高等數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)整理

1、高等數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)整理第一章函數(shù)、極限、連續(xù)重要的等價無窮小量代換當(dāng)x： x1xln(1x)x1x2x(a0,a 1)0 ecosxlog a (1+x)2ln a1x1xax1x ln an 1+x 11x( x 1)a 1ax1nln(1x)xx22兩個重要極限lim sin x11lim 1x xex 0xx0各類無窮小的定義lim0是比 高階的無窮小 . 記o .lim是比 低階的無窮小 .limc0與 是同階無窮小 .limkc0,k 0是關(guān)于 的 階無窮小 .k冪指函數(shù)的相關(guān)結(jié)論(1).設(shè) lim u( x)a0,limv( x)b.且 lim u( x) v( x)存在則 lim

2、u( x)v( x )ablim u( x) lim v( x)（2）0,lim v( x), 且 lim u(x)v( x)存在設(shè) lim u(x)則 lim1+ u( x)v( x)elim u ( x) v( x)當(dāng) xln x ,xa , a x ( a 1), x!, x x時，以下各函數(shù)趨于的速度：由慢到快漸近線（1）水平漸近線若：lim f ( x) A則y是曲線的水平漸近線。Ay f ( x)x+，-（2）垂直漸近線若： limf (x)+或 -則 xx0是曲線 yfx 的垂直漸近線。x x0 , x0（ 3） 斜漸近線fxfxb若 lima 0 ， lim f x ax b或

3、 lima 0 ， lim f x axxxxxxx則 y axb 是曲線 yf (x) 的一條斜漸近線。( 一般的 yxne x 和yxnex 都有斜漸近線 y0 )極限的定理設(shè) lim f xA ， lim g xB那么：（ 1） limfxgxAB（ 2） limfxgxAB（ 3） limfxgxAB（ 4） limfxAB0g xB在 lim ux與 lim vx 都存在的條件下才有l(wèi)imu(x)v( x)lim u( x)lim v(x)x x0x x0x x0x x0x x0若 lim ux與 lim vx 中一個存在一個不存在，則有結(jié)論limu( x)v(x)不存在x x0x

4、x0x x0若 lim ux與 lim vx 中兩個都不存在， 那么 limu( x)v(x)與 lim u(x) v(x)可能兩個都 不存x x0x x0x x0xx0在，或者一個存在一個不存在，但絕對不會兩個都存在。不能將limu( x) v(x)拆開成lim u( x)limv( x)xx0xx0x x0關(guān)于間斷點(diǎn)第一間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)（左、右極限都存在）第二間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)（左、右極限至少一個不存在）相關(guān)性質(zhì)： 設(shè) f ( x) 在 xx0 處有跳躍間斷點(diǎn)， 則在任意一個包含 xx0 在其內(nèi)部的區(qū)間( a, b) 上， f (x)必不存在原函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一切初

5、等函數(shù)在其定義區(qū)間都是連續(xù)的。有界性與最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界性且一定能取得它的最大值和最小值第二章一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)的定義f ' (x0 ) lim f ( x)f ( x0 )lim0ylimf (x0x) f ( x0 )x x0xx0xxx0x二階導(dǎo)數(shù)2d dyddyttttdydx=dx1dx2dxdtdxt3dt復(fù)合函數(shù)的可導(dǎo)性判斷若 f (x) 在 xa 處可導(dǎo)， g( x) 在 xa 處連續(xù)但不可導(dǎo)，則當(dāng)f ( x)0 時 f ( x) g(x) 在 xa 處不可導(dǎo)，當(dāng) f (x)=0 時， f ( x) g( x) 在 xa 處可導(dǎo)，且f

6、( x) g( x)|x af ( x) g(x).反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè) yf x 的反函數(shù) xgy ，兩者皆可導(dǎo)，且f x 0則110g yff xf xg y反函數(shù)的二階求導(dǎo)1d g yd1f xf g yf xg ydxdy33f x 0dyf xf g ydx微分的定義設(shè)函數(shù) yf (x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0 及 x0 + x 在這區(qū)間內(nèi)，如果增量yf (x0x)f ( x)那可表示為：yA xo(x) （ x0）其中 dyA x全微分的近似計算Z= dzf x ( x, y) xf y ( x, y)y費(fèi)馬定理若 yf ( x) 在 xx0 處可導(dǎo)且取極限，且取得極值，則f 

7、9;( x0 )0羅爾定理如果函數(shù)f ( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)（ 2）在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端口處的函數(shù)值相等，即f (a)f (b)那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)（ ab ），使得f '()0介值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端口取不同的函數(shù)值：f (a)A 及f (b)B那么對于A 與B 之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使 f ( )0。零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間上連續(xù)，且f ( a)與f (b) 異號（即f (a)f (b)0），那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使 f ( ) =0拉格

8、朗日中值定理如果函數(shù)f ( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)（ 2）在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)那么在 (a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)（ ab ），使等式f (b)f (a)f '( )(ba)柯西中值定理若函數(shù) f (x) 及 F ( x) 滿足在 a, b 上連續(xù)，在(a, b) 上可導(dǎo)，則對任一x( a, b) ， F '(x)0 ,那么在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性定理 1：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)（1）如果在 (a,b) 內(nèi)

9、f '( x)0 ，那么函數(shù) yf ( x) 在 a, b 上單調(diào)遞增（2）如果在 (a,b) 內(nèi) f '( x)0 ，那么函數(shù)yf (x) 在 a, b 上單調(diào)減少定理 2：設(shè)函數(shù)y f ( x) 在 a, b 上連續(xù)，在( a, b) 內(nèi)具有一階與二階導(dǎo)數(shù)（1）若如果在(a, b) 內(nèi) f ''(x)0 ，則 f (x)在 a,b 上的圖形是凹的。（2）若如果在(a, b) 內(nèi) f ''(x)0 ，則 f (x)在 a,b 上的圖形是凸的。定理 3：（第二充分條件）設(shè)函數(shù)f (x) 在 x0 處具有二階導(dǎo)數(shù)且f '(x0 ) 0, f

10、 ''(x0 ) 0, 則（1）當(dāng) f(x0 )0 ，函數(shù) f (x) 在 x0 處取得極大值（2）當(dāng) f(x0 )0 ，函數(shù) f (x) 在 x0 處取得極小值連續(xù)導(dǎo)數(shù)定理設(shè) f (x) 在 xx 處連續(xù)，在 xx 的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，并設(shè)lim f x 存在且等于A, 則 fx 亦存在00x x00且等于 A第三章 一元函數(shù)積分學(xué)利用定積分的定義求極限lim 1nk1f如果存在f x dxnn k1n0定積分的導(dǎo)數(shù)（ ）u ( x )f (t )dt（ ）x =v( x)x =f u( x)u ( x) f v(x)v ( x)牛頓 - 萊布尼茲公式如果函數(shù) F ( x)

11、是連續(xù)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a, b 上的一個原函數(shù)，則bf ( x)dx F (b) F (a)a分部積分法udvuvvdu積分的性質(zhì)若 f ( x)在 - a, a 上連續(xù)且為 偶函數(shù)若 f (x)在 - a, a 上連續(xù)且為 奇函數(shù)aaaf ( x)dx 0f ( x) dx 2f ( x) dxaa0定積分的三角公式I n2sin n xdx222上的連續(xù)函數(shù) )0cosn xdxf (sin x)dxf (cosx)dx( f ( x) 是 0,1000I nn1I n 2nn1 n34 2為大于 的正奇數(shù) ，I 11nn25 3n1n1 n33 1為正偶數(shù) ，I1nn2n24

12、2 2af (x)dx1 af (ax)dx 換元，令 ta x f ( x)02 0af ( x) dxaf ( x) dxa f (x)0三角代換被積函數(shù)中含有a2x2 , 常用代換xa sin.(t)22被積函數(shù)中含有22a +x ,常用代換xa tant.(t)22被積函數(shù)中含有x2a2 , 常用代換 x a sect. 0 t2注： csc2 x cot 21sec2 = tan2 1原函數(shù)的奇偶性、周期性定理 1若連續(xù)函數(shù)f (x) 是 a, a 上的奇 ( 偶 ) 函數(shù) , 則F ( x)xa x a)f (t) dt 是偶 ( 奇 ) 函數(shù) (0推論 1, 注意 : 當(dāng) f (

13、 x) 為奇函數(shù)時 ,x0x奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)f (t )dtf (t) dtf (t) dt 也是偶函數(shù)aa0偶函數(shù)的原函數(shù)等于唯一 的奇函數(shù)和一個任意常數(shù)之和。定理 2設(shè) f ( x) 是 (, )上的連續(xù)周期函數(shù)，且周期為 T ,F ( x) 是它在 ( ,) 上的一個原函數(shù)，則下列條件等價:(1) F (x) 是 ( , ) 上的周期函數(shù)；(2)F (x) 是 ( ,) 上有界；(3)對任意實數(shù) a , 有aTaf (t )dt 0推論 2 若 f ( x) 是 (,) 上的連續(xù)周期函數(shù), F ( x) 是它在 ( ,) 上的一個原函數(shù)， 且 F ( x) 也是周期函數(shù)，則 F (

14、 x) 與 f ( x) 有相同的周期推論 3若 f ( x) 是 (,) 上的連續(xù)周期函數(shù),其周期為 T , F (x) 是它在 (,) 上的一個原函數(shù)，c1Tf (t )dt, 則 F ( x)cx 是 (,) 上一個以 T 為周期的周期函數(shù)，即F ( x) 可以表示為一個周期函T0數(shù)與一個線性函數(shù)的和定理 3 設(shè) f ( x) 是以 T 為周期的連續(xù)函數(shù)，則a TTTf (x)dxf (x) dx2T f ( x)dxa02nTTf ( x) dx nf ( x)dx00xTf (t )dt 以 T為周期的充要條件是f ( x)dx 0a0定積分中值定理如果函數(shù)f ( x) 在積分區(qū)間

15、a,b 上連續(xù)，則在 a,b 上至少有一點(diǎn)，b a,b使 f (x)dx f ( )(b a)a1b函數(shù)的平均值yf ( x) dxb aa旋轉(zhuǎn)體的體積由連續(xù)曲線 yf ( x) 、直線 xa 、 xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形，繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體dV f ( x) 2 dx故 Vb f ( x)2 dxa由連續(xù)曲線 x( y) 、直線 yc 、 yd 與 y 軸所圍成的曲邊梯形，繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體dV ( y)2 dy故 Vdb ( y)2 dy或 V 2x f ( x)dxca泰勒中值定理如果函數(shù)f ( x) 在含有 x0 的某個開區(qū)間(a,b) 內(nèi)具有直到n1 階的導(dǎo)數(shù)

16、，則對任一x ( a,b) ，存在：f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) (xx0 )2f n ( x0 ) ( xx0 )nRn ( x)2!n!其中： Rn ( x)佩亞諾型余項：( n 1)f ( ) ( x x0 )n 1 (n 1)!nR n xoxx0（是 x0 與 x 之間的某個值）拉格朗日型余項： Rn (x)f ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1( n 1)!帶佩亞諾型余項的n 階麥克勞林公式nf ( x)f (0)f (0) xf (0) x2f(0) xn o( xn )2!n!帶拉格朗日型余項的n 階麥克勞林公式f

17、( x) f (0) f (0) xf (0) x2f n (0) xnf ( n1) ( x) xn 10 x 12!n!( n1)!第四章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分法鎖鏈公式模型：設(shè) uf (x, y, z),zz(x, y)uf yfzzufxzyyxf zx模型：設(shè) uf (x, y, z),yy( x)zz(x)duf xf ydyf z dzdxdxdx全微分的定義設(shè)函數(shù) zf (x, y) 在點(diǎn)x, y 的某鄰域內(nèi)有定義, 如果函數(shù)在x, y的全增量zf (xx, yy) f (x, y)可表示為zA xByo()其中 A、B 不依賴于x、y 而僅以 x 、 y 有關(guān)，22，則

18、稱 zf (x, y) 在點(diǎn)x, y 可微分 ，xy而 A x B y 稱為函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) x, y的全微分 ，記作 dz ，即 dzA xBy可微分的必要條件如果函數(shù) uf (x, y, z) 在點(diǎn)x, y, z 可微分，則該函數(shù)在x, y, z 的偏導(dǎo)數(shù)u 、 u 、 u 必定存在且函數(shù)的xyz全微分公式為：duz dxz dyz dzxyz用定義法判斷是否可微求出函數(shù)(0,0)( , )的值，并考慮P'( x,y) 沿直線yx趨于0,0時zfxx fy x y yz fx(0,0) xfy (x, y) y220而趨于(0,0)( , )xy的值，確認(rèn)它能否隨0

19、，即zy是否是的高階無窮小fxx fyx y多元函數(shù)的極限存在、連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、可微分函數(shù)的極限存在連續(xù)可微分偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d 2 yFxFxdy0dxFydx2()()x Fyy Fydx設(shè) f (x, y, z)=0,確定 z( x, y)若 Fx , Fy , Fz 連續(xù)，且 FzzFxzFy0 ，則FzyFzx拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù) zf (x, y) 在附加條件( x) 0下的可能極值點(diǎn)，可以先作拉格朗日函數(shù)?？梢韵茸骼窭嗜蘸瘮?shù)Lxf 'x'xL( x, y) f ( x, y)( x, y)其中： Lyf

20、'y'yL(x, y)0多元函數(shù)的極值及求法定理一：（必要條件）設(shè)函數(shù) zf (x, y) 在點(diǎn)x0 , y0具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)x0 , y0 處有極值，則有fxx0 , y00,f yx0 , y00定理二：（充分條件）設(shè)函數(shù) zf (x, y) 在點(diǎn)x0 , y0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又使fxx0 , y00,f yx0 , y00 ，令fxx x0 , y0A, f xy x0 , y0 B , fyy x0 , y0C則 f (x, y) 在x0 , y0 處能否取得的極值的條件如下：1 ACB20 時具有極值；且當(dāng)A0 時有極大值，A0 時有極小值。

21、2 ACB20 時沒有極值。3 ACB2 =0 時，可能有極值，可能沒有極值需討論。二重積分中值定理設(shè)函數(shù) f ( x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，是 D 的面積，則在D 上至少存在一點(diǎn),，使得f (x, y)df ( , )。通常把1f ( x, y)d稱為 f ( x, y) 在 D 上的 積分平均值 。DD利用極坐標(biāo)求二重積分的上下限直角坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)系x2y2a2r a02 ,0 r ax2y22axr2a cos,0r2a cos22x2y22ayr2a sin0,0r2b sin22a2xx0r cos02 ,0 r ax x0y y0yy0r sinyyyy2brr(x0,

22、y0)a xxrOO2aaxrxOO對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)定理一 . 設(shè) f (x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)， 若 D 關(guān)于 x 軸對稱 ，則0x, y | f ( x,y)f ( x, y) 即 f 關(guān)于 y是奇函數(shù)f (x, y)d2f ( x, y) dx, y | f ( x,y)f (x, y) 即 f 關(guān)于 y是偶函數(shù)DD 1其中 D1 為 D 在 x 軸上半平面部分定理二 . 設(shè) f (x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)， 若 D 關(guān)于 y 軸對稱 ，則0x, y | f ( x,y)f ( x, y) 即 f 關(guān)于 x是奇函數(shù)f (x, y)d2f ( x, y)

23、dx, y | f ( x,y)f ( x, y) 即 f 關(guān)于 x是偶函數(shù)DD 1其中 D1 為 D 在 y 軸右半平面部分定理三 . 設(shè) f (x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)， 若 D 關(guān)于原點(diǎn)對稱 ，則0x, y | f (x,y)f ( x, y) 即 f 關(guān)于 x, y的奇函數(shù)f (x, y)d2f ( x, y)dx, y | f (x,y)f ( x, y) 即 f 關(guān)于 x, y的偶函數(shù)DD3其中 D3 為 D 的上半軸部分或右半平面部分。定理四 . 設(shè) f (x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)， 若 D 關(guān)于 x 軸, y 軸均對稱 ，則0x, y | f (x,y)f

24、( x, y) 即 f 關(guān)于 x, y的奇函數(shù)f (x, y)d4 f ( x, y)dx, y | f (x,y)f ( x, y) 即 f 關(guān)于 x, y的偶函數(shù)DD1其中 D1 是 D 的第一象限部分第五章無窮級數(shù)級數(shù)收斂的必要條件如果級數(shù)un 收斂，則它的一般項un 趨于零，即 lim un 0n 1n兩個重要級數(shù)1. 幾何級數(shù)設(shè) a 和 q 是常數(shù)，且 a0 ，則aqn 當(dāng) q1 時收斂，且aqn =a ；當(dāng) q1 時發(fā)散n 0n 01q2. p 級數(shù)1當(dāng) p1 時收斂；當(dāng)p 1時發(fā)散n 1 n p任意項級數(shù)判別法若 U n un Wn n 1,2, 又U n , Wn 均收斂，則u

25、n 收斂n 1n 1n 1ps. 比較判別法只適用于正項級數(shù)收斂的判別，但對任意項級數(shù)不適用比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）時，un收斂，1n1設(shè)un則當(dāng)limun 1時，un發(fā)散，且lim un，0,un10xn1x1時，此判別法失效。萊布尼茨定理(1) unun 1(n1,2,3,)(2) lim un0x則級數(shù)收斂，且其和滿足 0n 1un 11 un u1 , 余項 rnn 1絕對收斂與條件收斂如果正項級數(shù)un 各項的絕對值所構(gòu)成的正項級數(shù)un 收斂，則稱級數(shù)un 絕對收斂；如果級數(shù)n 1n 1n 1un 收斂，而級數(shù)un 發(fā)散，則稱級數(shù)un 條件收斂 .n 1n 1n 1關(guān)于絕對收斂與條

26、件收斂的基本結(jié)論1. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂，即若un 收斂，則un 收斂n 1n 12. 條件收斂級數(shù)的全部正項與全部負(fù)項構(gòu)成的級數(shù)分別發(fā)散，即若n 1un 條件收斂，則級數(shù)1 ( unun ) 與1 (unun ) 均發(fā)散。n 1 2n 1 2對于三個級數(shù)U n , Vn ,(U n Vn )n 1n 1n 11. 若U n ，Vn 都收斂，則(U n Vn ) 不一定收斂 . 如： U nVn1n 1nn1n 1n 12. 若U n ，Vn 都發(fā)散，則(U n Vn ) 不一定發(fā)散n1n 1n 13. 若U n 收斂，Vn 發(fā)散，則(U nVn ) 不一定發(fā)散 . 如： U n1,Vn1

27、2nn1n 1n 1nn14. 若U n 條件收斂，Vn 絕對收斂，則(U n Vn ) 不一定條件收斂. 如： U n1,Vnn2n1n 1n 1n5. 若U n 收斂，Vn 絕對收斂，則(U n Vn ) 絕對收斂。證明：U n收斂，故 lim U n0 ，所以當(dāng)n1n 1n 1n1nn時， U n 1, 即 U nVnVn, 由比較判別法得證。6. 若U n ，Vn 都絕對收斂，其和分別為s 和則它們的柯西乘積(U n Vn ) 也是絕對收斂的，且其n 1n 1n 1和為 s部分特殊的收斂級數(shù)1. 設(shè)un2 收斂，則級數(shù)un 絕對收斂n 1n 1 n對于三個級數(shù)U n ,Vn ,(U n

28、Vn )n 1n 1n 11. 如果有兩個收斂，則第三個收斂。2. 如果其中一個收斂，另一個發(fā)散，則第三個發(fā)散。3. 如果有連個發(fā)散，則第三個的斂散性不能確定4. 如果有兩個絕對收斂，則第三個絕對收斂5. 如果其中一個絕對收斂，另一個條件收斂，則第三個條件收斂。6. 如果有兩個條件收斂，則第三個收斂，但不能判定它是絕對收斂還是條件收斂。阿貝爾（ Abel ）定理如果級數(shù)an xn 當(dāng) x x x00時收斂，則適合不等式 xx的一切 x 使這冪級數(shù)絕對收斂。反之，00n 0如果級數(shù)an xn當(dāng)xx0 時發(fā)散，適合不等式xx0的一切x 使這冪級數(shù)發(fā)散。n 0阿貝爾（ Abel ）定理推論如果冪級數(shù)

29、an xn 不是僅在 x0 一點(diǎn)收斂， 也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必有一個確定的正數(shù)R 存在使n 0當(dāng) x R 時，冪級數(shù)絕對收斂當(dāng) x R 時，冪級數(shù)發(fā)散當(dāng) x R 與 x R 時，冪級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散正數(shù) R 叫做冪級數(shù)的收斂半徑，開區(qū)間R, R 叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間冪函數(shù)的分析性質(zhì)設(shè)冪函數(shù)an xn 的收斂半徑為R ，則在R, R 內(nèi)有n 01. an xn 的和函數(shù) f ( x) 是連續(xù) 的，n 02.a xn 可逐項微分，且 f '(x)(a xn )'axn 'naxn 1 , x(R, R).nnnnn 0n0n 0n 1xxan xn )dxxan

30、 xndx )anxn 1, x ( R, R).3.an xn 可逐項積分，且f ( x)dx(n 00000n 0n0 n1n逐項積分和逐項求導(dǎo)后得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑第六章常微分方程化為可分離變量的微分方程令 yux，dydu或： 令 zxy,dzdy=uxdx1dxdxdx一階線性微分方程方程： dy +Q x通解：yep ( x) dxp( x)dxdxC )p x y(Q (x)edx伯努力方程dy +p(x) yQ( x) y nn0,1dx則 dz設(shè) zy1 n(1n) p( x) z(1 n)Q(x)dx常系數(shù)線性微分方程y ''p( x) y 'Q( x) y0特征方程 r 2prq0 的兩個根 r1 , r2微分方程 yp( x) y Q (x) y0的通解兩個不相等實根 r1, r2 ( p24q0)yc1er1xc2er2 x兩個相等實根 ( p 24q0)y( c1c2 x)er1x一對共軛復(fù)根 ( p 24q0) r1，2iye x (c1 cos xc2 sinx)常系數(shù)非其次線性微分方程f ( x) 的形式條件f ( x) pn (x),0 不是特征根0 是單特征根pn (x) 為 n 次多項式0