Ch11-3(機械振動)

1、第三篇第三篇 振動與波動學(xué)基礎(chǔ)振動與波動學(xué)基礎(chǔ)（Vibration and Wave Motion） 振動和波在力學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控振動和波在力學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控等各領(lǐng)域都占有重要的地位。人類生活在振動的世等各領(lǐng)域都占有重要的地位。人類生活在振動的世界里。界里。振動是波動的基礎(chǔ)，波動是振動的傳播。振動是波動的基礎(chǔ)，波動是振動的傳播。自然界自然界的振動的振動蜜蜂蜜蜂心跳心跳 本篇主要學(xué)習(xí)振動是波動的基礎(chǔ)知識，也是波動本篇主要學(xué)習(xí)振動是波動的基礎(chǔ)知識，也是波動光學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的基礎(chǔ)。光學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的基礎(chǔ)。 振動振動 某物理量在一定值附近往復(fù)變化的過程某物理量在一定值附近往復(fù)變

2、化的過程 稱為振動。如交流電壓、電流、鐘擺的擺動等。稱為振動。如交流電壓、電流、鐘擺的擺動等。 周期性振動周期性振動 在在 T 時間內(nèi)運動狀態(tài)能完全重復(fù)。時間內(nèi)運動狀態(tài)能完全重復(fù)。特點：特點：有平衡點，且具有重復(fù)性。有平衡點，且具有重復(fù)性。 機械振動機械振動 物體在某一位置附近來回往復(fù)的運物體在某一位置附近來回往復(fù)的運 動稱為機械振動。動稱為機械振動。特征特征 彈性力與慣性交互作用彈性力與慣性交互作用第十一章第十一章 機械振動機械振動（Mechanical Vibration / Oscillation ）圖圖 片片伽利略伽利略觀察觀察按系統(tǒng)參數(shù)特征分：按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線性、非線性振動線性、

3、非線性振動。 機械振動分類機械振動分類按產(chǎn)生振動原因分：按產(chǎn)生振動原因分：自由、受迫、自激、參變振動自由、受迫、自激、參變振動。按振動規(guī)律分：按振動規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機振動簡諧、非簡諧、隨機振動。按自由度分：按自由度分：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。按振動位移分：按振動位移分：角振動、線振動角振動、線振動。 其中簡諧振動是最基本的振動，存在于許多物理其中簡諧振動是最基本的振動，存在于許多物理現(xiàn)象中。現(xiàn)象中。按周期分：按周期分：周期振動、非周期振動周期振動、非周期振動。諧振動諧振動Dynamics of simple harmonic motion11-1

4、簡諧振動（簡諧振動（ Simple harmonic motion ） 一、簡諧振動的動力學(xué)特征一、簡諧振動的動力學(xué)特征研究：研究：（1）在怎樣的力的作用下物體作簡諧振動）在怎樣的力的作用下物體作簡諧振動（2）由力（力矩）求簡諧振動的動力學(xué)規(guī)律）由力（力矩）求簡諧振動的動力學(xué)規(guī)律kmoxX1. 受力情況：受力情況：kxf 物體在與位移成正比，方物體在與位移成正比，方向與位移相反的回復(fù)力作用下向與位移相反的回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的往復(fù)運動叫圍繞平衡位置的往復(fù)運動叫簡簡諧振動。諧振動。（2）平衡位置是物體靜止時受合力為零的點。）平衡位置是物體靜止時受合力為零的點。（equilibrium pos

5、ition）ZD_0說明：說明：（1）位移是相對平衡位置的；）位移是相對平衡位置的；諧振動諧振動諧振動的諧振動的動力學(xué)方動力學(xué)方程。程。2. 動力學(xué)方程動力學(xué)方程 彈簧振子彈簧振子 Spring / Harmonic OscillatorxTtTtTtTtt 43240kmoxXfgmN在水平方向上：在水平方向上：kxf 由牛頓第二定律，有：由牛頓第二定律，有：22dtxdmkx 令：令：,2 mk則有：則有：0222 xdtxd tOxkFxxxx0 v0 vmaxvmaxv0 v3. 簡諧振動的動力學(xué)定義簡諧振動的動力學(xué)定義若物理量若物理量 x，滿足，滿足, 0222 xdtxd 且且由系

6、統(tǒng)性質(zhì)由系統(tǒng)性質(zhì)決定，則稱物理量決定，則稱物理量 x 的運動為簡諧振動（較為廣泛，的運動為簡諧振動（較為廣泛，不僅適用于機械振動）不僅適用于機械振動）步驟：步驟： 1). 確定研究對象，分析受力。確定研究對象，分析受力。 2). 找出平衡位置，寫出回復(fù)力（或回復(fù)力矩）找出平衡位置，寫出回復(fù)力（或回復(fù)力矩） 的表達式。的表達式。3). 寫出動力學(xué)方程（利用牛頓第二定律或剛體寫出動力學(xué)方程（利用牛頓第二定律或剛體 定軸轉(zhuǎn)動定律）。定軸轉(zhuǎn)動定律）。Kinematics of simple harmonic motion二、簡諧振動的運動學(xué)特征二、簡諧振動的運動學(xué)特征1. 運動學(xué)方程運動學(xué)方程由：由：

7、0222 xdtxd 可解得：可解得：tCtCx cossin21 )cos( tAx或：或：一般寫成：一般寫成：)sin( tAx我們采用余弦形式我們采用余弦形式可見簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動可見簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動2. 描述簡諧振動的物理量（描述簡諧振動的物理量（A， )(1)振幅振幅A（Amplitude）：離開平衡位置的最大）：離開平衡位置的最大 距離（幅度、范圍）。距離（幅度、范圍）。 能量能量 EA2簡諧振動的運簡諧振動的運動學(xué)定義動學(xué)定義(2) 角頻率角頻率（Angular frequency）：振動的快慢）：振動的快慢周期周期T： Period)(cos)co

8、s( TtAtA 2 T頻率頻率： 2 T 21 T(3)相位（相位（ Phase ）：）： t描述運動狀態(tài)的量描述運動狀態(tài)的量 為初相位，為初相位，Initial Phase3. 簡諧振動的速度和加速度簡諧振動的速度和加速度由：由：)cos( tAx可求得速度和加速度?？汕蟮盟俣群图铀俣取?2 對彈簧諧對彈簧諧振子：振子：kmT 2 初相不同初相不同的諧振動的諧振動可得：可得：dtdxv )sin( tAdtdva )cos(2 tA以上結(jié)果表明：以上結(jié)果表明：(1) v，a 都是諧振動都是諧振動, 并且與并且與 x 的的相同相同(2)AaAv2maxmax , (3) a 與與 x 方向相

9、反，且成正比方向相反，且成正比為方便起見，把為方便起見，把 v、a 的表達式寫成：的表達式寫成：ZD_2由：由：)cos( tAxOtx, v, ax(t)v(t)a(t)cos( tAx)2cos( tAv)cos(2 tAa(4) 相位依次差相位依次差/24. 由初始條件確定振幅和初相位由初始條件確定振幅和初相位初始條件：初始條件：00 , 0vxt ) 1 (cos0 Ax sin0Av 寫為：寫為：)2(sin0 Av ZD_2Otx, v, ax(t)v(t)a(t),)2() 1 (22 得：得：220202 vxA 22020 vxA 得得： ),1/()2()/(00 xvtg

10、 即：即：)(arctg00 xv 尚需滿足（尚需滿足（1），（），（2）所決定的狀態(tài)。）所決定的狀態(tài)。小結(jié)：小結(jié)： （1）簡諧振動為周期振動）簡諧振動為周期振動（2）狀態(tài)由三要素）狀態(tài)由三要素 A， 決定決定（3） 由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)決定由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)決定 A， 由振動系統(tǒng)和初始條件共同確定由振動系統(tǒng)和初始條件共同確定簡諧振動簡諧振動的判據(jù)的判據(jù)02 xx （動力學(xué)方程動力學(xué)方程振動方程）振動方程）(1)cos( tAx（運動方程）（運動方程）(2)xkF （胡克定律）胡克定律）(3) 簡諧振動簡諧振動 定義定義 凡滿足下面方程凡滿足下面方程 (1)、(2)、(3)之一者即稱為簡諧振動（

11、理想無阻尼自由振動）。之一者即稱為簡諧振動（理想無阻尼自由振動）。 記筆記記筆記三、坐標(biāo)原點的選取對于振動方程的影響三、坐標(biāo)原點的選取對于振動方程的影響(以豎直彈簧振子為例以豎直彈簧振子為例)mgky 022dtydmmgkyF 022 gymkdtyd0)()(0022 yymkyydtdOO yymm0yxxO自由端，自由端， O 平衡位置平衡位置以以 O 為坐標(biāo)原點：為坐標(biāo)原點：)cos( tAx0yyx 0)cos(ytAy 在建立諧振子的振動方程時，選平衡位置為坐標(biāo)原在建立諧振子的振動方程時，選平衡位置為坐標(biāo)原點最合適。點最合適。OO yymm0yxx以以 O 為坐標(biāo)原點：為坐標(biāo)原點

12、：022 lgdtdlg sin222mgldtdml 例題例題1 單擺單擺 Simple Pendulum解：解：單擺受力如圖所示單擺受力如圖所示 sinmgFt 對懸掛點的力矩：對懸掛點的力矩： sinmglM 由：由： JM 若若很小，則有：很小，則有： sin即得：即得：0222 dtd若令：若令：.53sin53 ！ 但由于但由于擺角很小的單擺振動為諧振動擺角很小的單擺振動為諧振動mgmlT 單擺單擺例題例題2 復(fù)擺：復(fù)擺： 一長為一長為 l 的均勻細棒懸于其一端的的均勻細棒懸于其一端的 光滑水平軸上，如圖所示，作成一復(fù)擺。此擺作光滑水平軸上，如圖所示，作成一復(fù)擺。此擺作 微小擺動的

13、周期為？微小擺動的周期為？解：解：桿受力如圖所示，則桿受力如圖所示，則sin2lMmg 22sin2dtdJmgl 22231dtdml 很小，則：很小，則：0231222 lgdtdl即：即：02322 lgdtdlg232 故：故：glT322 O gml例題例題3 半徑為半徑為 R 的圓環(huán)靜止于刀口的圓環(huán)靜止于刀口 O 點上，令其在點上，令其在自身平面內(nèi)作微小擺動。證明其擺動為諧振動，并計自身平面內(nèi)作微小擺動。證明其擺動為諧振動，并計算其振動周期。算其振動周期。證明：證明：設(shè)圓環(huán)偏離角度為設(shè)圓環(huán)偏離角度為，則則o 2222mRmdmRJ 22dtdJJM ,sin RmgM RmgRmg

14、dtdmR sin2 22202 22 Rgdtd因此所作振動為諧振振動因此所作振動為諧振振動gRT22 )2( Rg 而而 實際上，任何一個稍微偏離平衡狀態(tài)的穩(wěn)定實際上，任何一個稍微偏離平衡狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，都可看成簡諧振子。對于物理學(xué)中的許系統(tǒng)，都可看成簡諧振子。對于物理學(xué)中的許多問題，諧振子都可以作為一個近似的或相當(dāng)多問題，諧振子都可以作為一個近似的或相當(dāng)精確的模型。精確的模型。 ZD_1晶格點陣晶格點陣Rotating vector method11-2 諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法)cos( tAx加速度與速度加速度與速度 在平面內(nèi)作一參考軸在平面內(nèi)作一參考軸OX，由原

15、點由原點 O 作一矢量作一矢量 （A 為為諧振動的振幅），使其以勻角諧振動的振幅），使其以勻角速度速度 繞繞 O 點逆時針轉(zhuǎn)動。點逆時針轉(zhuǎn)動。設(shè)在設(shè)在 時，時， 與與 OX 軸的軸的夾角為夾角為 ( 為初相位為初相位)，則，則 時刻時刻 A 矢量在矢量在 X 軸上的投軸上的投影的運動為簡諧振動：影的運動為簡諧振動：A 0 tA t)cos( tAxoA P旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量Mt )2cos( tAv)cos(2 tA ARv 方向如圖方向如圖t 時刻在時刻在 x 軸上的投影：軸上的投影：22 ARan)cos()cos(2 tAtaanxAx vnaOxa 簡諧振動的三個特征量都通過簡諧振動的三

16、個特征量都通過旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法表示出來，表示出來，用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題更用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題更直觀、更方便，必須掌握。直觀、更方便，必須掌握。輔助圓輔助圓例題例題1 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿 x 軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅 A = 0.12m，周期周期 T = 2s，當(dāng)，當(dāng) t = 0 時，質(zhì)點對平衡位置的位移時，質(zhì)點對平衡位置的位移 x0 = 0.06m，此時向，此時向 x 軸正向運動。軸正向運動。求：求：(1) 此振動的表達式。此振動的表達式。 (2) t = T/4 時，質(zhì)點的位置、速度、加速度。時，質(zhì)點的位置、速度、加速度。 (3) 從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間。從初始

17、時刻開始第一次通過平衡位置的時間。 解解：(1) 取平衡位置為坐標(biāo)原點取平衡位置為坐標(biāo)原點設(shè)設(shè))cos( tAx其中其中sT/2 A 亦為已知，只需求亦為已知，只需求 由由 t = 0 s 時，時，x0 = 0.06m，可得：，可得： cos0Ax 2112. 0 06. 0cos0/Ax 在在 到到 之間取值：之間取值：3 取哪一個值要看初始條件，由于：取哪一個值要看初始條件，由于：)sin( tAv所以：所以： sin0Av 由于由于 t = 0 時，質(zhì)點向正時，質(zhì)點向正 x 方向運動，所以方向運動，所以 v0 0因此，應(yīng)取因此，應(yīng)取3 于是，此簡諧振動的表達式：于是，此簡諧振動的表達式：

18、)3cos(12. 0 tx 利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解是很利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解是很直觀的，根據(jù)初始條件就可直觀的，根據(jù)初始條件就可畫出如圖所示的振幅矢量的畫出如圖所示的振幅矢量的初始位置，從而得到：初始位置，從而得到：3 O0 x0v x(2)sin( tAv)3sin(12. 0 t)cos(2 tAa)3cos(12. 02 t 將將 t = T/4 = 0.5s 代入上兩式，以及位移表達式，代入上兩式，以及位移表達式，可求得：可求得：時時st5 .0 mx104.0 smv/189. 0 2/03. 1sma 此時旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖：此時旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖：O0 x0v xA A(3) 通過平衡位置

19、時，通過平衡位置時，x = 0，由位置表達式，可得：，由位置表達式，可得：)3cos(12.00 t由此可得：由此可得： , 2 , 1 ,2)12(3 kkt / )6/( kt第一次通過，取第一次通過，取 k = 1，又由于，又由于=/s，所以：，所以：st83. 065 由振幅矢量圖可知，從起始由振幅矢量圖可知，從起始時刻到第一次質(zhì)點通過原點，時刻到第一次質(zhì)點通過原點，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：6/52/3/ t故：故：)6(5 ts83. 0 O0 x0v xA A例題例題2 以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，試寫出

20、其運動方程。如圖所示，試寫出其運動方程。0121 2 )(st)(cmxs1 解：解：設(shè)該簡諧振動的運動設(shè)該簡諧振動的運動方程為方程為)cos( tAx根據(jù)已知條件求出各量代入根據(jù)已知條件求出各量代入上式即可。上式即可。由圖可知，由圖可知，A=2cm，當(dāng)，當(dāng) t=0 時時)( 1cos20cmx ,21cos 32 所所以以因為：因為：v0 0，。所所以以 32 , 0sin ,sin0 故故Av畫出矢量圖：畫出矢量圖： 32 , 0 , 10 故故和和滿滿足足vx 又知又知 t = 1s 時，位移達到時，位移達到正的最大值，即：正的最大值，即：AA )1cos( 故：故： 2 342 因而有

21、：因而有：)3234cos(2 tx0121 2 )(st)(cmxs1x1 3232)(sin21212222 tmAmVEk 簡諧振動的勢能：簡諧振動的勢能： ) (cos2121222 tkAkxEp11-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量以以水平的彈簧振子水平的彈簧振子為例為例ZD_0) (sin2122 tkA 簡諧振動的動能：簡諧振動的動能：)cos()( tAtxmk / dxdEkxfp 彈彈性性力力pkEEE kmoxXpEkEt0T2T4T43TE)0( 222221) (cos) (sin21kAttkA pkEEE 簡諧振動的總能量：簡諧振動的總能量： 即總能量不隨時間變

22、化。彈即總能量不隨時間變化。彈性力是保守力總機械能守恒。性力是保守力總機械能守恒。AkEpEEA oZD_3說明：說明：a. Ek 與與 Ep 振幅相同，振幅相同，相同，相位相反。相同，相位相反。b. EA2 適用于一切振動的共適用于一切振動的共 同形式，同形式， A 反映了振動強弱。反映了振動強弱。c. Ek 與與 Ep 相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)不與外界交換能量，這相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)不與外界交換能量，這樣的系統(tǒng)叫樣的系統(tǒng)叫無阻尼自由振動系統(tǒng)。無阻尼自由振動系統(tǒng)。EkA21412 勢能的時間平均值：勢能的時間平均值： TdttkAT022) (cos211 動能的時間平均值：動能的時間平均值： TkdtmvTE02211EkAdttmATT2141)(sin21120222 TPdtkxTE02211 * * 振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。振動的強度。* * 任一簡諧振動總能量與振幅的平方任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比。成正比。* * 即彈簧振子的動能和勢能的平均值相即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。等，且等于總機械能的一半。 結(jié)論：結(jié)論：EkAEEP