復(fù)變函數(shù)論50590PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論505901 1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2 2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)3、解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第1頁(yè)/共44頁(yè)對(duì)對(duì)于于復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn,21 n定義定義4.14.1)1 . 4(nns 21設(shè)設(shè). )( 部分和部分和ns若復(fù)數(shù)列若復(fù)數(shù)列,s存在有限極限存在有限極限即即,limssnn ,)1 . 4(s收斂于收斂于則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)并稱并稱 s1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第2頁(yè)/共44頁(yè)，的和的和)1 . 4( 1nns，無(wú)極限無(wú)極限若復(fù)數(shù)列若復(fù)數(shù)列), 2 , 1( nsn.

2、)1 . 4(發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1 . 4定理定理)1 . 4(211 nnn 則稱則稱nnniba 設(shè)設(shè), ), 2 , 1( n，為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)及及nnba的的充充要要條條件件為為：收收斂斂于于則則復(fù)復(fù)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)ibas )1 . 4(.11babannnn及及分別收斂于分別收斂于及及實(shí)級(jí)數(shù)實(shí)級(jí)數(shù) 記作記作 n 21第3頁(yè)/共44頁(yè)1111(),nnnnnnnnnaibSaibaabb即第4頁(yè)/共44頁(yè)111111()limlim()lim,lim= ,nnnkkkkknnkknnkknnnnnnnnznnnnkkaibaibAiBAiBSabiAaBbaabb證明： S由S，即第5頁(yè)/共44頁(yè)

3、說(shuō)明說(shuō)明 1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散問(wèn)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散問(wèn)題題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散問(wèn)題(定理定理4.1)1111()nnnnnnnnnabaib2、若實(shí)級(jí)數(shù)及中至少有一個(gè)發(fā)散，則復(fù)級(jí)數(shù)發(fā)散。第6頁(yè)/共44頁(yè). )1(1 1的收斂性的收斂性考察級(jí)數(shù)考察級(jí)數(shù) nnin解解 1 11 nnnna因?yàn)橐驗(yàn)?1121 nnnnb所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 例例1 1,發(fā)散發(fā)散,收斂收斂1( 1)() 2nnnin例如收斂。第7頁(yè)/共44頁(yè)101nnn11111| 1,| 11-q-1)3)0110lim1,(5) lim |a|1,(0).0| 1(6) lim0.(7) lim|

4、 1!pnnnnpnnknnnnppnqqqpppnnkNaqaqqn一些常用已知斂散性的級(jí)數(shù)和數(shù)列：（）、收斂，發(fā)散。（2）、收斂于發(fā)散。（ 、條件收斂，絕對(duì)收斂，發(fā)散。（4）、第8頁(yè)/共44頁(yè)例例 1 112？是否收斂是否收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnni解解 1112)1(11nnnnnini.原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)仍仍發(fā)發(fā)散散, 1 1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?nn,1)1(1收斂收斂雖雖 nnn 11nn 11)1(nnni第9頁(yè)/共44頁(yè)2 . 4定理定理收收斂斂的的充充要要條條件件為為：復(fù)復(fù)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))1 . 4(1 nn對(duì)任對(duì)任,0 給給, )( NN存在正整數(shù)存在正整數(shù)為為時(shí)且時(shí)且使當(dāng)使當(dāng)pNn 任

5、任何何正正整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，有有.|21 pnnn即復(fù)級(jí)數(shù)收斂等價(jià)于級(jí)數(shù)充分遠(yuǎn)的任意片段充分小。注：1n1nnnp、與的斂散性相同,即級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。第10頁(yè)/共44頁(yè)1n11llim0liim00,m,nnnnnnnnnnn所以復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的是等價(jià)命題：若則級(jí)數(shù)發(fā)散。必要條件從而收斂,1 p若取若取.|1 n則必有則必有注2、111lim0nnnn例如，但發(fā)散.第11頁(yè)/共44頁(yè)2 . 4定義定義，收收斂斂若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1|nn稱稱則則原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn為為，非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù) 稱稱為為.條件收斂條件收斂；絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1nnn1+5)21+526l

6、im|=lim|) |=lim()02l2im0nnnnnnnii 例如 （發(fā)散。(第12頁(yè)/共44頁(yè)n0n01n0+66161,lim|) ,q=1,888+661|)88+68nnnnnnnnnnniii（5）例如（5）等比級(jí)數(shù)|= （收斂,即級(jí)數(shù)（5）絕對(duì)收斂。第13頁(yè)/共44頁(yè)3 . 4定理定理：收收斂斂的的一一個(gè)個(gè)充充分分條條件件為為復(fù)復(fù)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))1 . 4(1 nn.|1收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn注意注意 ,1的的各各項(xiàng)項(xiàng)都都是是非非負(fù)負(fù)的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)由由于于 nn 應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法判定其收斂性應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法判定其收斂性.所以可（絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)本身也收斂）11|nnnn即級(jí)數(shù)收

7、斂收斂第14頁(yè)/共44頁(yè)比較法比值法（達(dá)朗貝爾判別法 ）根值法（柯西判別法 ）limnnnnnuuvlv（或）常用的有1limnnnuu nnnulim第15頁(yè)/共44頁(yè)n+1nn1n1|(1)!,lim0,!1|!nnnnnnnn例如級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。收斂。（ 為任一常復(fù)數(shù)）第16頁(yè)/共44頁(yè)1111211111(1)22(8 )34(2 )!(67 )1568(12 )（）、nnnnnnnnnnnnniinnnniinii練習(xí)：判別下列復(fù)級(jí)數(shù)的斂散性第17頁(yè)/共44頁(yè)定義定義4.34.3設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )()()(21zfzfzfn，上上有有定定義義的的各各項(xiàng)項(xiàng)均均在在點(diǎn)點(diǎn)集

8、集 E)2 . 4(上存在一上存在一且在且在 E, )(zf個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù), zE 上的每一點(diǎn)上的每一點(diǎn)對(duì)于對(duì)于均收均收級(jí)數(shù)級(jí)數(shù))2 . 4(, )(zf斂于斂于的和函數(shù)，的和函數(shù)，為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)則稱則稱)2 . 4()(zf記作記作1( )( ).nnf zfz2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnknnkSzfzzESzf z1( )( ).,lim( )( ) 令令：有有點(diǎn)集E稱為收斂域.第18頁(yè)/共44頁(yè)zENznN0,( , ), 有有nSzf z|( )( )|01| | 1.11( ),111( )lim( )lim11nnnnnnnnzz-zzSzzzS zSzz-z例如在內(nèi)收斂于事實(shí)上，

9、第19頁(yè)/共44頁(yè)一一般般地地說(shuō)說(shuō)，而且依而且依不僅依賴于不僅依賴于上述正整數(shù)上述正整數(shù)N. ),(zNNz ：賴于賴于：無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)有關(guān)而與有關(guān)而與只與只與一種重要的情形是一種重要的情形是zN, )(NN 即所謂即所謂一致收斂性：一致收斂性：稱為點(diǎn)點(diǎn)收斂.第20頁(yè)/共44頁(yè)定義定義4.44.4上有一個(gè)上有一個(gè)如果在點(diǎn)集如果在點(diǎn)集對(duì)于級(jí)數(shù)對(duì)于級(jí)數(shù)E, )2 . 4(),(zf函數(shù)函數(shù),0 使對(duì)任何給定的使對(duì)任何給定的N存在正整數(shù)存在正整數(shù)),(N 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn ,Ez 對(duì)一切的對(duì)一切的均有均有.| )()(|zSzfn ).()2 . 4(zfE 上一致收斂于上一致收斂于在在則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù))

10、2 . 4()()()(21 zfzfzfn第21頁(yè)/共44頁(yè)2、在E上一致收斂 在E上收斂注：1、收斂是局部概念，不同的z存在不同的N. 一致收斂是整體概念，即總對(duì)一個(gè)點(diǎn)集而 言，N是整個(gè)點(diǎn)集上公用的。比較 NznNzE0,( , ),收斂：有nSzf z|( )( )| 0,( ),一致收斂：有NznEN第22頁(yè)/共44頁(yè)3、欲證nnfz1( )在E上一致收斂，需對(duì)0,|( )( )|,lim0nnnnS zf zQQN 放放掉掉z z解解不不等等式式：其其中中求求出出 。z第23頁(yè)/共44頁(yè)nnnnnnnnnnnnnnnnnzSz+zzzS zSzzzz-zzzzr|SzS zzzzrr

11、r=Nrrzzrr2101( )1,( )lim( )111lim11| | |( )( )| |1|1|1 | |1lim011| |(1) ，其其中中，反反解解不不等等式式，得得 。例例如如在在上上一一致致收收斂。這是因?yàn)榈?4頁(yè)/共44頁(yè)nnnfzEzESzf z001000( ),|()()|.4、欲證在 非一致收斂,需找使 00000000,( ),|( )( )|0,( ),|()()|.一致收斂：有非一致收斂：及有nnNnNzESzf zNnNzESzf z比較：第25頁(yè)/共44頁(yè) 0000000000001000000000| | 11,| 11|()()| |1(1)()1.

12、1例如在內(nèi)不一致收斂。事實(shí)上，取取z有，但znnnnnnnzznNnN=znzSzf zzznnn00000000,( ),|()()|.非一致收斂：及有nNnNzESzf z第26頁(yè)/共44頁(yè)5 . 4定理定理)(柯西一致收斂準(zhǔn)則柯西一致收斂準(zhǔn)則充充要要上上一一致致收收斂斂于于某某函函數(shù)數(shù)的的在在點(diǎn)點(diǎn)集集級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)E)2 . 4(:條條件件是是,0 任任給給,)(NN 存存在在正正整整數(shù)數(shù)使使當(dāng)當(dāng),時(shí)時(shí)Nn 均均有有對(duì)對(duì)一一切切,Ez zfzfpnn | )()(|1.), 2 , 1( p)2 . 4()()()(21 zfzfzfn第27頁(yè)/共44頁(yè)充分條件，充分條件，可得出一致收斂的一個(gè)

13、可得出一致收斂的一個(gè)由柯西收斂準(zhǔn)則由柯西收斂準(zhǔn)則 ,即即級(jí)數(shù)準(zhǔn)則：級(jí)數(shù)準(zhǔn)則：強(qiáng)強(qiáng)優(yōu)優(yōu))(, ), 2, 1( nMn若有正數(shù)列若有正數(shù)列有有使對(duì)一切使對(duì)一切,Ez |( )|znnfzM放掉), 2, 1( n收斂，收斂，而且正項(xiàng)級(jí)數(shù)而且正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnM則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).)(1上絕對(duì)收斂且一致收斂上絕對(duì)收斂且一致收斂在集在集 Ezfnn 的的稱為復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù))(11zfMnnnn .優(yōu)級(jí)數(shù)優(yōu)級(jí)數(shù)(大M法)定理4.5第28頁(yè)/共44頁(yè)1+1+2+p121+1+2+p1+,|( )( )( )|( )|( )|+,( )Ennnnnnnnpnnpnnn

14、nnMnNMMMzEfzfzfzfzfzMMMfz 證明：已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則0, N,及 pN ，有有由柯西一致收斂準(zhǔn)則知在 一致收斂且絕對(duì)收斂。第29頁(yè)/共44頁(yè)注注： 優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則是一個(gè)被廣泛應(yīng)用的方法優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則是一個(gè)被廣泛應(yīng)用的方法. . 因?yàn)橐驗(yàn)樗雅袆e復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性轉(zhuǎn)化為它把判別復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性轉(zhuǎn)化為判判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性；另外，優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則同時(shí)；另外，優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則同時(shí)還可以判定還可以判定絕對(duì)收斂性絕對(duì)收斂性. .2例例級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nzzz21rz |在閉圓在閉圓.)1(上一致收斂上一致收斂 r.0 nnr優(yōu)級(jí)數(shù)優(yōu)級(jí)數(shù)因?yàn)樯鲜黾?jí)數(shù)有收斂的因?yàn)樯鲜黾?jí)數(shù)有收

15、斂的( ),|( )| | |,znnnnnnfzzfzzzr放掉即而正項(xiàng)級(jí)數(shù)0nnr收斂。從而0nnz一致收斂。第30頁(yè)/共44頁(yè)例如nnnn zn1!sin( |)在z平面上一致收斂。znnnnnnnnnnnnnnfzn znnnnnunnnunenn111!|( )| |sin( | |)|,!(1)!11(1)lim1!1(1)(1)放掉這是因?yàn)槎鴮?shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.（=(）第31頁(yè)/共44頁(yè)下述兩個(gè)定理和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行下述兩個(gè)定理和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行. .6 . 4定理定理,)(1上連續(xù)上連續(xù)的各項(xiàng)在點(diǎn)集的各項(xiàng)在點(diǎn)集設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)Ezfnn , )(zf并且一致收斂于并且一

16、致收斂于則和函數(shù)則和函數(shù)1( )( )nnf zfz.上連續(xù)上連續(xù)也在也在 E每個(gè) 在點(diǎn)集E上連續(xù),( )nfz即1( )= ( )nnfzf z在E上一致收斂于f (z)在E上連續(xù)第32頁(yè)/共44頁(yè)000000111,lim( )(),lim( )()lim( )zznnnzzzznnnzEf zf zfzfzfz即即有有（在一致收斂的條件下，zzn01lim 與與可可交交次次序序）第33頁(yè)/共44頁(yè)7 . 4定理定理,)(1上連續(xù)上連續(xù)的各項(xiàng)在曲線的各項(xiàng)在曲線設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)Czfnn , )(zfC 上一致收斂于上一致收斂于且在且在可可以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分：則則沿沿 C并并11( )( )(

17、 ).()nnCCCnnCf z dzfz dzfz dz 即與在一致收斂的條件下可交換次序)2 . 4()()()()(211 zfzfzfzfnnn第34頁(yè)/共44頁(yè)內(nèi)，內(nèi)，定義于區(qū)域定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dnzfn), 2, 1()( ,)2 . 4(收收斂斂?jī)?nèi)內(nèi)任任一一有有界界閉閉集集上上一一致致在在若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)D則稱則稱內(nèi)內(nèi)此級(jí)數(shù)在此級(jí)數(shù)在 D.內(nèi)閉一致收斂?jī)?nèi)閉一致收斂定義定義4.54.5D第35頁(yè)/共44頁(yè)8 . 4定理定理內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂在在圓圓級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)RazK |:|)2 . 4(的的充充要要條條件件為為：,R 只只要要對(duì)對(duì)任任意意正正數(shù)數(shù))2 . 4(級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).|:|

18、上上一一致致收收斂斂在在閉閉圓圓azK KK第36頁(yè)/共44頁(yè)證證必要性必要性.內(nèi)內(nèi)的的有有界界閉閉集集就就是是因因?yàn)闉镵K 充分性充分性在閉圓在閉圓級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)已知對(duì)任意已知對(duì)任意)2 . 4(,R 上一致收斂，上一致收斂， |:|azK內(nèi)內(nèi)任任意意有有界界閉閉集集，而而圓圓 K,上上都可包含在某個(gè)都可包含在某個(gè) K.|:|)2 . 4(內(nèi)閉一致收斂?jī)?nèi)閉一致收斂在在從而級(jí)數(shù)從而級(jí)數(shù)RazK KK第37頁(yè)/共44頁(yè)例如，例如， 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù) nzzz21,1|時(shí)此級(jí)數(shù)收斂時(shí)此級(jí)數(shù)收斂當(dāng)當(dāng) z.但不一致收斂但不一致收斂,2知知而由例而由例| 1.z 及定理4.8知它在單位圓內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂,顯然顯然內(nèi)內(nèi)閉內(nèi)內(nèi)閉內(nèi)一致收斂的級(jí)數(shù)必在內(nèi)一致收斂的級(jí)數(shù)必在在區(qū)域在區(qū)域DD,一致收斂一致收斂.但其逆不成立但其逆不成立第38頁(yè)/共44頁(yè)3、解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的魏爾斯特拉斯定理魏