系泊系統(tǒng)設(shè)計

1、2016高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名

2、號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2016高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：系泊系統(tǒng)的設(shè)計摘要系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題是一個具有悠久歷史的問題，本文根據(jù)系泊系統(tǒng)的設(shè)計要求，建立優(yōu)化模型，求解得到使浮標的吃水深度、游動距離以及鋼桶的傾斜程度盡可能小

3、的最優(yōu)解。針對問題一，本文首先對系泊系統(tǒng)各部分進行受力分析，得到了各部分關(guān)于受力平衡和力矩平衡的表達式，初步建立了系泊系統(tǒng)的力學(xué)模型，但是由于力學(xué)方程組的個數(shù)多且復(fù)雜，難以直接求解出答案，因此本文運用搜索算法對方程進行簡化得到了問題一的結(jié)果，在風速為12m/s時浮標的吃水深度為0.735m，游動區(qū)域半徑為14.184m，鋼桶的傾斜程度為1.008°，鋼管一到四的傾斜角度分別為0.977°，0.983°，0.988°以及0.994°，在風速為24m/s時浮標的吃水深度為0.751m，游動區(qū)域半徑為16.919m，鋼桶的傾斜程度為3.825

4、6;，鋼管一到四的傾斜角度分別為3.712°，3.733°，3.755°以及3.776°。針對問題二，本文首先計算了風速為36m/s時系泊系統(tǒng)各部分參數(shù)，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果不滿足題設(shè)穩(wěn)定條件，因此本文考慮在改變重物球重量的情況下尋找使浮標的吃水深度、游動距離以及鋼桶的傾斜程度盡可能小的系統(tǒng)系泊最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，在分析了系泊系統(tǒng)的優(yōu)化條件和約束條件后，本文成功建立了基于重物球質(zhì)量調(diào)節(jié)的系泊系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計模型，并運用變步長的搜索算法得到了問題二的結(jié)果，在風速為36m/s的情況下系泊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)如下重物球的質(zhì)量為5090kg,浮標的吃水深度為1.940m，游動區(qū)域半

5、徑為12.300m，鋼桶的傾斜程度為0.109°，鋼管一到四的傾斜角度分別為0.108°，0.109°，0.109°以及0.109°。針對問題三，問題三是在問題二基礎(chǔ)上的一個延伸，本文首先考慮水流力的影響，對系泊系統(tǒng)各部分重新進行受力分析，得到各部分關(guān)于受力平衡和力矩平衡的表達式，之后基于問題二的優(yōu)化模型，建立了基于重物球質(zhì)量變初始條件最優(yōu)系泊系統(tǒng)模型，最后本文同樣運用變步長的搜索方法，對本文自己設(shè)計的風速為24m/s，水流速度為1.5m/s，水深變化范圍為1620m的情況給出了相對最優(yōu)解。最后本文對本文所建立的模型進行了客觀的評價，總結(jié)了模型

6、的優(yōu)缺點。【關(guān)鍵詞】 剛體力學(xué) 搜索算法 最優(yōu)設(shè)計 多目標優(yōu)化 一、 問題重述1.1 問題背景 系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題是一個歷史很悠久的問題，它的要求就是要確定錨鏈的型號、長度和重物球的質(zhì)量，使得浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小，基于此要求我們依次解決了以下三個問題。1.2 目標任務(wù)問題一：某型傳輸節(jié)點選用II型電焊錨鏈22.05m，選用的重物球的質(zhì)量為1200kg?，F(xiàn)將該型傳輸節(jié)點布放在水深18m、海床平坦、海水密度為1.025×103kg/m3的海域。若海水靜止，分別計算海面風速為12m/s和24m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標的吃水深度和游動區(qū)域。問

7、題二：在問題1的假設(shè)下，計算海面風速為36m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標的游動區(qū)域。請調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度。問題三：由于潮汐等因素的影響，布放海域的實測水深介于16m20m之間。布放點的海水速度最大可達到1.5m/s、風速最大可達到36m/s。請給出考慮風力、水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設(shè)計，分析不同情況下鋼桶、鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標的吃水深度和游動區(qū)域。二、 問題分析系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題是一個具有悠久歷史的問題，其主要要求為確定錨鏈的型號、長度和重物球的質(zhì)量，使得浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可

8、能小。對于問題一，首先本文依次對浮標、鋼桶、鋼管、重物球、錨鏈和錨進行受力分析，之后根據(jù)受力分析，并考慮錨鏈是否沉底，得出浮標的游動范圍的表達式，最后本文依據(jù)之前分析得出的力學(xué)平衡方程，使用MATLAB聯(lián)立求解，得出鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀以及浮標的游動區(qū)域半徑。對于問題二，問題二是一個多目標優(yōu)化問題，首先我們根據(jù)題設(shè)的要求逐步分析待優(yōu)化的條件和約束條件，之后構(gòu)造目標函數(shù)整體地表示系泊系統(tǒng)的優(yōu)化程度，最后使用變步長的搜索算法得到了系泊系統(tǒng)相對最優(yōu)的一組設(shè)計參數(shù)。對于問題三，問題三是在問題二基礎(chǔ)上的進一步延伸,它和問題二的區(qū)別主要在于，問題三考慮了水流力，因此我們要在要考慮水流力影響的

9、情況下對系泊系統(tǒng)各部分重新進行受力分析，基于問題一和問題二的步驟逐步建立基于重物球質(zhì)量變初始條件最優(yōu)系泊系統(tǒng)模型，之后同樣采用變步長的搜索算法得到了系泊系統(tǒng)相對最優(yōu)的一組設(shè)計結(jié)果。不可避免地由于在第三問中有4個待搜索變量，計算量大大增加，因此得到結(jié)果的準確度可能會受到一定的影響。三、 模型假設(shè)1. 風力和水流力平行于海平面，且浮標不會傾斜。2.錨鏈整體可視為一條可微的曲線，且質(zhì)量均勻。3.忽略錨鏈和重物球的浮力影響。4.水流力對鋼管和鋼桶的作用面積近似為鋼管和鋼桶的縱截面積。 四、 符號說明符號含義單位f各物體所受浮力牛頓F風海風荷載牛頓h浮標的吃水深度米 G重力牛頓T物體所受到的拉力牛頓系統(tǒng)

10、各部分所受的拉力與豎直方向的夾角度L鋼管的長度米鋼管與豎直方向的夾角度H系統(tǒng)各部分垂直高度米s錨鏈長度米S系統(tǒng)各部分的水平長度米五、 模型的建立與求解5.1 問題一模型的建立與求解5.1.1 系泊系統(tǒng)各部分受力分析5.1.1.1 浮標受力分析首先我們考慮實際情況，假設(shè)浮標始終保持豎直狀態(tài)不會傾斜，并且風始終和海平面平行，在此基礎(chǔ)上我們進行浮標的受力分析。浮標一共受到4個力的作用，分別是風力Fb，浮力fi，鋼管的拉力T1，浮標自身的重力Gb，如圖一所示圖一 浮標受力分析圖要使浮標受力平衡，我們應(yīng)該讓浮標的水平方向和豎直方向都保持平衡，我們可以得到以下表達式其中根據(jù)阿基米德定律可知V是浮標浸入水面

11、的體積易得為，其中h是浮標的吃水深度。 風力由題目已知條件可得，v為風速，S為物體在風向法平面的投影面積。5.1.1.2 鋼管受力分析 對于鋼管的受力分析，由于4節(jié)鋼管的受力分析類似，我們在此就分析其中一節(jié)鋼管，其它剛管依次類推。我們假設(shè)4節(jié)鋼管從上到下分別為鋼管1，鋼管2，鋼管3，鋼管4，對于第i節(jié)鋼管，它所受到的右側(cè)的拉力是Ti，它所受到的左側(cè)的拉力為Ti-1，其中AB為鋼管，如圖二所示圖二 鋼管受力分析圖根據(jù)受力平衡和力矩平衡，我們可以得到以下表達式其中L是鋼管的長度，是鋼管與豎直方向的夾角。依次類推我們可以依次得到鋼管2，鋼管3，鋼管4的表達式。鋼管2的受力平衡和力矩平衡表達式為： 鋼

12、管3的受力平衡和力矩平衡表達式為：鋼管4的受力平衡和力矩平衡表達式為：5.1.1.3 鋼桶與重物球受力分析如圖三所示我們對鋼桶和小球進行受力分析，圖中DC就為鋼桶，小球看成一個點處在D的位置。圖三 鋼桶和重物球受力分析圖如圖所示，鋼桶和小球一共受到5個力的作用，鋼桶左側(cè)受到的拉力T5,右側(cè)受到的拉力T6，鋼桶受到的浮力ft，以及它的重力Gt和小球?qū)︿撏暗睦zwq，根據(jù)受力平衡分析,可以得到以下表達式：然后考慮鋼桶與重物球的力矩平衡，由于鋼桶的重力以及浮力作用在質(zhì)心所以不予考慮，我們只要考慮鋼桶與重物球左側(cè)受到的拉力T5，右側(cè)受到的拉力T6，以及小球?qū)︿撏暗睦zwq，根據(jù)力矩平衡的公式可

13、以得到： 其中重物球?qū)︿撏暗睦梢杂蓤D四得到圖4 重物球受力分析圖根據(jù)豎直方向的受力分析我們可以很簡單的得到5.1.1.4 錨鏈的受力分析由于錨鏈是無檔普通鏈環(huán)，我們可以將其看作無彈性懸垂線，因此我們可以用微元的方法來分析其受力狀態(tài)。如圖五所示，考慮ds這樣一段任意的小弧長圖五 錨鏈受力分析圖這樣一段小弧長一共受到三個力的作用，分別是上段錨鏈對該小弧長的拉力T,下段錨鏈對該小弧長的拉力T+Dt，以及小弧長自身所受到的重力G,要使這一段小弧長受力平衡，就要使該小弧長在水平方向上和豎直方向上受力平衡，可以得到如下表達式：將該表達式展開可以得到 因為ds是一段任意的小弧長，可以認為ds近似于趨向于

14、0，當ds趨向于0時，也趨向于0，因此可知趨向于1，趨向于，由此上式可以化簡為 又因為是高階無窮小，可以忽略不計，這樣就可以化簡得到錨鏈的最終表達式。 并且由問題所給的已知條件可以得到該方程的初始條件為5.1.1.5 錨的受力平衡分析如圖六所示，錨一共受到4個力的作用，分別是海底給錨的支持力，錨自身的重力，錨受到的海底給它的摩擦力，以及錨鏈給錨的拉力。圖6 錨受力分析圖由圖可知要使錨受力平衡，應(yīng)該要使錨的水平方向和豎直方向都保持平衡，可以得到如下表達式： 5.1.2 系泊系統(tǒng)垂直高度分析根據(jù)上文受力分析，我們可以簡單得到系泊系統(tǒng)各部分的高度，在此我們定義，系泊系統(tǒng)的總高度為H，浮標的水中垂直高

15、度為，鋼管的水中垂直高度為，鋼桶的水中垂直高度為，錨鏈的水中垂直高度為。首先浮標的垂直高度就為浮標的浸水深度，因此其次鋼管的水中垂直高度為4節(jié)鋼管的長度總和，每節(jié)鋼管長度是它們各自的長度乘以它們的傾斜程度，因此然后鋼管的水中垂直高度等于它的長度乘以它的傾斜程度最后由于錨鏈可以近似的看成無彈性的懸垂線，因此它的垂直高度可以用微元法積分得到將該式拆開得到因此我們可以得到系泊系統(tǒng)的總高度H為5.1.4 浮標游動距離分析如圖七所示首先我們定義浮標的游動距離為錨鏈到浮標中點的距離。 圖7 浮標游動距離示意圖和系泊系統(tǒng)垂直高度分析類似,根據(jù)上文的受力分析我們也可以得到系泊系統(tǒng)各部分的水平距離,從而得到浮標

16、的游動距離, 在此我們定義，浮標的游動距離為S，鋼管的水平距離為，鋼桶的水平距離為，錨鏈的水平距離為。用與系泊系統(tǒng)垂直高度類似的分析方法我們可以得到因此浮標的游動距離就為這三部分的水平距離之和5.1.4 模型的求解算法5.1.4.1 浮標部分求解首先我們假設(shè)浮標的吃水深度h已知，由此進行分析，由上文對浮標的分析我們已經(jīng)知道 在h已知的條件下我們就可以算出F與fb，將這兩個值代入下式就可以解出和。5.1.4.2 鋼管部分求解在已經(jīng)得到和后，我們分析鋼管部分，根據(jù)上文鋼管一的受力分析表達式三個方程三個未知數(shù)，我們就可以算出和和的大小，依次類推將和代入鋼管二的受力分析表達式我們就可以算出和，再將和代

17、入鋼管三的受力分析表達式，再將求出的結(jié)果代入鋼管四的受力分析表達式，就可以得到和，和。5.1.4.3 鋼桶部分求解在已經(jīng)得到和的后我們分析鋼桶部分，根據(jù)上文鋼桶的受力分析表達式三個方程三個未知數(shù)，可以計算出和和。5.1.4.4 錨鏈部分求解在已知和后，我們分析錨鏈部分，由錨鏈部分的表達式和初值條件 我們就可以用matlab畫出錨鏈的圖形2并計算出錨鏈對錨的拉力的大小。5.1.4.5 錨部分求解在已經(jīng)知道錨鏈對錨的拉力的大小后，并且對系統(tǒng)的整體分析可以知道錨受到的摩擦力等于風力的大小，由此根據(jù)錨的受力平衡表達式我們就可以算出的大小。5.1.4.6 模型具體求解過程我們已經(jīng)知道在已經(jīng)知道浮標的吃水

18、深度以后，我們可以一步步推算出系泊系統(tǒng)的各個參數(shù)，因此我們考慮用搜索算法2對模型進行求解，具體求解過程如下1 取一個最初的浮標吃水深度h,由它一步步推算得到H和。2判斷得到的H和是否同時滿足H與18的差值小于一個十分小的量（比如說這個量取0.0.1），并且的角度小于16度，如果滿足這兩個條件就輸出結(jié)果，否則就讓h增加一個的長度重復(fù)步驟一，直到輸出結(jié)果。3其中當浮標只受到重力和浮力的影響時，浮標的吃水深度最小，經(jīng)計算得為0.31，因此我們把0.31作為浮標最初的吃水深度。5.1.5 模型一問題求解結(jié)果展示5.1.5.1風速為12 m/s時求解結(jié)果展示根據(jù)上文的求解過程我們可以得到風速為12m/s

19、時系泊系統(tǒng)的狀態(tài)如下表格所示表1 風速為12 m/s 時的系泊系統(tǒng)參數(shù)表得到的錨鏈形狀如圖8所示圖8 風速為12 m/s 時的錨鏈形狀圖根據(jù)圖8和參數(shù)表我們可以知道在風速為12m/s時錨鏈沉底，即錨鏈和錨的夾角為0度。5.1.5.2風速為24 m/s時求解結(jié)果展示根據(jù)上文的求解過程我們可以得到風速為24m/s時系泊系統(tǒng)的狀態(tài)如下表格所示表2 風速為24 m/s 時的系泊系統(tǒng)參數(shù)表得到的錨鏈形狀如圖9所示圖9 風速為24 m/s 時的錨鏈形狀圖根據(jù)圖9和參數(shù)表我們可以知道在風速為24m/s時錨鏈不沉底，錨鏈和錨的夾角為3.248度。5.2 問題二模型的建立與求解 5.2.1 風速為36 m/s時

20、系泊系統(tǒng)狀態(tài)分析當風速為36m/s時，我們可以根據(jù)問題一的分析方法分析系泊系統(tǒng)的狀態(tài)，結(jié)果如下。表3 風速為36 m/s 時的系泊系統(tǒng)參數(shù)表錨鏈的形狀如圖10所示圖10 風速為36 m/s時錨鏈形狀圖根據(jù)計算結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)當風速為36m/s時，錨鏈與錨的夾角為21.363度，不滿足題目所給的錨鏈與錨的夾角要小于16度的條件，同時鋼桶的傾斜角度為7.975度不滿足題目所給的鋼桶傾斜程度小于5度的條件，因此我們考慮調(diào)整重物球的重量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度。5.2.2 基于重物球質(zhì)量調(diào)節(jié)的系泊系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計模型的建立通過對風速為36m/s時的系泊系統(tǒng)分析我們

21、已經(jīng)知道當風速較大時，鋼桶的傾斜程度和錨鏈與錨的夾角將不滿足題目條件，因此我們要調(diào)整重物球的重量，來使得鋼桶的傾斜角度不超過5度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度，但是在調(diào)整重物球重量的過程中，滿足這兩個條件的系統(tǒng)有很多個，哪個才是我們所要尋找的設(shè)計最優(yōu)的系泊系統(tǒng)呢？為了尋找設(shè)計最優(yōu)的系泊系統(tǒng)，我們考慮建立以下三個目標函數(shù)來確定浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度最小的系泊系統(tǒng)。5.2.2.1 目標函數(shù)分析5.2.2.1.1 浮標吃水深度要讓系泊系統(tǒng)設(shè)計達到最優(yōu)，該系統(tǒng)根據(jù)題設(shè)條件應(yīng)該滿足浮標吃水深度最小的條件，根據(jù)問題一的分析，即要滿足5.2.2.1.2 浮標游動區(qū)域要讓系泊系統(tǒng)設(shè)計達

22、到最優(yōu)，該系統(tǒng)根據(jù)題設(shè)條件應(yīng)該滿足浮標游動區(qū)域最小的條件，根據(jù)問題一的分析，即要滿足其中5.2.2.1.3 鋼桶傾斜角度要讓系泊系統(tǒng)設(shè)計達到最優(yōu)，該系統(tǒng)根據(jù)題設(shè)條件應(yīng)該滿足鋼桶傾斜角度最小的條件，根據(jù)問題一的分析，即要滿足其中可以由鋼桶的力矩平衡和受力平衡表達式求得。5.2.2.1.4 目標函數(shù)的確定在分析了浮標的吃水深度，浮標游動區(qū)域和鋼桶傾斜程度后,我們可以確定總的目標函數(shù)M,令當M最小時即可達到相對最優(yōu)的系泊系統(tǒng)設(shè)計，但是以上表達式?jīng)]有統(tǒng)一量綱，在此種情況下假如相對于和h特別大，和h對M的影響就可以忽略不計了，因此我們考慮對目標函數(shù)M進行優(yōu)化，讓三個變量各自除以它們在系統(tǒng)中可能達到的最大

23、值以統(tǒng)一三個變量的量綱5。5.2.2.2約束條件分析5.2.2.2.1系泊系統(tǒng)總高度分析首先無論重物球質(zhì)量怎么變化，系泊系統(tǒng)的總高度是不變的一直等于海水的深度為18m，即其中5.2.2.2.2 錨鏈與錨夾角分析 根據(jù)題目的約束條件錨鏈和錨的夾角不能大于16度，因此綜上所述，我們就建立了基于重物球質(zhì)量調(diào)節(jié)的系泊系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計模型。在保證以下這兩個約束條件成立的情況下我們要尋找這樣的一個設(shè)計最優(yōu)化的系泊系統(tǒng)。5.2.3 問題二模型的求解1問題二的具體求解思路和問題一類似還是采用搜索算法，但是由于現(xiàn)在搜索的變量變成了兩個，計算量大大增加，因此我們考慮采用變步長的方法來求得近似最優(yōu)解4。2和問題一類似，

24、在參數(shù)的有效范圍內(nèi)給定一個較大的步長，,計算得到每一組數(shù)據(jù)的H和。3首先判斷得到的H和是否同時滿足H與18的差值小于一個十分小的量（比如說這個量取0.0.1），并且的角度小于16度，在滿足這兩個條件并滿足上文約束條件的數(shù)據(jù)中尋找M最小的數(shù)據(jù)，記錄該數(shù)據(jù)的G與h4以在上步得到的G與h為中心，取一個較小的范圍，選定一個較小的步長再次計算H和，然后重復(fù)步驟2直到某一次循環(huán)找到的最小的M大于上一次循環(huán)找到的最小的M，或者達到了規(guī)定的循環(huán)次數(shù)后，跳出，輸出結(jié)果5.2.4 問題二求解結(jié)果展示根據(jù)以上思路以及問題二的已知條件，我們得到了相對最優(yōu)的系泊模型設(shè)計，結(jié)果如下表4 風速為36 m/s 時的系泊系統(tǒng)最

25、優(yōu)參數(shù)表在該情況下錨鏈的形狀如下圖11 風速為36m/s時最優(yōu)系泊設(shè)計錨鏈形狀圖5.3 問題三模型的建立與求解問題一和問題二都是在水深，風速恒定，水流靜止的特殊情況下建立的，那么到了問題三，題目給定水深，風速和水流的范圍，考慮實際系泊系統(tǒng)中水流速度的影響，在水速，風速，水深不定的情況下，選擇合適的錨鏈型號，長度以及重物球的質(zhì)量，來得到最優(yōu)的系泊系統(tǒng)設(shè)計。根據(jù)上文所述，問題三的決策目標和問題二是相同的，都是選擇合適的錨鏈型號，長度以及重物球的質(zhì)量，不同的是由于水流速度的加入，我們要重新分析系泊系統(tǒng)的限制條件，在實際情況中，水平風速和水流力方向夾角是不定的，但是在此為了簡化計算的復(fù)雜度，下文僅在水

26、流力和水平風速同向的情況下進行分析。5.3.1 當水流力和水平風速同向時系泊系統(tǒng)受力分析5.3.1.1 浮標受力分析對于浮標的受力分析，首先我們考慮實際情況，依舊假設(shè)浮標始終保持豎直狀態(tài)不會傾斜，在此基礎(chǔ)上我們進行浮標的受力分析。浮標一共受到5個力的作用，分別是風力F，浮力fb，鋼管的拉力T1，浮標自身的重力Gb，水流力Wb如圖11所示： 圖12 浮標受力分析圖根據(jù)理論力學(xué)的知識，要使浮標受力平衡，應(yīng)該讓浮標在水平方向和豎直方向上都保持平衡，可得到如下表達式其中根據(jù)阿基米德定律可知V是浮標浸入水面的體積易得為，其中h是浮標的吃水深度。 風力由題目已知條件可得，vF為風速，SF為物體在風向法平面

27、的投影面積可由簡單的數(shù)學(xué)計算得到水流力也可由題目已知條件得到，vw為水流的速度，Swater為物體在水流速度法平面的投影面積，經(jīng)過計算得到Swater與物體在水中的橫截面積的偏角小于2度，可以忽略不計，因此我們就用物體在水中的橫截面積作為Swater。5.3.1.2鋼桶受力分析如圖12所示我們對鋼桶和小球進行受力分析，圖中DC就為鋼桶，小球看成一個點處在D的位置。圖13 鋼桶受力分析圖如圖所示，鋼桶和小球一共受到6個力的作用，鋼桶左側(cè)受到的拉力T5,右側(cè)受到的拉力T6，鋼桶受到的浮力ft，以及它的重力Gt和小球?qū)︿撏暗睦zwq和水流對它的作用力Wt根據(jù)受力平衡分析,可以得到以下表達式：然后

28、考慮鋼桶與重物球的力矩平衡，由于鋼桶的重力以及浮力還有水流力作用在質(zhì)心所以不予考慮，我們只要考慮鋼桶與重物球左側(cè)受到的拉力T5,右側(cè)受到的拉力T6，以及小球?qū)︿撏暗睦zwq，根據(jù)力矩平衡的公式可以得到： 其中重物球?qū)︿撏暗睦梢杂蓤D四得到圖14 重物球受力分析圖根據(jù)豎直方向的受力分析我們可以很簡單的得到5.3.1.3鋼管受力分析對于鋼管的受力分析，和問題一類似，4節(jié)鋼管的受力分析類似，我們在此就分析其中一節(jié)鋼管，其它剛管依次類推。鋼管14如圖所示，一共受到來自它左側(cè)的拉力，來自它右側(cè)的拉力，它自身的重力，浮力以及水流力4個力。圖15 鋼管受力分析圖根據(jù)鋼管的力矩平衡和受力平衡我們可以得到

29、以下表達式：依次類推我們可以得到鋼管2的表達式同理可得鋼管3的表達式同樣可以得到鋼管4的表達式5.3.2 基于重物球質(zhì)量變初始條件最優(yōu)系泊系統(tǒng)模型的確立與求解5.3.2.1 模型的確立根據(jù)以上的受力分析運用于問題二所類似的分析方法我們就可以建立同樣的目標函數(shù)M約束條件為需要強調(diào)的是問題三與問題二唯一的區(qū)別就在于推導(dǎo)出上述目標函數(shù)和約束條件的基本表達式由于考慮了水流力的影響發(fā)生了改變。5.3.2.2 模型的具體求解思路問題三和問題二求解思路基本相同，仍然采用搜索算法，只是我們需要考慮的變量新增了錨鏈的型號和錨鏈的個數(shù)，變量從兩個變成了四個，首先我們假設(shè)錨鏈的型號為P，錨鏈鏈環(huán)的個數(shù)為N，具體的求

30、解過程如下1.和問題二類似，在參數(shù)的有效范圍內(nèi)給定一個較大的步長，(其中錨鏈的型號從1到4循環(huán))，計算得到每一組數(shù)據(jù)的H和。2首先判斷得到的H和同時滿足H與18的差值小于一個十分小的量（比如說這個量取0.01），并且的角度小于16度，在滿足這兩個條件并滿足上文約束條件的數(shù)據(jù)中我們改變一開始隨意設(shè)定的海水深度（在題目所給的1620m的海水深度范圍內(nèi)用隨機函數(shù)任意取100個高度）測試這些數(shù)據(jù)是否依舊滿足上面的兩個條件，從篩選出來的數(shù)據(jù)里，尋找M最小的數(shù)據(jù)，記錄該數(shù)據(jù)的G,P,N與h3.以在上步得到的G,P,N與h為中心，取一個較小的范圍，選定一個較小的步長再次計算H和，然后重復(fù)步驟2。4.直到某一

31、次循環(huán)找到的最小的M大于上一次循環(huán)找到的最小的M，或者達到了規(guī)定的循環(huán)次數(shù)后，跳出，輸出結(jié)果。5.3.4 模型求解結(jié)果首先我們假設(shè)風速為24m/s，水速為1.5m/s，在此基礎(chǔ)上我們按照上文的思路進行求解得到了最優(yōu)的系統(tǒng)設(shè)計為重物球的質(zhì)量為3900kg，錨鏈型號是3號，使用的錨鏈總數(shù)是250個，接下來給出水深為16,18,20米的情況來驗證該最優(yōu)設(shè)計的正確性。5.3.4.1 水深為16m時詳解水深為16m時系泊系統(tǒng)的具體參數(shù)如下表5 水深16m，風速24 m/s，水速1.5m/s時的系泊系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)表由此可以得到錨鏈的形狀圖16 水深16m，風速24 m/s，水速1.5m/s時的錨鏈形狀圖5.

32、3.4.2 水深為18m時詳解水深為18m時系泊系統(tǒng)的具體參數(shù)如下表6 水深18m，風速24 m/s，水速1.5m/s時的系泊系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)表由此可以得到錨鏈的形狀圖17 水深18m，風速24 m/s，水速1.5m/s時的錨鏈形狀圖5.3.4.3 水深為20m時詳解水深為20m時系泊系統(tǒng)的具體參數(shù)如下表7 水深20m，風速24 m/s，水速1.5m/s時的系泊系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)表由此可以得到錨鏈的形狀圖18 水深20m，風速24 m/s，水速1.5m/s時的錨鏈形狀圖六、 模型的評價6.1 模型的優(yōu)點1通過對系泊系統(tǒng)各個部分嚴謹?shù)氖芰Ψ治?，得出了比較完美的受力平衡關(guān)系式，進而建立了比較完善的模型，思路

33、嚴晰，結(jié)構(gòu)嚴謹。2以浮標吃水深度最小，鋼桶傾斜角度最小和游動范圍最小為優(yōu)化目標，建立多目標優(yōu)化模型?？梢愿鶕?jù)工程需要，通過調(diào)整權(quán)重來衡量每個目標的重要性，得到更滿足需求的結(jié)果。3模型求解時，給出一系列錨鏈型號，錨鏈長度，重物球重力和浮標吃水深度，通過搜索算法找到最優(yōu)解，簡化了求解的難度。6.2 模型的缺點1未知量較多，模型求解運算量太大。2當風力和水流力同時作用在浮標上時，沒有考慮浮標的傾斜的情況。七、 參考文獻1 卓金武.MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用（第二版）.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2014.92 姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第四版）.北京:高等教育出版社，2011.13 司守奎.數(shù)學(xué)建模算

34、法與應(yīng)用 .北京: 國防工業(yè)出版社，2011.84 張平. MATLAB基礎(chǔ)與應(yīng)用 .北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2007.55 劉來福.數(shù)學(xué)建模方法與分析（第三版）.北京:機械工業(yè)出版社，2009.56 姚澤清，鄭旭東，趙穎.全國與優(yōu)秀論文評析.北京:國防工業(yè)出版社，2012.5 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽八、附錄程序源碼%Q1求解程序clcclear%-全局變量定義-global ro g v Gb Gg fg Gt ft Tzwq yita lianjie len;ro = 1025;g = 9.8;v = 36;Gb = 1000 * g;Gg = 10 * g;fg = 0.025 * 0

35、.025 * pi * ro * g;Gt = 100 * g;ft = 0.15 * 0.15 * pi *ro * g;%Tzwq = 1200 * g;Tzwq = 38220;yita = 7;lianjie = 0.120;len = 30;%-num = len / lianjie;h = 1.660000000000000;for i = 1:length(h)T1(i) = sqrt(Gb - ro * g * pi * h(i).2 + (0.625 * (4 - 2 * h(i) * v . 2 ).2);alpha1(i) = atan(-(0.625 * (4 - 2

36、* h(i) * v . 2)/(Gb - ro * g * pi * h(i);T2(i) = sqrt(Gg - fg - T1(i) * cos(alpha1(i).2 + (T1(i) * sin(alpha1(i).2);alpha2(i) = asin(T1(i) * sin(alpha1(i) / T2(i);sita1(i) = atan(T1(i) * sin(alpha1(i)+T2(i)*sin(alpha2(i)/(T1(i) * cos(alpha1(i)+T2(i)*cos(alpha2(i);T3(i) = sqrt(Gg - fg - T2(i) * cos(a

37、lpha2(i).2 + (T2(i) * sin(alpha2(i).2);alpha3(i) = asin(T2(i) * sin(alpha2(i) / T3(i);sita2(i) = atan(T2(i) * sin(alpha2(i)+T3(i)*sin(alpha3(i)/(T2(i) * cos(alpha2(i)+T3(i)*cos(alpha3(i);T4(i) = sqrt(Gg - fg - T3(i) * cos(alpha3(i).2 + (T3(i) * sin(alpha3(i).2);alpha4(i) = asin(T3(i) * sin(alpha3(i)

38、 / T4(i);sita3(i) = atan(T3(i) * sin(alpha3(i)+T4(i)*sin(alpha4(i)/(T3(i) * cos(alpha3(i)+T4(i)*cos(alpha4(i);T5(i) = sqrt(Gg - fg - T4(i) * cos(alpha4(i).2 + (T4(i) * sin(alpha4(i).2);alpha5(i) = asin(T4(i) * sin(alpha4(i) / T5(i);sita4(i) = atan(T4(i) * sin(alpha4(i)+T5(i)*sin(alpha5(i)/(T4(i) * c

39、os(alpha4(i)+T5(i)*cos(alpha5(i);T6(i) = sqrt(Gt + Tzwq - ft - T5(i) * cos(alpha5(i).2 + (T5(i) * sin(alpha5(i).2);alpha6(i) = asin(T5(i) * sin(alpha5(i) / T6(i);sita5(i) = atan(T5(i) * sin(alpha5(i)+T6(i)*sin(alpha6(i)/(T5(i) * cos(alpha5(i)+T6(i)*cos(alpha6(i) + Tzwq );for n = 1:num if n = 1 T7y(i

40、,n) = T6(i) * cos(alpha6(i); T7x(i,n) = T6(i) * sin(alpha6(i); alpha7(i,n) = atan(T7y(i,n)/T7x(i,n); tx(i,n) = lianjie * cos(alpha7(i,n); ty(i,n) = lianjie * sin(alpha7(i,n); continue end T7y(i,n) = T7y(i,n - 1) - lianjie * 12.5 * g; T7x(i,n) = T7x(i,n - 1); alpha7(i,n) = atan(T7y(i,n)/T7x(i,n); if

41、lianjie * sin(alpha7(i,n) <= 0 tx(i,n) = tx(i, n - 1) + lianjie; ty(i,n) = ty(i, n - 1); continue end tx(i,n) = lianjie * cos(alpha7(i,n) + tx(i, n - 1); ty(i,n) = lianjie * sin(alpha7(i,n) + ty(i, n - 1);endsx(i) = tx(i,n) + sin(sita5(i) + sin(sita4(i) + sin(sita3(i) + sin(sita2(i) + sin(sita1(i

42、);sy(i) = ty(i,n) + cos(sita5(i) + cos(sita4(i) + cos(sita3(i) + cos(sita2(i) + cos(sita1(i);endfor i = 1 : length(h) sita1(i) = sita1(i) / pi * 180; sita2(i) = sita2(i) / pi * 180; sita3(i) = sita3(i) / pi * 180; sita4(i) = sita4(i) / pi * 180; sita5(i) = sita5(i) / pi * 180;end%Q2求解程序clcclear%-全局變

43、量定義-global ro g v Gb Gg fg Gt ft yita lianjie len trange mrange;ro = 1025;g = 9.8;v = 36;Gb = 1000 * g;Gg = 10 * g;fg = 0.025 * 0.025 * pi * ro * g;Gt = 100 * g;ft = 0.15 * 0.15 * pi *ro * g;trange = 5 / 180 * pi;mrange = 16 / 180 * pi;yita = 7;lianjie = 0.105;len = 22.05;%-num = len / lianjie;Tzwqs

44、 = 2800:10:5100;Tzwqs = Tzwqs * g;h = 0.1:0.01:2;s = 1;for t = 1:length(Tzwqs) Tzwq = Tzwqs(t);for i = 1:length(h)T1(i) = sqrt(Gb - ro * g * pi * h(i).2 + (0.625 * (4 - 2 * h(i) * v . 2 ).2);alpha1(i) = atan(-(0.625 * (4 - 2 * h(i) * v . 2)/(Gb - ro * g * pi * h(i);T2(i) = sqrt(Gg - fg - T1(i) * cos

45、(alpha1(i).2 + (T1(i) * sin(alpha1(i).2);alpha2(i) = asin(T1(i) * sin(alpha1(i) / T2(i);sita1(i) = atan(T1(i) * sin(alpha1(i)+T2(i)*sin(alpha2(i)/(T1(i) * cos(alpha1(i)+T2(i)*cos(alpha2(i);T3(i) = sqrt(Gg - fg - T2(i) * cos(alpha2(i).2 + (T2(i) * sin(alpha2(i).2);alpha3(i) = asin(T2(i) * sin(alpha2(

46、i) / T3(i);sita2(i) = atan(T2(i) * sin(alpha2(i)+T3(i)*sin(alpha3(i)/(T2(i) * cos(alpha2(i)+T3(i)*cos(alpha3(i);T4(i) = sqrt(Gg - fg - T3(i) * cos(alpha3(i).2 + (T3(i) * sin(alpha3(i).2);alpha4(i) = asin(T3(i) * sin(alpha3(i) / T4(i);sita3(i) = atan(T3(i) * sin(alpha3(i)+T4(i)*sin(alpha4(i)/(T3(i) *

47、 cos(alpha3(i)+T4(i)*cos(alpha4(i);T5(i) = sqrt(Gg - fg - T4(i) * cos(alpha4(i).2 + (T4(i) * sin(alpha4(i).2);alpha5(i) = asin(T4(i) * sin(alpha4(i) / T5(i);sita4(i) = atan(T4(i) * sin(alpha4(i)+T5(i)*sin(alpha5(i)/(T4(i) * cos(alpha4(i)+T5(i)*cos(alpha5(i);T6(i) = sqrt(Gt + Tzwq - ft - T5(i) * cos(

48、alpha5(i).2 + (T5(i) * sin(alpha5(i).2);alpha6(i) = asin(T5(i) * sin(alpha5(i) / T6(i);sita5(i) = atan(T5(i) * sin(alpha5(i)+T6(i)*sin(alpha6(i)/(T5(i) * cos(alpha5(i)+T6(i)*cos(alpha6(i) + Tzwq );for n = 1:num if n = 1 T7y(i,n) = T6(i) * cos(alpha6(i); T7x(i,n) = T6(i) * sin(alpha6(i); alpha7(i,n)

49、= atan(T7y(i,n)/T7x(i,n); tx(i,n) = lianjie * cos(alpha7(i,n); ty(i,n) = lianjie * sin(alpha7(i,n); continue end T7y(i,n) = T7y(i,n - 1) - lianjie * 7 * g; T7x(i,n) = T7x(i,n - 1); alpha7(i,n) = atan(T7y(i,n)/T7x(i,n); if lianjie * sin(alpha7(i,n) <= 0 tx(i,n) = tx(i, n - 1) + lianjie; ty(i,n) =

50、ty(i, n - 1); continue end tx(i,n) = lianjie * cos(alpha7(i,n) + tx(i, n - 1); ty(i,n) = lianjie * sin(alpha7(i,n) + ty(i, n - 1);endsx(i) = tx(i,n) + sin(sita5(i) + sin(sita4(i) + sin(sita3(i) + sin(sita2(i) + sin(sita1(i);sy(i) = ty(i,n) + cos(sita5(i) + cos(sita4(i) + cos(sita3(i) + cos(sita2(i)

51、+ cos(sita1(i);if abs(sy(i) - 18) < 0.5 && alpha7(i,n) < mrange && sita5(i) < trange he(s,1) = Tzwq; he(s,2) = h(i); if s = 1 youhua = sx(i) + h(i) + sita5(i); he1 = Tzwq, h(i); else if sx(i) + h(i) + sita5(i) < youhua youhua = sx(i) + h(i) + sita5(i); he1 = Tzwq, h(i); e

52、nd end s = s + 1;end endend%Q3求解程序%-全局變量定義-global ro g v Gb Gg fg Gt ft yita lianjie len shui trange mrange;ro = 1025;g = 9.8;v = 36;Gb = 1000 * g;Gg = 10 * g;fg = 0.025 * 0.025 * pi * ro * g;Gt = 100 * g;ft = 0.15 * 0.15 * pi *ro * g;yita = 7;lianjie = 0.120;len = 30;shui = 374 * 1.5 2;trange = 5 / 180 * pi;mrange = 16 / 1