波沒(méi)有色散，既只有一個(gè)（愛(ài)因斯坦模型）。而且振動(dòng)模式密度函數(shù)滿足下面關(guān)系故，為函數(shù)色散關(guān)系的曲線圖如下：4. 金剛石（碳原子量為12）的楊氏模量為，密度。試估算它的德拜溫度解：德拜溫度為將，代入上式5. 試用德拜模型求晶體中各聲頻支格波的零點(diǎn)振動(dòng)能。解：在德拜模型中，縱波與

11、橫波的最大振動(dòng)頻率均為，其中?？v波的零點(diǎn)振動(dòng)能為同理，兩支橫波的零點(diǎn)振動(dòng)能均為故，總的零點(diǎn)振動(dòng)能為7. 和的原子量分別為23和37。氯化鈉立方晶胞邊長(zhǎng)為，在方向可以看作是一組平行的離子鏈。離子間距。晶體的楊氏模量為，如果全放射的光頻率與的光頻模頻率相等，求對(duì)應(yīng)的光波波長(zhǎng)（實(shí)驗(yàn)值為）。解：在一維雙原子鏈模型中，時(shí)，光頻模頻率為楊氏模量為故，光波波長(zhǎng)為 金屬電子論1. 導(dǎo)出一維和二維自由電子氣的能態(tài)密度。解：一維情形由電子的Schrödinger方程：得自由電子波函數(shù)解：且有：由周期性邊界條件： 得：在到區(qū)間： 那么：，其中：二維情形同上，由電子的Schrödinger方程：得自由電子波函數(shù)解：，且：由周期性邊界條件：得：，在到區(qū)間：那么：其中：2. He3是費(fèi)米子，液體He3在絕對(duì)零度附近的密度為0.081 gcm3。計(jì)算它的費(fèi)米能EF和費(fèi)米溫度TF。解：He3的數(shù)密度：其中m是單個(gè)He3粒子的質(zhì)量?？傻茫捍霐?shù)據(jù)，可以算得：EF 6.8577×1023 J = 4.28×104 eV.則：4.97 K.5. 銀是一價(jià)金屬，在T295 K時(shí)，銀的電阻率1.61×106·cm，在T20 K時(shí)，電阻