極坐標下求加速度

1、極坐標系下速度與加速度的推導過程一、極坐標系（plane polar coordinates ）1 .極坐標系在參考系上取點O，引有刻度的射線OX稱為極軸（有方向的），建成極坐標系。矢徑：由參考點O引向質點位置A的線段長度OA由r表示矢徑。如圖示：r=匚明幅角：質點的位置矢量與極軸所夾的角 0 （也稱：極角）規(guī)定：自極軸逆時針轉至位置矢量的幅角為正，反之為負。（r , 0）確定平面上質點的位置，稱為極坐標。質點的運動學方程：廠=）、'=臾）質點的軌跡：r =沖）2 .極坐標系中矢量的正交分解如圖示：質點在A點，沿位置矢量方向稱為徑向徑向單位矢量：沿質點所在處位置矢量的方向橫向單位矢量：

2、與徑向方向垂直且指向&增加的方向。日任何矢量均可在 尸和9方向上作正交分解。注意：徑向和橫向隨地點而異。、徑向速度與橫向速度討論質點平面運動速度在極坐標系中的正交分解式，如圖示:(1 )用微元法推導速度設：t Tt+ Al時間內，圖中質點自A ( r, t)經(jīng)歷一微小的位移A產(chǎn)，到達+如+心)由速度的定義:-df A? (. ABV =lun =umdt 位to Ai 垃I。Air AC CB-hm1- hm MT。iMC 瓦位移 C石'對應于質點矢量的改變徑向位移；位移j4C*對應于質點相對于極點幅角的改變橫向位移。喝二E 一 r(f) . n 云 機)E T u時，m指向趨

3、于E?萬向。&二 十&) 一 rQ)r(H)=占芋廣I, S T 0時，耶指向趨于/(7方向。衣二，一 dr Ar 叩凝古山廿氣.福.v = = Lun r + lim B r + r 8 =尸尸 + 尸鬼員EQ &蛙3 垃成成故：速度的徑向分量：* =產(chǎn)，速度的徑橫向分量：* =海即：徑向速度等于矢徑對時間的變化率橫向速度等于矢徑與角速度的乘積。(2 )矢量運算法推導速度一 dF d (r?) dr - drP 二 F + F(5)di dl di di.dt對于徑向速度是矢徑的變化而引起的速度的大小。如圖所示的）和戶Q +心）是單位徑向方向，模的大小為1F"瑚-迪二心壓）0崩（步與知）垂直:一 （5）=> v = r + r = rr + r dt dtdr另外 dl的推導也可如下進行：fS 1%4r r = 1她頂）n dt濟 44建F二汗+方-0右端展開是：dfdt一如一巧=0即：小r垂直所以：擊。、加速度欠量用矢量法”推導加速度d® d«r dr drdr 二 d2r-二 d?r_邊一 dk技=帶- （/），徑向加速度分量dv Zdr* , da?*、二F = d（瓦r "釧女丘+ （廠業(yè)將dt di dr' 小邛位.業(yè)云+（業(yè).業(yè)+垃右+,業(yè)（一業(yè)）dr 熟甲 * dt dtAt1d/