高等數(shù)學(xué)：7-3 曲面及其方程

1、1給希望我待兒子一樣的學(xué)生的名言警句給希望我待兒子一樣的學(xué)生的名言警句1、成功的人都是相似的，沒有理由不成功； 不成功的人各自忙著找到了各自的理由。2、成功不在于永遠(yuǎn)不摔倒，而在于每次不重復(fù) 舊地且能夠從摔倒的地方爬起來！用最少的 悔恨面對過去，用最少的浪費(fèi)面對現(xiàn)在，用最多的夢想面對未來。3、成功不是將來才有的，而是從決定去做的那一刻起持續(xù)累積而成的。世上最重要的不在于我們在何處，而是我們要向何處去！4、無需非常偉大才開始，但必須開始才能偉大。要完成一件事，只想不夠，必須持續(xù)不懈行動！2第三節(jié)第三節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(surf

2、ace)旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱面柱面二次曲面二次曲面(surface of revolution)(cylindrical surface )(quadratic surface)第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)3水桶的表面、水桶的表面、曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡.曲面方程的定義曲面方程的定義曲面的實例曲面的實例(1) 曲面曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程上任一點的坐標(biāo)都滿足方程;(2) 不不在曲面在曲面S上的點的坐標(biāo)都上的點的坐標(biāo)都不不滿足方程滿足方程;如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述關(guān)系有下述關(guān)系:那么那么

3、,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形.曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念臺燈的罩子面等臺燈的罩子面等.與三元方程與三元方程xyzOS( , , )0F x y z 4 曲面的參數(shù)方程為曲面的參數(shù)方程為凡三元方程都表示空間一曲面凡三元方程都表示空間一曲面是一個三元方程是一個三元方程, 1222 zyx注注但不表示任何曲面但不表示任何曲面.錯錯, , ),(),(),(vuzzvuyyvuxx如如曲面及其方程曲面及其方程5以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.解解RMM |0 202020)

4、()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程為所求方程為球心在原點的球面方程球心在原點的球面方程2222Rzyx 的的、半徑為、半徑為建立球心在點建立球心在點RzyxM),(0000.球球面面方方程程例例特殊特殊),(zyxM設(shè)設(shè)是球面上任一點是球面上任一點,R21221221221)()()(zzyyxxMM 曲面及其方程曲面及其方程6解解 |0MMMO 222222432zyxzyx 911634132222 zyx所求方程所求方程),(zyxM設(shè)設(shè)是曲面上任一點是曲面上任一點,例例的全體所組成的曲面方程的全體所組成的曲面方程.的點的點：的距離之比為的距離之比為

5、及及求與原點求與原點21)4 , 3 , 2(0MO2121曲面及其方程曲面及其方程7 研究空間曲面有研究空間曲面有(1)已知曲面已知曲面,(2)已知方程已知方程,兩個基本問題兩個基本問題(討論旋轉(zhuǎn)曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面)(討論柱面討論柱面, 二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究圖形研究圖形.曲面及其方程曲面及其方程8二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義繞其平面上的一條直線繞其平面上的一條直線這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸.此曲線稱此曲線稱稱為稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面, ,母線母線. . 為方便為方便,平面取作坐標(biāo)面平面取作坐標(biāo)面, 旋轉(zhuǎn)軸取旋轉(zhuǎn)軸

6、取作坐標(biāo)軸作坐標(biāo)軸.曲面及其方程曲面及其方程(surface of revolution) 常把曲線所在常把曲線所在以一條以一條平面曲線平面曲線母線母線軸軸9d),(zyxM設(shè)設(shè)zz 1)1(22yxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將,1zz 0),(11 zyf), 0(111zyM0),(22 zyxf得方程得方程軸的距離軸的距離到到點點zM)2(|1y 221yxy 代入代入曲面及其方程曲面及其方程0),(11 zyfxyzO), 0(111zyM ),(zyxM0),(: zyfC100),( yf22zx 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的即為即為0),

7、( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線同理同理,0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的0),(22 zyxf繞繞z軸軸繞繞y軸軸曲面及其方程曲面及其方程11 曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動, 總之總之,位于坐標(biāo)面上的曲線位于坐標(biāo)面上的曲線C,繞其上的繞其上的一個一個 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動,所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到這樣得到 :而用另兩個的變量的平方和的平方根而用另兩個的變量的平方和的平方根(加正、加正、負(fù)號負(fù)號)替代曲線方程中另一個變量即可替代曲線方程中

8、另一個變量即可.曲面及其方程曲面及其方程12 解解 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面圓錐面.兩直線的交點稱為兩直線的交點稱為圓錐面的圓錐面的頂點頂點,例例 兩直線的夾角兩直線的夾角圓錐面的圓錐面的半頂角半頂角.)20( 稱為稱為試建立頂點在坐標(biāo)原點試建立頂點在坐標(biāo)原點O,旋旋半頂角為半頂角為 的的 圓錐面的方程圓錐面的方程.轉(zhuǎn)軸為轉(zhuǎn)軸為z軸軸,yOz面上直線方程為面上直線方程為曲面及其方程曲面及其方程),(zyxM ), 0(111zyM 直線直線L繞另一條與繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周相交的直線旋轉(zhuǎn)一周yxzOxyzO13圓錐面方程

9、圓錐面方程 cot22yxz 即即 圓錐面方程圓錐面方程)cot()(2222 ayxaz即即,1時時 a1cot 4 222yxz (用得較多用得較多) cotzy 繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程及圖形旋轉(zhuǎn)所得曲面方程及圖形.)(cot2222zxy )(222zxa )cot( a cot y即即曲面及其方程曲面及其方程yOz面上直線方程為面上直線方程為22zx Ozxy 14 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.122 cz旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面例例雙曲線雙曲線(1)12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸軸;繞繞x

10、軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2c22zy 22ax1 22yx 2a曲面及其方程曲面及其方程15繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面(2)12222 czayyOz坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓繞繞y軸和軸和z軸軸;(3)pzyyOz22 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線繞繞z軸軸.曲面及其方程曲面及其方程16 選擇題選擇題 B方程方程222)(yxaz (A) xOz平面平面上曲線上曲線 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面; 22)(xaz (B) xOz平面平面上直線上直線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)

11、所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；xaz (C) yOz平面平面上直線上直線 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；yaz (D) yOz平面平面上曲線上曲線 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).曲面及其方程曲面及其方程17定義定義三、柱面三、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C這條定曲線這條定曲線C 稱為柱面的稱為柱面的動直線動直線L稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,母線母線.曲面及其方程曲面及其方程(cylindrical surface )所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為移動的直線移動的直線L 柱面柱面. .LC準(zhǔn)線準(zhǔn)線母線母線18因此因此,該方程的圖形

12、是以該方程的圖形是以xOy面上圓為準(zhǔn)線面上圓為準(zhǔn)線, 例例 討論方程討論方程 的圖形的圖形.222Ryx 在在xOy面面上上, 222Ryx 解解現(xiàn)在現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中討論問題中討論問題.母線平行于母線平行于z軸的軸的柱面柱面.曲面及其方程曲面及其方程表一個表一個圓圓C.過點過點作平行作平行z軸的直線軸的直線L,)0 ,(1yxM設(shè)點設(shè)點 在圓在圓C上上, 對任意對任意z,點點的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程沿曲線沿曲線C, 平行于平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點軸的一切直線所形成的曲面上的點的坐標(biāo)的坐標(biāo)都滿足此方程都滿足此方程, ,在在空間空間, ,222Ryx 就是就

13、是圓柱面方程圓柱面方程. .此曲面稱為此曲面稱為圓柱面圓柱面. .),(zyxMxyzOC 1M M )0 ,(1yxM222Ryx L19xyzOxyzOxy 平面平面表示母線平行于表示母線平行于zxy22 .22xy xy 表示母線平行于表示母線平行于z軸軸.xy 曲面及其方程曲面及其方程xy22 拋物柱面拋物柱面柱面舉例柱面舉例 其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面面上的拋物線上的拋物線軸的柱面軸的柱面, 的柱面的柱面,其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面上面上的直線的直線20從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓橢圓柱面柱面12222 byax

14、雙曲雙曲柱面柱面 pzx22 拋物拋物柱面柱面 , 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐標(biāo)系中表示平行于直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面軸的柱面,在空間在空間為為xOy面上的曲線面上的曲線C.其準(zhǔn)線其準(zhǔn)線曲面及其方程曲面及其方程母線平行于母線平行于x軸軸母線平行于母線平行于z軸軸母線平行于母線平行于y軸軸21四、二次曲面四、二次曲面 1. 二次曲面的定義二次曲面的定義即為二次曲面即為二次曲面. 相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為三元二次方程三元二次方程所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為lxgzxfyzexyczbyax 222qnmlgfecba,其中其中均為常數(shù)均為常數(shù).球

15、面、球面、二次曲面二次曲面.0 qnzmy如如: :雙曲柱面等雙曲柱面等)某些柱面某些柱面(圓柱面、拋物柱面、圓柱面、拋物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.曲面及其方程曲面及其方程22現(xiàn)只研究幾種常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)只研究幾種常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.1222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyax或或稱為稱為二次曲面二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.曲面及其方程曲面及其方程1222222 czbyax23 研究的方法是采用研究的方法是采用截痕法截痕法. 以下用以下用截痕法截痕法討論上面幾種特殊的二次

16、曲面討論上面幾種特殊的二次曲面.從而了解曲面從而了解曲面即用坐標(biāo)面和即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截, 考察其交線考察其交線(即截痕即截痕)的形狀的形狀,然后加以綜合然后加以綜合,的全貌的全貌.曲面及其方程曲面及其方程242. 橢球面橢球面(橢圓面橢圓面)1222222 czbyax(ellipsoid)曲面及其方程曲面及其方程)0, 0, 0( cba由方程可知由方程可知, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 這說明橢球面包含在由平面這說明橢球面包含在由平面圍成的長方體內(nèi)圍成的長方體內(nèi).czbyax ,25曲面及其方程曲面

17、及其方程先考慮橢球面與三個坐標(biāo)面的截痕：先考慮橢球面與三個坐標(biāo)面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截這個曲面去截這個曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是)|0(11czzz 012222xczby1222222 czbyax1z000這些截痕都是這些截痕都是橢圓橢圓.再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面 122122221zzczbyax這些截痕也都是這些截痕也都是橢圓橢圓.26橢圓截面的大小橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化隨平面位置的變化而變化.曲面及其方程曲面及其方程與平面與平面 ,1xx 1yy 橢圓橢圓.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222

18、czbyax1x1yzxyOxyzO27橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:)1(1222222 czayax旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面12222 czax由橢圓由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面1zz )| (1cz (ellipsoidal surface of revolution) ba 1222222 czbyaxa繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.的交線為的交線為圓圓.曲面及其方程曲面及其方程28cba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 12122222)(zzzccayx截面上圓的方

19、程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為spherical surface曲面及其方程曲面及其方程xyzO293. 拋物面拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：用平面用平面)0( zxOy設(shè)設(shè)0, 0 qp原點叫做橢圓拋物面的原點叫做橢圓拋物面的(paraboloid)elliptic(al) paraboloid去截這曲面去截這曲面,頂點頂點.0(1)曲面及其方程曲面及其方程截痕為截痕為原點原點.用平面用平面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為橢圓橢圓.,01時時當(dāng)當(dāng)z截痕退縮為原點截

20、痕退縮為原點;,01時時當(dāng)當(dāng) z截痕不存在截痕不存在.1z30用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( yxOz 022ypzx截痕為截痕為拋物線拋物線.zqypx 2222(2)0曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2, 0211去截這曲面去截這曲面, 截痕為截痕為拋物線拋物線.1y31用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( xyOz1xx 同理當(dāng)同理當(dāng)0, 0 qpzqypx 2222(3)時可類似討論時可類似討論.01x曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,及平面及平面截痕為截痕為拋物線拋物線.0, 0 qp0

21、, 0 qp橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：zxyOOzxyxyzO32,時時當(dāng)當(dāng)qp zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p(由由 面上的拋物線面上的拋物線xOzpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動時，這種圓變動時，這種圓的的中心中心都在都在 軸上軸上.1zzparaboloid of revolution 特殊地特殊地方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閦qypx 2222而成的而成的)p p1z曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為圓圓.繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)33zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq雙曲拋物面雙曲拋物面

22、用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下： 有兩個異號的平方項有兩個異號的平方項,另一變量另一變量方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？馬鞍面馬鞍面 hyperbolic paraboloid 特點是特點是:是一次項是一次項, 無常數(shù)項無常數(shù)項.(馬鞍面馬鞍面)曲面及其方程曲面及其方程xyzO344. 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax特點是特點是:(hyperboloid)(uniparted hyperboloid)平方項有一個取負(fù)號平方項有一個取負(fù)號,另兩個取正號另兩個取正號.0曲面及其方程曲面及其方程 煉油廠、煉焦廠的冷卻塔

23、就是煉油廠、煉焦廠的冷卻塔就是單葉雙曲面單葉雙曲面的形狀的形狀.OxyzxyzO35類似地類似地,1222222 czbyax1222222 czbyax亦表示亦表示想一想想一想單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax單葉雙曲面單葉雙曲面.方程方程以上兩方程的圖形是與以上兩方程的圖形是與此圖形此圖形 一樣嗎一樣嗎?曲面及其方程曲面及其方程Oxyz36雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或 特點是特點是:平方項有一個取平方項有一個取正號正號,另兩個取負(fù)號另兩個取負(fù)號.(biparted hyperboloid)它分成上、下兩個曲面它分成上、下兩個曲面.注注曲面及其方程曲面及其方程xyzO37 類似地類似地,1222222 czbyax或或1222222 czbyax亦表示亦表示以上兩方程的圖形是與以上兩方程的圖形是與此圖形此圖形1222222 czbyax1222222 czbya