船舶靜力學(xué)講義新版1

1、船舶與海洋工程靜力學(xué)講義1 力平衡原理1.1 二力平衡1.2 空間力系的平衡1.3 力的等效性原理1.4 平衡的穩(wěn)定性2 浮體的流體靜力特性2.1 浮體坐標(biāo)系在研究浮體受力時，通常采用的坐標(biāo)系有兩種：一是大地坐標(biāo)系，大地坐標(biāo)系的XOY平面通常取在靜水面上，Z軸鉛垂向上，大地坐標(biāo)系相對于地球為靜止坐標(biāo)系；二是聯(lián)體坐標(biāo)系，聯(lián)體坐標(biāo)系和浮體固結(jié)，隨浮體一起做六自由度運動；在聯(lián)體坐標(biāo)系下，剛性浮體表面各點的坐標(biāo)為固定值，不隨浮體運動和位移狀態(tài)變化。xGyGzGOGxByBzBOB靜水面水線面聯(lián)體坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系浮體六自由度運動可用聯(lián)體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點及坐標(biāo)軸在大地坐標(biāo)系中的線位移、角位移及其導(dǎo)數(shù)來描述。

2、2.2 剛體六自由度運動和坐標(biāo)變換2.2.1 剛體六自由度運動2.2.2 聯(lián)體坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系2.2.3 坐標(biāo)變換平面或空間中的任意一點都可以用某個平面或空間坐標(biāo)系下的坐標(biāo)來描述?？臻g點的位置在不同坐標(biāo)系下具有不同的表達形式，空間點在兩個不同坐標(biāo)系間坐標(biāo)值的轉(zhuǎn)換關(guān)系稱為坐標(biāo)變換。直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換可分為平移變換和旋轉(zhuǎn)變換兩種類型。z1x1y1z2x2y2o1o2P平移變換：在直角坐標(biāo)系下，若兩個坐標(biāo)系對應(yīng)的坐標(biāo)軸是同向的，空間任意一點在兩個坐標(biāo)系和中下的坐標(biāo)值可以用平移變換來實現(xiàn)。假設(shè)空間點在在第一個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值為，在第二個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值為，第二個坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點在第一個坐標(biāo)系中的

3、坐標(biāo)值為展開后為：旋轉(zhuǎn)變換：當(dāng)兩個坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點相同，但是對應(yīng)的坐標(biāo)軸不重合，則空間任意一點在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值可以用旋轉(zhuǎn)變換來實現(xiàn)。旋轉(zhuǎn)變換的一般形式為：上式中，是時坐標(biāo)系中第i個坐標(biāo)軸的單位列矢量，時坐標(biāo)系中第j個坐標(biāo)軸的單位矢量，在正交坐標(biāo)系下，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣是單位正交矩陣。任意兩個坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換度可以看做是平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的一種組合形式，坐標(biāo)變換可以用統(tǒng)一的擴展矩陣形式表示：x1y1x2y2Pabx2y2x1y1qO2O12.2.3.1 平面坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換下面來討論兩個平面直角坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，坐標(biāo)系的軸和坐標(biāo)系的軸之間的夾角為。夾

4、角的取值以軸方向為0度，軸繞逆時針方向為正值?？臻g任意一點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。寫成擴展矩陣的形式為：2.2.3.2 空間坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換空間坐標(biāo)系的平移變換和平面坐標(biāo)系的平移變換是類似的，下面重點討論兩個空間坐標(biāo)系和之間的旋轉(zhuǎn)變換。空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)具有三個自由度，坐標(biāo)系的方向可用三個歐拉角來描述。為了方便起見，將每次沿著一個歐拉角進行旋轉(zhuǎn)，通過三次旋轉(zhuǎn)過渡到坐標(biāo)系。將OzG軸設(shè)定為公轉(zhuǎn)軸，OxB軸設(shè)定為自轉(zhuǎn)軸，并按如下方式來定義三個歐拉角：設(shè)OxB軸在xGoGyG平面上的投影為ox1，ox1與oxG軸之間的夾角為定義為首搖角y（相當(dāng)于剛體運動中的公轉(zhuǎn)角），oxB與ox1之

5、間的夾角為縱傾角q（相當(dāng)于剛體運動中的章動角），在x1ozG平面上，做垂直于oxB軸的oz2軸，oz2軸和ozB之間的夾角為橫傾角f（相當(dāng)于剛體運動中的自轉(zhuǎn)角）。yqqffxGyGzGx1y2(y1)xB (x2)z2zByBy兩個坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)變換可分三步進行，首先繞ozG軸旋轉(zhuǎn)y角，oxG軸和oyG軸分別轉(zhuǎn)至ox1和oy1位置，然后繞oy1軸旋轉(zhuǎn)q角，將ox1軸和ozG軸旋轉(zhuǎn)至oxB和oz2位置，最后繞oxB軸旋轉(zhuǎn)f角，通過三次旋轉(zhuǎn)變換后可將變換至。三次變換相當(dāng)于依次繞浮體聯(lián)體坐標(biāo)系的zB軸，yB軸和xB軸依次旋轉(zhuǎn)y，q，f角，y，q，f角以對應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸的右手螺旋方向為正值。初始時刻聯(lián)體坐標(biāo)

6、系與大地坐標(biāo)系重合，第一步，繞聯(lián)體坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)，變換公式為： 或：第二步，繞聯(lián)體坐標(biāo)系的y軸（y1軸）旋轉(zhuǎn)，變換公式為： 或 第三步，繞聯(lián)體坐標(biāo)系的x軸（x2軸）旋轉(zhuǎn)，變換公式為： 或 合成后得：對上式進行合并：記矩陣：；兩個坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可寫作：；當(dāng)時，轉(zhuǎn)換矩陣可簡化為：坐標(biāo)變換關(guān)系為：若q，f為小量，上式可進一步簡化為：假設(shè)浮體處于靜止?fàn)顟B(tài)，將大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點取在聯(lián)體坐標(biāo)系z軸和靜水面的交點處，聯(lián)體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點到大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點的距離為T，將旋轉(zhuǎn)點取在大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點處，繞聯(lián)體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的角位移為。則聯(lián)體坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：2.3 浮體的浮力浮體浮

7、于水面時，浮體的濕表面受到垂直表面向內(nèi)的靜水壓力的作用。所有靜水壓力的合力表現(xiàn)為浮體所受的浮力。xyznp0p0p0p0-rgzzx在大地坐標(biāo)系下對浮體的受力進行分析。根據(jù)帕斯卡定理，靜水壓力和水的深度成正比，若水的密度為，重力加速度為g，則物體表面的壓力為：在物體表面對壓力進行積分，可得到物體所受的浮力。其中大氣壓部分相互抵消，積分項只剩下濕表面上的相對壓力項：其中SW是浮體和水的接觸面，是浮體水下部分的排水體積，為浮體的排水量。同樣也可以獲得浮力對坐標(biāo)原點的矩為：其中，。由于上式可知，浮力僅取決于浮體水下部分的形狀，浮力的大小等于物體排開水的重量，浮力的作用線通過水下體積的形心。（阿基米德

8、定理）下面考慮物體逐漸浸入水中時浮力所做的功。在物體上取一底面積為dxdy的鉛直微柱體，在微柱體浸入水中的過程中，若柱體浸深為h，相對壓力做功為對于整個浮體，浮力做的功為：利用高斯定理，將上式轉(zhuǎn)化為體積分，其中是水下部分體積的形心。由此可見，浸入過程中浮力做的功等于浮體當(dāng)前排水量乘以浮心深度。由于浮力是保守力，浮力做的負功可以看做是系統(tǒng)勢能的增量，因此可以定義浮力勢由于浸入過程中，浮體的重心也會下降，考慮浮體的重力勢后，整個系統(tǒng)的勢能可定義為：注意到，上述整個推導(dǎo)過程都是基于大地坐標(biāo)系進行的，z軸方向始終是鉛垂方向。上式表明：處于平衡態(tài)的浮體的勢能等于排水量乘以浮心到重心的鉛垂方向距離。2.4

9、 浮體的浮態(tài)浮體的浮力僅取決于水下部分形狀。而與浮體在水平面上的位置無關(guān)，因此浮體在水平面上的運動（縱蕩、橫檔、首搖）不會對浮體的靜水力特性產(chǎn)生影響。從平衡和穩(wěn)定性的角度來說，靜水中的浮體在水平面自由度上沒有回復(fù)力，在不考慮水動力的情況下，任意大小的力都能使浮體改變位置，并且當(dāng)外力消失后，浮體也不會回到原來位置。但是在垂直面的自由度上，由于浮體位置的變化帶來了浮體水下體積的改變，因此浮體在垂直面得三個自由度上具有回復(fù)力。船舶與海洋工程靜力學(xué)研究的就是靜水中浮體在三個垂直面自由度上的力和平衡問題。浮體水下部分的形狀和體積可以由三個垂直面自由度的位移（吃水、橫傾、縱傾）來唯一確定。為了研究方便，通

10、常在聯(lián)體坐標(biāo)系中下定義浮體浮態(tài)的三個參數(shù)：吃水T定義為靜水面上各點在聯(lián)體坐標(biāo)系中的垂向坐標(biāo)值。若靜水面在聯(lián)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則定義處得吃水為。橫傾角定義為聯(lián)體坐標(biāo)系x軸方向的角位移。縱傾角定義為聯(lián)體坐標(biāo)系y軸方向的角位移。浮體的浮態(tài)可用橫傾角、和縱傾角和特定參考點處的吃水T(如聯(lián)體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點處的吃水)等三個參數(shù)來確定。將橫傾角和傾角都為零的浮態(tài)定義為正浮狀態(tài)。正浮狀態(tài)可用吃水T來描述。將橫傾角為零的浮態(tài)定義為縱傾狀態(tài)，縱傾狀態(tài)可用吃水T和縱傾角來描述將縱傾角為零的浮態(tài)定義為橫傾狀態(tài)，橫傾狀態(tài)可用吃水T和橫傾角來描述當(dāng)浮體的橫傾角和傾角都不為零的狀態(tài)稱為任意浮態(tài)，任意浮態(tài)需要用吃水T、橫傾

11、角和縱傾角三個參數(shù)來描述。2.5 浮體在水中的平衡和穩(wěn)定性2.5.1 浮體平衡方程浮體在水中處于平衡態(tài)時，浮體所受的合外力為零。大地坐標(biāo)系下浮體的平衡方程為：其中,M為外力矩。展開后得：上式中上標(biāo)G表示是大地坐標(biāo)系中的分量，以表示和聯(lián)體坐標(biāo)系的區(qū)別。若浮體的聯(lián)體坐標(biāo)系相對于大地坐標(biāo)系的角位移為，將大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)替換為聯(lián)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則平衡方程可改寫為：在任意狀態(tài)下，浮體的縱傾平衡方程和橫傾平衡方程是耦合的。若浮體的橫搖角f很小時，縱傾和橫傾方程可以解耦為：2.5.2 浮態(tài)變化對浮力和浮心位置的影響將靜水面與浮體的截面定義為水線面。在聯(lián)體坐標(biāo)系下，若浮體繞水線面上的任意一點旋轉(zhuǎn)，則水線面

12、方程為：整理后得：將浮體處于正浮狀態(tài)時的水線面定義為正浮水線面。利用積分（）可得正浮水線面的面積為正浮水線面的形心形心處的吃水定義為。假設(shè)正浮水線面附近浮體的外表面都與正浮水線面垂直，（當(dāng)浮體的傾角較小時，這樣的假定帶來的誤差很小。）則浮體的浮力可以用兩個部分來表示，第一部分是正浮狀態(tài)時的浮力，第二部分是正浮水線和傾斜水線間的浮力。在正浮水線以下部分（z<Tc）浮心位置：正浮水線和傾斜水線之間部分：傾斜后的形心位置：2.5.3 等體積傾斜過程通常情況下，浮體在外力矩作用下傾斜時，排水量保持不變，因此有：；由于：因此在微幅等體積傾斜過程中，必然有：因此有：，。上述結(jié)論也可推廣到一般情況。也

13、就是說，當(dāng)浮體在外力矩作用下發(fā)生等體積微幅傾斜時，浮體旋轉(zhuǎn)軸必定通過當(dāng)前水線面的漂心位置。在等體積傾斜情況下，任意浮態(tài)的浮心位置為：記：則有：以下公式需要校核 若正浮狀態(tài)為平衡狀態(tài)，且浮體的傾斜角很小，則有：略去高階小量得：寫成矩陣形式：若聯(lián)體坐標(biāo)系的x軸和y軸與正浮水線面的慣性主軸平行，則上式中的慣性矩將從方程中消失，這樣，縱傾和橫傾將不會產(chǎn)生耦合項。當(dāng)坐標(biāo)系的x軸和y軸和水線面的慣性主軸平行時，有3 船舶與海洋工程靜力學(xué)常用的數(shù)學(xué)工具本章為選讀章節(jié)，主要介紹了船舶與海洋工程靜力學(xué)課程涉及的一些數(shù)學(xué)概念，主要有面積、形心、慣性矩（二階矩）、坐標(biāo)變換以及相關(guān)的數(shù)值積分方法等知識。3.1 平面圖

14、形的面積、形心和慣性矩在平面上，任意一條閉曲線所圍成的圖形都可稱為平面圖形，任意平面圖形的面積、形心和慣性矩都可采用定積分來計算。3.1.1 面積和面積形心對于任意平面形狀，其面積可用二重積分進行計算：(1.1)形心位置定義為：(1.2)(1.3)xyx0x1ydyu圖1.1 平面形狀的面積其中(1.4)為平面形狀關(guān)于oy軸的一階矩；(1.5)為平面形狀關(guān)于ox軸的一階矩。一階矩通常也稱為靜矩。從力學(xué)的角度來將，相當(dāng)于密度為1/g的均質(zhì)板在沿oy軸的重力作用下，重力關(guān)于坐標(biāo)原點的矩。3.1.2 平面形狀的慣性矩3.1.2.1 慣性矩的定義考慮圖1所示形狀的均質(zhì)板繞y軸旋轉(zhuǎn)時的動力學(xué)問題，若平板

15、所受的力矩為M，角加速度為e，則有(1.6)其中(1.7)為平面形狀關(guān)于oy軸的慣性矩，由于慣性矩是坐標(biāo)二階量的積分，數(shù)學(xué)上也叫做二階矩。同樣，平面形狀關(guān)于ox軸的慣性矩為(1.8)除了以上兩種二階矩外，還有一種二階矩為：(1.9)在船舶與海洋工程靜力學(xué)中，二階矩具有其他物理含義。3.1.2.2 慣性矩的平行軸定理xyxcx1110圖1.2 平行軸定理平面圖形的慣性矩和旋轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，如上圖所示，0-0軸是過平面圖形形心且平行于y軸，1-1軸是平行于y軸的任意軸。平面形狀關(guān)于1-1軸的慣性矩為(1.9)關(guān)于0-0軸的慣性矩為：(1.10)由于代入(1.9)式得(1.12)由于xc為平面形狀的

16、形心橫坐標(biāo)，因此有代入(1.12)式得：(1.13)記關(guān)于過形心且平行于y軸的慣性矩為則關(guān)于任意平行于y軸的軸的慣性矩為：其中為任意軸到過形心軸的距離。同理可證：(1.13)式就是慣性矩的平行軸定理，對于平行于ox軸的情況，有(1.14)xx'y'yqqo3.1.2.3 不同坐標(biāo)系下平面形狀慣性矩換算公式如右圖所示：坐標(biāo)系o-xy和坐標(biāo)系間的夾角是q，在兩個坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：簡記為：在下，繞坐標(biāo)軸的慣性矩為：在下，繞坐標(biāo)軸的慣性矩為：其中：寫成矩陣的形式：簡記為：當(dāng)角取某一個特定的角度時，有：è對于任意平面圖形，必存在一個坐標(biāo)原點在形心且關(guān)于該坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的

17、交叉慣性矩為零的坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸稱為該平面圖形的慣性主軸。3.1.3 組合圖形面積、形心和慣性矩的計算有多個簡單子圖形組合而成的圖形稱為組合圖形。組合圖形的面積為各子圖形面積Ak的和：(1.15)組合圖形的形心為：(1.16)(1.17)為各子圖形的形心。在計算平面圖形的慣性矩時應(yīng)利用平行軸原理，首先過每個子圖形的形心作平行于系統(tǒng)軸的中和軸（過子圖形形心的軸），計算子圖形關(guān)于自身中和軸的慣性矩Ik，在利用平行軸原理計算圖形關(guān)于系統(tǒng)軸的慣性矩，求和后得到整個圖形系關(guān)于系統(tǒng)軸的慣性矩。(1.18)上式中rk為第k個子圖形的中和軸到系統(tǒng)軸的距離。如果要計算整體組合圖形系關(guān)于整體中和軸的慣

18、性矩，在組合圖形形心位置未知的情況下，應(yīng)設(shè)置一平行于中和軸的參考軸，計算組合圖形關(guān)于參考軸的慣性矩，在計算出形心位置后，利用平行軸原理得到關(guān)于組合圖形中和軸的慣性矩。(1.19)其中rc為參考軸到中和軸的距離。例題1.1：求圖0.3所示圖形的面積、形心和關(guān)于過形心且平行于x軸或y軸的軸的慣性矩。xyoABCDEFGHIJKL15m15m5m3m3m6m4m4m5m7m圖0.3 某船水線面圖分析：該圖形可以看做是幾個簡單圖形的組合，其中一種組合形式是在長方形AFKL上割去三角形DHGK，DIJL和長方形BCDE。圖形1：長方形AFKL面積：形心：關(guān)于自身中性軸的慣性矩： 圖形2：三角形HKG面積

19、：形心：關(guān)于自身中性軸的慣性矩：圖形3：三角形IJL面積：形心：關(guān)于自身中性軸的慣性矩：圖形4：長方形BCDE面積：形心：關(guān)于自身中性軸的慣性矩：原圖形（圖形2，3，4是去掉的部分，在求和是應(yīng)取相反數(shù)）面積：形心： 面積關(guān)于x軸的矩： 面積關(guān)于y軸的矩：關(guān)于過形心切平行于x軸的矩關(guān)于過形心切平行于y軸的矩3.2 體積和體積形心的計算3.2.1 體積和形心計算的三維定積分計算方法對于任意形狀的連續(xù)三維形體，體積和形心可用三維積分計算xyz(x,y0,z0)dxAyoz圖1.4(1.20A)(1.20B)(1.20C)(1.20D)在實際計算時，可按三個維度上的依次進行積分，例如可先在y方向和z方

20、向進行積分，計算垂直于x軸的截面和體積截交面的面積和形心，最后計算體積和形心。具體步驟如下：計算任意平行于yoz平面的截面的面積和靜矩(1.21)(1.22)(1.23)求出截面的形心位置，(1.24)沿x軸方向積分獲得體積和體積靜矩(1.25)(1.26)(1.27)(1.28)最后計算體積形心。，(1.29)其他積分次序也可獲得類似的結(jié)果。對于由簡單形體組成的組合形體，若組合形體的第k個子形體的體積為VK，形心位置為（xk，yk，zk）則組合形體的體積和形心可通過按下面的公式計算(1.30A)(1.30B)(1.30C)(1.30D)3.3 面元方法*在計算機建模時，若不關(guān)心形體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)

21、，任意形體的體積可以用若干閉合的曲面組來描述，也就是將形體外表面劃分成若干互不重疊且相互閉合的曲面組，通過定義曲面組的位置來描述形體的形狀。在這種情況下，采用分維積分就變得比較困難，此時，體積的計算可以采用面元法進行計算。根據(jù)高斯定理，體積分可以轉(zhuǎn)化為曲面積分：其中為曲面的外法線方向。這樣三維體積分就轉(zhuǎn)化為二維曲面積分。利用Stokes公式上式中，曲線積分方向為逆時針方向（右手螺旋）。二維積分還可轉(zhuǎn)換為邊界的線積分：3.4 重量、重心的計算 對于連續(xù)介質(zhì)的重量計算方法和連續(xù)體積的計算方法基本相同，可以通過體積分來計算。重量：(1.31A)重心(1.31B)(1.31C)(1.31D)其中為密度

22、，g為重力加速度。若物體是殼體，若殼體的密度為，厚度分布為，則殼體重量可以采用曲面積分計算：(1.31A)重心(1.31B)(1.31C)(1.31D)對于離散的重量系統(tǒng)，重量和體積的計算可按如下公式進行(1.32A)(1.32B)(1.32C)(1.32D)其中為第k個重量子系統(tǒng)的重量，為對應(yīng)重量子系統(tǒng)的重心位置。3.5 曲面形狀的描述見教材3.6 數(shù)值積分方法在工程實踐中，物體表面通常采用若干離散點來近似描述，因此在計算物體的體積、形心以及慣性矩時，物面形狀或平面圖形邊界很難用精確的數(shù)學(xué)函數(shù)來表達，因此想要通過直接的數(shù)學(xué)積分來給出精確值幾乎是不可能實現(xiàn)的，因此在工程上通常采用數(shù)值積分的方式

23、來計算面積、體積、形心和慣性矩等幾何參數(shù)。幾乎所有的數(shù)值積分都是在定積分：的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。分段連續(xù)函數(shù)可以看做是一條分段連續(xù)的曲線，積分I則可看做是曲線和x軸在區(qū)間內(nèi)圍成的面積。不論是是什么函數(shù)形式或函數(shù)具體代表了什么物理含義，在沒有特殊要求的情況下，都可以作為一個整體來對待。因此下面從曲面面積的角度來推導(dǎo)定積分（）的數(shù)值積分方法，其結(jié)論則是通用的。3.6.1 梯形法如圖1.5所示，曲線和x軸之間的面積可用積分表示：(1.33)y0y1y2y3yNyx圖1.5 在曲線方程未知的情況下，不能直接通過積分的手段獲得精確的面積，只能采用數(shù)值的方法來得到面積的近似解。在已知曲線上有限個離散點坐標(biāo)，

24、并將曲線用以離散點為頂點的折線來代替，則可將整個曲線下的圖形看作若干個梯形的組合。若離散點的x坐標(biāo)是均勻分布的，相鄰兩點的間距為l，各節(jié)點依次編號為0，1，2， ，N。各節(jié)點對應(yīng)的y坐標(biāo)為：y0，y1，y2，,yN。梯形組的面積和為：(1.34)將曲線下面積近似成梯形組的面積，曲線下面積(1.35) 其中為修正量，為雖有節(jié)點縱坐標(biāo)的和。3.6.2 辛普生法梯形法采用一系列梯形的面積和來近似曲線下的面積，該方法誤差較大，為了提高計算精度，可以用高階曲線來代替原曲線，用高階曲線下的面積來近似原曲線下的面積。新普生法采用高階拋物線來代替原曲線。其中采用二次拋物線的稱為辛普生第一法，采用三次拋物線的稱

25、為新普生第二法。3.6.2.1 新普生第一法新普生第一法采用二次拋物線代替原曲線，二次拋物線方程為：(1.36)含有三個待定系數(shù)，因此需要連續(xù)三個節(jié)點的坐標(biāo)值來確定拋物線方程的三個系數(shù)。若節(jié)點分布是等間距的，節(jié)點間距為l，取任意三個連續(xù)的節(jié)點，其縱坐標(biāo)分別為，設(shè)拋物線方程為：(1.37)拋物線下的面積為：(1.38)根據(jù)三個節(jié)點的縱坐標(biāo)值，可得到如下方程(1.39A)(1.39B)(1.39C)根據(jù)（1.39）式可得(1.40A)(1.40B)(1.40C)將(1.40)式帶入（1.38）式得：(1.41)由于新普生第一法一次計算三個連續(xù)節(jié)點間兩塊曲邊梯形的面積，一般要求曲線的等分?jǐn)?shù)為偶數(shù)2N

26、。對于圖1.5所示的連續(xù)曲線，曲線下面積(1.42)3.6.2.2 新普生第二法新普生第二法采用三次拋物線代替原曲線，三次拋物線方程為：(1.43)含有四個待定系數(shù)，因此需要連續(xù)四個節(jié)點的坐標(biāo)值來確定拋物線方程的系數(shù)。若節(jié)點分布是等間距的，節(jié)點間距為l，取任意三個連續(xù)的節(jié)點，其縱坐標(biāo)分別為，設(shè)拋物線方程為：(1.44)拋物線下的面積為：(1.45)根據(jù)四個節(jié)點的縱坐標(biāo)值，可得到如下方程(1.46A)(1.46B)(1.46C)(1.46D)（1.46A）+（1.46D）得：(1.47A)(1.46B）+（1.46C）得：(1.47B )（1.47A）-（1.47B）式得(1.48)9´

27、;(1.47B)-(1.47A)/16得：(1.49)將（1.48）式和（1.49）式帶入（1.45）式得：(1.50)由于新普生第二法一次計算四個連續(xù)節(jié)點間三塊曲邊梯形的面積，一般要求曲線的等分?jǐn)?shù)為3N。對于圖0.5所示的連續(xù)曲線，曲線下面積（1.51）3.6.2.3 單塊面積的新普生法新普生法第一（二）法要求曲線的分塊數(shù)為2（3）的倍數(shù)，如果分塊數(shù)不符合要求，則數(shù)值積分公式不能直接應(yīng)用，下面考慮單塊面積的新普生公式。用i-1，i，i+1點構(gòu)造二次曲線，然后求i-1，i之間的面積。(1.52)將（1.40）式帶入（1.52）式得：(1.53)同法可得：(1.54)對于任意分塊數(shù)的曲線，若采用

28、第一法積分，若分塊數(shù)是奇數(shù)，則剩下的單塊面積可用（1.53）或（1.54）來計算。若采用第二法積分，若剩下的分塊時兩塊，則可采用第一法，若剩下一塊，則可采用1.53）或（1.54）來計算。這樣，對于任意分塊數(shù)的情況，都可以得到合適的解決方案。3.7 數(shù)值積分方法在面積和體積計算中的應(yīng)用3.7.1 面積、形心和慣性矩計算3.7.1.1 水線面面積、型心和慣性矩的計算在正浮狀態(tài)，船舶的水線面通常是對稱的船舶的水線面通常是對稱的，在船舶型值表中通常給出某吃水處各站的半寬值。例1.2 假設(shè)某船舶站距為l=7m，某吃水處半寬水線如圖（1.6）所示，表（1.1）給出了該半寬水線的型值，要求計算該水線面的面

29、積、漂心和關(guān)于過漂心且平行于x軸的軸的慣性矩IT和關(guān)于過漂心且平行于y軸的軸的慣性矩IL。圖1.6 某船半寬水線表1.1 某船型值表站號012345678910型值1.480 2.690 3.890 5.000 5.600 5.800 5.310 4.500 3.370 2.140 0.800 【分析】：設(shè)船舶的半寬為y(x)，則面積、漂心可按以下公式計算：面積： 注意，由于是半寬水線，水線面面積是積分值的2倍靜矩：； 由于對稱性，漂心的y坐標(biāo)為零當(dāng)漂心縱坐標(biāo)未知時，平行于y軸的中和軸位置未知，因此IL可用平行軸公式計算：縱傾慣性矩：平行于x軸的中和軸就是x軸本身，因此橫傾慣性矩：由于給出了各

30、站的型值，因此實際計算采用數(shù)值積分的方法進行。為了利用梯形法或新普生法，首先將被積函數(shù)看做x的函數(shù)：第k站處被積函數(shù)的值分別為：，若數(shù)值積分公式為：上式中，為積分系數(shù)，取決于具體積分方法，對于梯形法，對于新普生第一法則有，n=N/2，N為偶數(shù)。這樣，面積、靜矩和慣性矩數(shù)值積分公式分別為：水線面面積：上面各式中，m為x軸零點所在的站號，在本例題中，N=10，m=5。注意到各項求和函數(shù)的關(guān)系：為了方面起見，將稱為力臂，稱做面積函數(shù)，稱做靜矩函數(shù)，和稱做慣性矩矩函數(shù)。通常數(shù)值積分采用列表的方法進行計算。【解】用新普生法第一法列表求解表1.2站號半寬積分系數(shù)面積函數(shù)力臂靜矩函數(shù)慣性矩函數(shù)（IL）慣性矩

31、函數(shù)ITIIIIIIIVVVIVIIVIIIII×IIIIV×VVI×Vy301.480 11.480 -5-7.400 37.000 3.242 12.690 410.760 -4-43.040 172.160 19.465 23.890 27.780 -3-23.340 70.020 58.864 35.000 420.000 -2-40.000 80.000 125.000 45.600 211.200 -1-11.200 11.200 175.616 55.800 423.200 00.000 0.000 195.112 65.310 210.620 11

32、0.620 10.620 149.721 74.500 418.000 236.000 72.000 91.125 83.370 26.740 320.220 60.660 38.273 92.140 48.560 434.240 136.960 9.800 100.800 10.800 54.000 20.000 0.512 S119.140 -19.900 670.620 866.730 面積：m2靜矩：m3漂心：m慣性矩：m4縱傾慣性矩：m4橫傾慣性矩：m4【注意】面積、靜矩和慣性矩計算中的系數(shù)1/3是因為列表計算時，積分系數(shù)取1，4，2，4.的緣故。本題也可用梯形法或新普生第二法進行計算，只需更換相應(yīng)的積分系數(shù)即可。3.7.1.2 橫剖面面積計算和形心的計算例1.3 某船橫剖面在各水線處半寬見表1.3，水線間距為1m，設(shè)計水線為5m，求 a. 設(shè)計水線處橫剖面水線部分的面積和形心。 b. 各水線處橫剖面面積和形心（計算橫剖面面積吃水曲線）。 表1.3水線號01234567半寬值0.000.941.461.761.982.182.352.52A列表計算設(shè)計水線處的面積和形心（采