重慶大學(xué)理論力學(xué)第12章

1、12-1 動力學(xué)普遍定理動力學(xué)普遍定理動力學(xué)的普遍定理：動力學(xué)的普遍定理： 1、動量定理、動量定理 2、動量矩定理、動量矩定理 3、動能定理、動能定理 應(yīng)用動力學(xué)普遍定理解決實(shí)際問題時，不但應(yīng)用動力學(xué)普遍定理解決實(shí)際問題時，不但運(yùn)算方法簡便而且給出了明確的物理概念，便于運(yùn)算方法簡便而且給出了明確的物理概念，便于更深入地了解機(jī)械運(yùn)動的性質(zhì)。更深入地了解機(jī)械運(yùn)動的性質(zhì)。 速度或位移和力發(fā)生關(guān)系速度或位移和力發(fā)生關(guān)系 12-2 質(zhì)點(diǎn)的動量定理質(zhì)點(diǎn)的動量定理 為動量，則說明：質(zhì)點(diǎn)的動量對時間的變化率為動量，則說明：質(zhì)點(diǎn)的動量對時間的變化率等于作用于該質(zhì)點(diǎn)上的等于作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力力-質(zhì)點(diǎn)的動量定理質(zhì)點(diǎn)

2、的動量定理。 vmP12-2 質(zhì)點(diǎn)的動量定理質(zhì)點(diǎn)的動量定理令令 為為 時間間隔內(nèi)的時間間隔內(nèi)的 沖量沖量 質(zhì)點(diǎn)的動量定理或沖量定理：質(zhì)點(diǎn)的動量定理或沖量定理：質(zhì)點(diǎn)的動量在任一時間內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)的動量在任一時間內(nèi)的變化，等于在同一時間內(nèi)作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力的沖量。變化，等于在同一時間內(nèi)作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力的沖量。 質(zhì)點(diǎn)的動量定理在直角坐標(biāo)軸上的投影為：質(zhì)點(diǎn)的動量定理在直角坐標(biāo)軸上的投影為： 如果如果 如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在某軸上投影恒等于零，則該如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在某軸上投影恒等于零，則該質(zhì)點(diǎn)的動量在此軸上的投影保持不變。質(zhì)點(diǎn)的動量在此軸上的投影保持不變。 顯然：如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力恒等于零，則該質(zhì)點(diǎn)的

3、顯然：如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力恒等于零，則該質(zhì)點(diǎn)的動量保持不變動量保持不變質(zhì)點(diǎn)的動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的動量守恒定律。 12-3 質(zhì)點(diǎn)系的動量定理質(zhì)點(diǎn)系的動量定理每個質(zhì)點(diǎn)滿足動量定理：每個質(zhì)點(diǎn)滿足動量定理： 則對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)滿足動量定理進(jìn)行求和：則對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)滿足動量定理進(jìn)行求和： 令令 ，表征整個質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動強(qiáng)度的一種度量。，表征整個質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動強(qiáng)度的一種度量。 又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋何⒎中问降馁|(zhì)點(diǎn)系動量定理：微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動量定理：質(zhì)點(diǎn)系動量對時間的變化率質(zhì)點(diǎn)系動量對時間的變化率等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和，與內(nèi)力無關(guān)等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和，與內(nèi)力無關(guān)質(zhì)點(diǎn)系動量定理：質(zhì)點(diǎn)

4、系動量定理：質(zhì)點(diǎn)系動量在任一時間內(nèi)的變化，等于質(zhì)點(diǎn)系動量在任一時間內(nèi)的變化，等于在同一時間內(nèi)作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的沖量的矢量和在同一時間內(nèi)作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的沖量的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理，與內(nèi)力無關(guān)。，與內(nèi)力無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)系的動量定理積分形式在直角坐標(biāo)軸上的投影為：質(zhì)點(diǎn)系的動量定理積分形式在直角坐標(biāo)軸上的投影為： 質(zhì)點(diǎn)系的動量定理微分形式在直角坐標(biāo)軸上的投影為質(zhì)點(diǎn)系的動量定理微分形式在直角坐標(biāo)軸上的投影為： 如果如果 如果作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力在某軸上投影恒等于零，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力在某軸上投影恒等于零，則該質(zhì)點(diǎn)系的動量在此軸上的投影保持不變。則該質(zhì)點(diǎn)系的動量在此軸上

5、的投影保持不變。 顯然：如果作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力恒等于零，則該質(zhì)顯然：如果作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力恒等于零，則該質(zhì)點(diǎn)系的動量保持不變點(diǎn)系的動量保持不變質(zhì)點(diǎn)系的動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動量守恒定律。 質(zhì)點(diǎn)系動量定理適合求解質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部相互作用復(fù)雜或質(zhì)點(diǎn)系動量定理適合求解質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部相互作用復(fù)雜或中間過程復(fù)雜的問題，比如流體的流動問題。中間過程復(fù)雜的問題，比如流體的流動問題。 12-4 質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心（質(zhì)量的中心），在地球表面的物體與重心重合，質(zhì)心（質(zhì)量的中心），在地球表面的物體與重心重合，但質(zhì)心和重心屬于兩個不同的概念。但質(zhì)心和重心屬于兩個不同的概念。，質(zhì)點(diǎn)系的動量定理為：質(zhì)點(diǎn)系的動量定理為：

6、 質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和。于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和。 質(zhì)心運(yùn)動定理在直角坐標(biāo)軸上的投影為：質(zhì)心運(yùn)動定理在直角坐標(biāo)軸上的投影為： 質(zhì)心運(yùn)動定理在自然坐標(biāo)軸上的投影為：質(zhì)心運(yùn)動定理在自然坐標(biāo)軸上的投影為： 如果如果 表明質(zhì)心的橫坐標(biāo)表明質(zhì)心的橫坐標(biāo) 不變或質(zhì)心沿不變或質(zhì)心沿x軸的運(yùn)動是勻速的。軸的運(yùn)動是勻速的。顯然：如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力恒等于零，則表明質(zhì)心處顯然：如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力恒等于零，則表明質(zhì)心處于靜止或作勻速直線運(yùn)動于靜止或作勻速直線運(yùn)動質(zhì)心運(yùn)動守恒質(zhì)心運(yùn)動守恒。質(zhì)心運(yùn)動定理雖然只給出了質(zhì)心

7、的運(yùn)動規(guī)律與所受外力的質(zhì)心運(yùn)動定理雖然只給出了質(zhì)心的運(yùn)動規(guī)律與所受外力的關(guān)系，但是一個非常重要的定理，可以解釋很多物理現(xiàn)象關(guān)系，但是一個非常重要的定理，可以解釋很多物理現(xiàn)象問題。問題。剛體的平動，剛體的平面運(yùn)動，質(zhì)心運(yùn)動定理就給出了剛剛體的平動，剛體的平面運(yùn)動，質(zhì)心運(yùn)動定理就給出了剛體的質(zhì)心的運(yùn)動情況。體的質(zhì)心的運(yùn)動情況。1、根據(jù)已知條件和欲求參數(shù)確定研究對象，應(yīng)用動量定、根據(jù)已知條件和欲求參數(shù)確定研究對象，應(yīng)用動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理時，一般選系統(tǒng)作為研究對象。理和質(zhì)心運(yùn)動定理時，一般選系統(tǒng)作為研究對象。2、對所選研究對象作受力分析，判斷質(zhì)點(diǎn)系動量及質(zhì)心、對所選研究對象作受力分析，判斷質(zhì)點(diǎn)系動

8、量及質(zhì)心是否守恒或某一軸是否守恒。是否守恒或某一軸是否守恒。3、對研究對象作運(yùn)動分析，建立坐標(biāo)系，確定作用始末、對研究對象作運(yùn)動分析，建立坐標(biāo)系，確定作用始末狀態(tài)瞬時動量或任一瞬時質(zhì)心的坐標(biāo)。狀態(tài)瞬時動量或任一瞬時質(zhì)心的坐標(biāo)。4、根據(jù)動量定理或質(zhì)心運(yùn)動定理建立動力學(xué)方程，一般、根據(jù)動量定理或質(zhì)心運(yùn)動定理建立動力學(xué)方程，一般采用投影式。采用投影式。5、解方程，對結(jié)果進(jìn)行討論和分析。、解方程，對結(jié)果進(jìn)行討論和分析。注意：應(yīng)用動量定理時，應(yīng)考慮絕對運(yùn)動。注意：應(yīng)用動量定理時，應(yīng)考慮絕對運(yùn)動。hmy例例12-1 物塊的質(zhì)量物塊的質(zhì)量 ，從高度，從高度 處自由下處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變形，

9、歷時落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變形，歷時 ；求：物塊對于工件的平均壓力。求：物塊對于工件的平均壓力。解：以物塊作為研究對象，解：以物塊作為研究對象，以始末位置作為時間段以始末位置作為時間段則物塊對于工件的平均壓力與則物塊對于工件的平均壓力與 大小相等，方向相大小相等，方向相反，可見約為物塊重量的反，可見約為物塊重量的56倍。倍。例例12-2 12-2 電動機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和外殼電動機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和外殼的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 。定子和機(jī)殼質(zhì)心。定子和機(jī)殼質(zhì)心 ，轉(zhuǎn)子質(zhì)心，轉(zhuǎn)子質(zhì)心 ， ，角速度，角速度 為常量。求為常量。求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力。基

10、礎(chǔ)的水平及鉛直約束力。得得解：解：由由方向：方向：動約束力動約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動約束力附加動約束力本題的附加動約束力為本題的附加動約束力為方向：方向：電機(jī)不轉(zhuǎn)時，電機(jī)不轉(zhuǎn)時， ， 稱稱靜約束力靜約束力；電機(jī)轉(zhuǎn)動時約束力稱電機(jī)轉(zhuǎn)動時約束力稱動約束力動約束力，上面給出的是動約束力。，上面給出的是動約束力。例例12-3 12-3 設(shè)有一不可壓縮的理想流體，即忽略內(nèi)摩擦力的設(shè)有一不可壓縮的理想流體，即忽略內(nèi)摩擦力的流體，在變截面曲管內(nèi)作定常流動，即流體速度在管內(nèi)的流體，在變截面曲管內(nèi)作定常流動，即流體速度在管內(nèi)的分布不隨時間而變，流體的密度為分布不隨時間而變，流體的密度為

11、，體積流量即單位，體積流量即單位時間內(nèi)流經(jīng)管道某截面的流體體積為時間內(nèi)流經(jīng)管道某截面的流體體積為 。求：管壁所受附加動壓力。求：管壁所受附加動壓力。流體所受外力如圖：流體所受外力如圖：解：解： 內(nèi)流過截面的質(zhì)量及動量變化為內(nèi)流過截面的質(zhì)量及動量變化為：由動量定理，有：由動量定理，有：為靜約束力；為靜約束力； 為附加動束力為附加動束力則流體對管壁的動壓力與則流體對管壁的動壓力與 大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。對于不可壓縮流體作定常流動時，密度對于不可壓縮流體作定常流動時，密度 和和體積流量體積流量 均為常量，則：均為常量，則：則在已知流速及曲管尺寸后，則根據(jù)上述公式可以則在已知流速及曲

12、管尺寸后，則根據(jù)上述公式可以求管壁的總壓力及附加動壓力。求管壁的總壓力及附加動壓力。設(shè)設(shè)總壓力總壓力例例12-4 12-4 有一火箭，起飛前的總質(zhì)量為有一火箭，起飛前的總質(zhì)量為 ，其中燃，其中燃料的質(zhì)量為料的質(zhì)量為 ，設(shè)單位時間消耗的燃料質(zhì)量為，設(shè)單位時間消耗的燃料質(zhì)量為q，噴出的燃料氣體的相對速度為噴出的燃料氣體的相對速度為 ；不計(jì)空氣阻力，；不計(jì)空氣阻力，火箭在重力場中鉛垂向上飛行。火箭在重力場中鉛垂向上飛行。求：火箭速度的變化規(guī)律。求：火箭速度的變化規(guī)律。解：任意瞬時解：任意瞬時t 和和 時間內(nèi)，火箭本時間內(nèi)，火箭本身和噴出的氣體一起作為一個質(zhì)點(diǎn)系。身和噴出的氣體一起作為一個質(zhì)點(diǎn)系。任意

13、瞬時任意瞬時t ，火箭的質(zhì)量為火箭的質(zhì)量為m，速度為速度為v，則則動量為：動量為：在瞬時在瞬時 ， 火箭的質(zhì)量為火箭的質(zhì)量為 ，速度為速度為噴出的燃料氣體質(zhì)量為噴出的燃料氣體質(zhì)量為 ，其速度則為，其速度則為由質(zhì)點(diǎn)系的動量定理，有：由質(zhì)點(diǎn)系的動量定理，有：即為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。即為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。令令反推力反推力以地面發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，取以地面發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，取x軸鉛垂向上，則可以得到任軸鉛垂向上，則可以得到任一時刻一時刻t時：時：分離變量后積分：分離變量后積分：當(dāng)當(dāng) 時燃料燒完，這時火箭達(dá)到的速度為：時燃料燒完，這時火箭達(dá)到的速度為：例例12-5 12-5 有一長為有一長為 重為重

14、為W 的船，船上有重為的船，船上有重為P 的人，設(shè)人最初是在船上的人，設(shè)人最初是在船上A 處，后來沿甲板向右行走處，后來沿甲板向右行走，如不計(jì)水對船的阻力。，如不計(jì)水對船的阻力。求：當(dāng)人走到距求：當(dāng)人走到距A 處處x 處時，船向左方移動了多少？處時，船向左方移動了多少？解：將人和船視為質(zhì)點(diǎn)系，則作用力如圖：解：將人和船視為質(zhì)點(diǎn)系，則作用力如圖：顯然，各力在水平方向上顯然，各力在水平方向上的投影的代數(shù)和等于零，的投影的代數(shù)和等于零，又人最初為靜止的，則人又人最初為靜止的，則人和船構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的橫坐和船構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的橫坐標(biāo)標(biāo) 保持不變。保持不變。在在A A 處時，質(zhì)心的坐標(biāo)為：處時，質(zhì)心的坐標(biāo)為：

15、在在B B 處時，質(zhì)心的坐標(biāo)為：處時，質(zhì)心的坐標(biāo)為：質(zhì)點(diǎn)系的橫坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)系的橫坐標(biāo) 保持不變。保持不變。討論：（討論：（1 1）人向前走，船向后退，改變?nèi)撕痛\(yùn)動的力）人向前走，船向后退，改變?nèi)撕痛\(yùn)動的力是人與船間的摩擦力，這是質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力，因此內(nèi)力雖然是人與船間的摩擦力，這是質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力，因此內(nèi)力雖然不能改變質(zhì)心的運(yùn)動，但能改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。不能改變質(zhì)心的運(yùn)動，但能改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。（2 2）船向后退的距離取決于人走的距離）船向后退的距離取決于人走的距離x和人與船的重量和人與船的重量之比值之比值 ，比值越小則船移動的距離也越小。，比值越小則船移動的距離也越小。求：電機(jī)外殼的運(yùn)

16、動。求：電機(jī)外殼的運(yùn)動。例例12-6 12-6 地面水平，光滑，已知地面水平，光滑，已知 ， ， ，初始，初始靜止，靜止， 常量。常量。解：有定子、機(jī)殼和轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點(diǎn)系，解：有定子、機(jī)殼和轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點(diǎn)系，受力如圖所示：受力如圖所示：由由 顯然水平顯然水平x軸上各力的投影軸上各力的投影和等于零。則和等于零。則例例12-7 12-7 已知：已知： 為常量，均質(zhì)桿為常量，均質(zhì)桿OA OA = = AB AB = , = , 兩桿質(zhì)量皆為兩桿質(zhì)量皆為 ，滑塊，滑塊B B質(zhì)量質(zhì)量 。 求求: : 質(zhì)心運(yùn)動方程、軌跡及系統(tǒng)動量。質(zhì)心運(yùn)動方程、軌跡及系統(tǒng)動量。解：設(shè)解：設(shè) ，質(zhì)心運(yùn)動方程為，質(zhì)心運(yùn)動方程為消去消去t t得軌跡方程得軌跡方程系統(tǒng)動量沿系統(tǒng)動量沿x，y軸的投影為：軸的投影為：系統(tǒng)動量的大小為：系統(tǒng)動量的大小為：例例12-8 12-8 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄ABAB長為長為r r, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m1, ,假設(shè)受假設(shè)受力偶作用以不變的角速度力偶作用以不變的角速度轉(zhuǎn)動，并帶動滑