知識(shí)講解導(dǎo)數(shù)的幾何意義基礎(chǔ)(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo)數(shù)的幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。2理解導(dǎo)數(shù)的全面涵義。3掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線的斜率。4會(huì)求過點(diǎn)（或在點(diǎn)處）的切線方程。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)幾何意義1. 平均變化率的幾何意義曲線的割線函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線AB的斜率。事實(shí)上，。換一種表述：曲線上一點(diǎn)及其附近一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、作曲線的割線， 則有。要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線的切線T圖1如圖1，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線

2、無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.定義：如圖，當(dāng)點(diǎn)沿曲線無限接近于點(diǎn)，即時(shí)，割線的極限位置直線叫做曲線在點(diǎn)處的切線。T也就是：當(dāng)時(shí)，割線斜率的極限，就是切線的斜率。即：。要點(diǎn)詮釋：（1）曲線上一點(diǎn)切線的斜率值只與該點(diǎn)的位置有關(guān)。（2）切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。（3）曲線的切線的斜率的符號(hào)可以刻畫函數(shù)的增減性。若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角，瞬時(shí)遞增；，切線與軸正向夾角為鈍角，瞬時(shí)遞減；，切線與軸零度角，瞬時(shí)無增減。 （4）曲線的切線可能和曲線有多個(gè)公共點(diǎn)；為什么要用割線的極限位置來定義切線

3、，而不說“與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線叫做切線？”過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線”，這個(gè)定義符合圓、橢圓等一類曲線，那么，能否對(duì)任何曲線C都用“與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”來定義C的切線呢？如圖1-1-2-1的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sin x的一部分，直線2顯然與曲線C有唯一公共點(diǎn)M，但我們不能說直線2與曲線C相切；而直線1盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，但我們可以說直線1是曲線C在點(diǎn)N處的切線。要點(diǎn)二、曲線的切線（1）用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟： 求出切點(diǎn)的坐標(biāo);求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)得切線方程（2）在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)（x0，y0）的切線的區(qū)別。在點(diǎn)處的

4、切線是說明點(diǎn)為此切線的切點(diǎn)；而過點(diǎn)（x0，y0）的切線，則強(qiáng)調(diào)切線是過點(diǎn)（x0，y0），此點(diǎn)可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)。因此在求過點(diǎn)（x0，y0）的切線方程時(shí)，先應(yīng)判斷點(diǎn)（x0，y0）是否為曲線上的點(diǎn)，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點(diǎn)，求過此切點(diǎn)的切線方程，再將點(diǎn)（x0，y0）代入，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求過點(diǎn)（x0，y0）的切線方程。要點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)函數(shù)定義：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí), 是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即: 要點(diǎn)詮釋： 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數(shù)

5、在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)x而言的，也就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。 （3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值。導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，所以 所以求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)值。導(dǎo)函數(shù)求法：由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：（1）.求函數(shù)的改變量。（2）.求平均變化率。（3）.取極限，得導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)四、導(dǎo)數(shù)的定義的幾種形式：割線的極限即為切線，即為導(dǎo)數(shù)，從這個(gè)幾何意義上看導(dǎo)數(shù)式可以有多種表達(dá)形式，如：；（或：；）。要點(diǎn)詮釋：只要是時(shí)，極限式所表示的是

6、割線的斜率（或其若干倍），就能表示為導(dǎo)數(shù)式?！镜湫屠}】類型一、求曲線的切線方程【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例1】例1曲線的方程為，那么求此曲線在點(diǎn)P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程. 【解析】 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)P（1，2）處的切線的斜率等于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出切線方程.由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，過點(diǎn)P的切線方程為，即.【總結(jié)升華】 求曲線上一點(diǎn)處切線的步驟：求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在處切線的斜率。由點(diǎn)斜式寫出直線方程：；如果y=f(x)在的切線平行于y軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知：切線方程為：.舉一反三：【

7、變式1】（2015春 儋州校級(jí)期末）過曲線圖象上一點(diǎn)（2，2）及鄰近一點(diǎn)（2+x，2+y）作割線，則當(dāng)x=0.5時(shí)割線的斜率為（ ）A B C1 D【答案】B【解析】當(dāng)x=0.5時(shí)，2+x=2.5，故，故。故選B?！咀兪?】已知函數(shù)f(x)x23，則f(x)在(2，f(2)處的切線方程為_【答案】f(x)x23，x02f(2)7，yf(2x)f(2)4·x(x)24x. 4.即f(2)4.又切線過(2,7)點(diǎn)，所以f(x)在(2，f(2)處的切線方程為y74(x2)即4xy10.【變式3】（2015春 濰坊期末）函數(shù) 的圖象在處的切線在軸上的截距為（ ） A. 10 B. 5 C.

8、D. 【答案】 【解析】 ， ，即切線的斜率為7，又 ，故切點(diǎn)坐標(biāo)（1,10）， 切線的方程為： ，當(dāng)時(shí)， ， 切線在軸上的截距為 。【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例2】例2求曲線經(jīng)過點(diǎn)的切線方程.【解析】 本題要分點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩類進(jìn)行求解.若點(diǎn)是切點(diǎn)，由得，則，于是切線方程為，即；若點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為：則切線率，所以解之得，所以，所以切線方程是，即.【總結(jié)升華】求切線方程，首先要判斷所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)。若是，可用求切線方程的步驟求解；若不是，可設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線方程。舉一反三：【變式1】 已知：函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，求：切線的方程。【

9、答案】 對(duì)于函數(shù)，由于點(diǎn)在函數(shù)圖象上，（1）當(dāng)點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，函數(shù)圖象在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，即：，切線方程為：；（2）當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)為切點(diǎn)，函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)（即切線的斜率）（）即：，即此時(shí)點(diǎn)為切點(diǎn)，此時(shí)切線方程為?！咀兪?】已知曲線。（1）求曲線過點(diǎn)A（1，0）的切線方程；（2）求滿足斜率為的曲線的切線方程。【答案】（1）設(shè)過點(diǎn)A（1，0）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以該切線的斜率為，切線方程為。 將A（1，0）代入式，得。所以所求的切線方程為y=4x+4。（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）知，切線的斜率為，則，。那么切點(diǎn)為或。所以所求的切線方程為或?！靖咔逭n堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例3】【變式

10、3】設(shè)函數(shù)，其中，為常數(shù)，已知曲線與在點(diǎn)（2,0）處有相同的切線.求的值，并寫出切線的方程.【答案】 由已知：且，因?yàn)樗缘姆匠蹋侯愋投⒗枚x求導(dǎo)函數(shù)例3求函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)?！窘馕觥?解法一：（導(dǎo)數(shù)定義法），。解法二：（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法），?！究偨Y(jié)升華】求導(dǎo)數(shù)的步驟和求導(dǎo)數(shù)值的步驟一樣，叫三步法求導(dǎo)。舉一反三：【變式1】已知，求， 【答案】 因?yàn)?，所以。?dāng)x0時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，?！咀兪?】求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。解：， 類型三、導(dǎo)數(shù)的幾種形式例4. 若，則_?！窘馕觥?根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：（這時(shí)=k），所以 ?！究偨Y(jié)升華】 （1）有一種錯(cuò)誤的解法： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：（這時(shí)x=k），所以 。（2）在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量x的形式是多種多樣的，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)在x=x0處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義的形式。概念是解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)yf(x)在xx0