復(fù)振幅分布的角譜理論及菲涅耳衍射PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)振幅分布的角譜理論及菲涅耳衍射復(fù)振幅分布的角譜理論及菲涅耳衍射n 復(fù)振幅分布的角譜復(fù)振幅分布的角譜, , , ,exp2xyxyU x y zA ffzU x y zjxfyfdxxdyy 對(duì)復(fù)振幅在平面上作傅立葉變換，得,x, ,(angular spectrum)yyA ffzUy z則稱為復(fù)振幅分布的角譜。不同傳播方則可以看作的平向面波的疊加。, ,exp2xyxyxyU x y zA ffzjxfyfdf df 相應(yīng)地，coscos,coscoscoscos, ,e2,xpxyffAzU x y zjxydxdy由于則上式還可以寫為顯然，空間頻譜與平面波傳播方向的角度有關(guān)系，

2、故稱之為角譜。第1頁(yè)/共22頁(yè)n 平面波角譜的傳播平面波角譜的傳播根據(jù)上面的分析，我們有下面兩式:0coscoscoscos, ,0,0 exp2coscos 0 Ux yAxyddzj 處：coscoscoscos, ,exp2coscos U x y zAzjxydzzd 處：第2頁(yè)/共22頁(yè)coscoscoscos,0AzA： 找出與我們的其初始值之目的間的關(guān)系。復(fù)振幅分布及其傳播示意圖如下：第3頁(yè)/共22頁(yè)n 數(shù)學(xué)推導(dǎo)數(shù)學(xué)推導(dǎo)22 , ,0 Helmho l tz kU x y z 我們知道，平面波的復(fù)振幅必須滿足即方程，22222, , 1coscos0 U x y zdAkAdz代

3、入的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得22 coscoscoscos,exp1c oscosAzCjkz求解，可得 coscoscoscos,0, 0,ACz當(dāng)時(shí)，有第4頁(yè)/共22頁(yè)22 coscoscoscos,0 exp1cos cosAzAjkz因此，我們有此即平面波角譜的傳播。222coscos1cos1 一般上，根據(jù)方向余弦條件，知 。22coscos1evanescent wave但是，也是可能的，只不過(guò)此時(shí)的光波損耗大，傳播不遠(yuǎn)，易故常稱為（逝波）。第5頁(yè)/共22頁(yè)22 coscoscoscos,0 exp1cos cosAzAjkz角譜的傳播：0 ,xyxyxyA ffAffHff把上式改寫為熟悉

4、的形式（線性不變系統(tǒng)）：222022coscos ,coscos ,0exp1, ,0 1 xyxyxyyyxxA ffAzAffAjfkzffffHf當(dāng)其他情形中： 式第6頁(yè)/共22頁(yè)22222exp1, ,0 1 xyxyxyjkzffHffff傳遞函數(shù)的表達(dá)式有當(dāng) 其他情形兩層含義：1（1）在標(biāo)量衍射近似條件下，我們可忽略易逝波。（2）只能傳遞頻率小于，或者物體細(xì)度大于 的信息。普通光學(xué)材料制作的相機(jī)因此，是不能拍攝小于 的物體的。metamaterials但是，最近出現(xiàn)的將會(huì)顛覆這一傳統(tǒng)概念，由于其能收集易逝波，因此由其制作的相機(jī)將能拍攝小于 的物負(fù)折射率材料（超級(jí)體俗稱（）透鏡）。第

5、7頁(yè)/共22頁(yè)0z 如右圖所示，在處有一個(gè)無(wú)窮大的不透明屏，其上開(kāi)一孔 ，則該孔的透射系數(shù)為n 衍射孔徑對(duì)角譜的作用衍射孔徑對(duì)角譜的作用, ,0 , ,0itUx yUx y已知沿z傳播的光波，在小孔的復(fù)振幅分布為則緊靠小孔前端面后端面的復(fù)振幅為1, ,0 , tx yx y位于 內(nèi)其他情況， , ,0, ,0,tiUx yUx yt x y第8頁(yè)/共22頁(yè)兩邊做傅立葉變換，得衍射由于的性質(zhì)，因此入射光波經(jīng)小孔后會(huì)發(fā)生效應(yīng)，產(chǎn)生額外的光頻分量。（不同的傳播方卷積運(yùn)算具有展寬頻向?qū)?yīng)不同譜的頻譜）coscoscoscoscoscos,tiAATcoscos,T式中為孔徑函數(shù)的傅立葉變換。第9頁(yè)/

6、共22頁(yè)n 標(biāo)量衍射理論的背景知識(shí)標(biāo)量衍射理論的背景知識(shí)167818181882 （1）經(jīng)典的標(biāo)量衍射理論最初由于年提出。年引入干涉的概念補(bǔ)充了惠更斯原理；年采用球面波來(lái)求解波動(dòng)方程，導(dǎo)出了嚴(yán)惠更斯菲涅耳基爾霍夫標(biāo)量衍格的射公式。（2）衍射理論要解決的問(wèn)題是：光場(chǎng)中任意一點(diǎn)的復(fù)振幅能否用光場(chǎng)中其它各點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來(lái)。（3）提出的子波干涉原理與求解波動(dòng)方程所得的結(jié)果一致，都可以表示惠更斯菲成類似的涅爾基爾霍夫衍射公式。第10頁(yè)/共22頁(yè)n 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式 0 jkreU PC U P Kdsr基爾霍夫衍射公式： cos,cos,1; 2jCKCK復(fù)常數(shù) 和傾斜因子由下面兩式給

7、出：n rn r0U PPP式中，為衍射孔徑內(nèi)的復(fù)振幅分布，為點(diǎn)光源， 為孔徑后面的任一觀察點(diǎn)。0P（為指向 點(diǎn)的徑矢為 面的法方向）、，線rrn第11頁(yè)/共22頁(yè)n 基爾霍夫衍射公式的化簡(jiǎn)基爾霍夫衍射公式的化簡(jiǎn)首先，孔徑陰影部分的場(chǎng)分布為0，因此可以把積分區(qū)間擴(kuò)展至無(wú)窮，即 01 jjkrU PU P Kedsr cos,cos1,Kn r 其次，化簡(jiǎn)傾斜因子。由于點(diǎn)光源非常遠(yuǎn)，我們有 cos,cos 0111 12 n rK 同樣，若觀察點(diǎn)也離孔徑較遠(yuǎn)（遠(yuǎn)大于孔徑大?。?，此時(shí)因此第12頁(yè)/共22頁(yè)n 基爾霍夫衍射公式的化簡(jiǎn)（續(xù)基爾霍夫衍射公式的化簡(jiǎn)（續(xù)）22200220011 122rzx

8、xyyxxyyzzz0002200001,exp, exp2U x yjkzUxyj zkjxxyydx dyz利用上面的公式，我們最后得(此形菲涅耳衍式稱射公式又)000,PPxyx y然后，設(shè) 的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，我們有第13頁(yè)/共22頁(yè)n 平面波角譜的衍射理論（平面波角譜的衍射理論（思路思路） 本書重點(diǎn)是從頻域上（即平面波角譜方法）來(lái)討論（1）衍射問(wèn)題。000,0 , Uxy前面已經(jīng)討論過(guò)頻域的角譜傳播問(wèn)題，在由已知平面上的光場(chǎng)分布可通過(guò)傅里葉變換得到其（角譜2）0000000,0,0 exp2xyxyA ffUxyjx fy fdx dy zz其后，可以求出它傳播到平面上的（角譜3）0

9、00, ,0Uxy最后，通過(guò)傅里葉逆變換進(jìn)而得到用已知的表示的衍射光場(chǎng)分布，從而得到空域中的衍（4）射公式。2222,0 exp1xyxyxyA ffzA ffjkzff第14頁(yè)/共22頁(yè)n 平面波角譜的衍射理論（平面波角譜的衍射理論（基本公式基本公式）, ,exp2,xyxyyxU x y zjxfyA fffzdf df根據(jù)上面的思路，我們有222200000002, ,0 exp1 exp2xyxyxyzU x y zUxyjffjfxxfyydf df dx dy返回到空域上，最終的表達(dá)式為22220 2(,0)ex p1 exp2xxyyxxyyjf xAff ydfjzfff df

10、此即平面波角譜衍射理論的基本公式。第15頁(yè)/共22頁(yè)n 平面波角譜的衍射理論（平面波角譜的衍射理論（應(yīng)用應(yīng)用）盡管推導(dǎo)出了平面波角譜衍射理論的基本公式，但是，依然不方便應(yīng)用，還需要進(jìn)一步化簡(jiǎn)。近場(chǎng)菲涅耳衍射區(qū)（）和夫瑯和費(fèi)衍射化簡(jiǎn)區(qū)的準(zhǔn)則：（遠(yuǎn)場(chǎng)）第16頁(yè)/共22頁(yè)n 菲涅耳衍射區(qū)菲涅耳衍射區(qū)（菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式）22220max0maxmaxmax zxyzxy在菲涅耳衍射區(qū)，我們通常菲涅耳有(及衍射條件)00cos1,cos1xyxxyyffzz這樣，假定孔徑和觀察平面之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑的線度，并且只對(duì)軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)即進(jìn)行觀察。2222222 1112xyxyffff

11、因此，做泰勒二次展開(kāi)，推得第17頁(yè)/共22頁(yè)220000000, ,exp(),0 exp exp2xyxyxyU x y zjkzUxyjz ffjfxxfyydf df dx dy基本代入平面波角譜衍射理式論中，化簡(jiǎn)得公2222expexp21 expxyxyxyjz ffjf xf ydf dfjxyj zz另外，利用的傅里葉變換及高斯函數(shù)相似性定理有000220000exp, ,0 expjkzU x y zUxyj zjxxyydx dyz基本公式菲涅耳衍射公所以，最終化簡(jiǎn)為(此即為式形式)第18頁(yè)/共22頁(yè)200000002exp, expzjkzjxxyyU x yUxyj zdx dyz菲涅耳衍射（基公式，本形式）已掉：略坐標(biāo)n 菲涅耳衍射公式另一常用形式菲涅耳衍射公式另一常用形式2222000000000exp22 exp() expexp( ),2 jkkjxyzkjxyjxxyyzU x yzzUxyj zdx dy對(duì)上面黑色部分展開(kāi)，常用得菲涅耳衍射的另形式一第19頁(yè)/共22頁(yè)22222 21 18 xyzff菲涅耳衍射公式成立的條件為n 菲涅耳衍射公式成立條件菲涅耳衍射公式成立條件222002221 ()()18zxxyyzz因此，我們有 23222220001max0222