矩陣在解線性方程組中的作用

1、分類號 單位代碼 10642 密 級 公開 學 號200402044003 重慶文理學院學士學位論文    矩陣在解線性方程組中的作用論文作者：王婷指導教師： 相春環(huán)學科專業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學研究方向：線性代數(shù)提交論文日期： 2008年 3 月 18日 論文答辯日期： 2008年 4 月 30日 學位授予單位：重慶文理學院     中 國 · 重 慶2008 年 3月數(shù)學與計算機科學系畢業(yè)論文 目錄目 錄 中文摘要英文摘要1引言1 1.1 問題的提出及研究意1 1.2 國內外研究現(xiàn)狀6 1.3 本文研究的目的和研究內容102矩陣在解線性方程組中

2、的作用12 2.1 預備知識12 2.2 廣義逆矩陣求解線性12 2.2.1 線性方程組的相容性、通解與廣義逆12 2.2.2相容線性方程組的極小范數(shù)解與廣義逆13 2.2.3 矛盾方程組的最小二乘解與廣義逆14 2.2.4 矛盾方程組的極小范數(shù)最小二乘解與廣義逆矩陣12 2.3 用MATLAB輔助計算求解線性方程組15 2.3.1 矩陣在MATLAB中的實現(xiàn)15 2.3.2 MATLAB輔助計算求解線性方程組163結論151致謝156參考文獻157I2004級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文（設計） 矩陣在解線性方程組中的作用數(shù)學與應用數(shù)學(師范類)四班 王婷 指導教師 相春環(huán) 摘要：在科學、工程

3、和管理等各個領域包含的眾多數(shù)學問題中，大都會在某個階段遇到一個解線性方程組的問題。怎樣判斷這種方程組是否有解？若有解又如何求解呢？矩陣作為一個重要的數(shù)學工具，在對解線性方程組進行討論時，充分體現(xiàn)了它的價值。尤其是在實際問題中所遇到的線性方程組的系數(shù)矩陣往往是奇異方陣或長方陣，并且線性方程組可能是矛盾方程組的這類線性方程組的解法，更能顯現(xiàn)出矩陣的作用。本論文通過在解相容線性方程組和矛盾線性方程組的過程中來體現(xiàn)矩陣在解線性方程組中的作用以及其應用價值，特別是對解矛盾線性方程組的研究。并在此基礎上，將矩陣應用到計算機中，在MATLAB軟件的輔助下，通過矩陣來實現(xiàn)解線性方程組則更具有獨特的優(yōu)越性。 關

4、鍵字：矩陣、線性方程組、廣義逆矩陣The solution of linear differential equation with constant coefficientsMajor: Information and Science Computing or Mathematics and Applied Mathematics(Normal) or Computer Science and Technology Class:4Author: yangmei Supervisor: xiangchunhua Abstract：The passage talks about the meth

5、od of solving linear differential equation with constant coefficients,the matrix solution.To linear differential equation with constant coefficients,one solution is important.It use matrix as implement.This is not begin from backgroud,but reduces linear differential equation.And this passage starts

6、with the difinition of linear differential equation and the general layout,then seeks the definition of linear differential equation with constant coefficients and its general layout.Finally,I use the solution to actual questions.I use bibliographic searching and record searching to go on the passag

7、e.Let the coefficient of differential equation to matrix,then go on the calculation.Keywords：Linear differential equation with constant coefficients；Matrix ；Matrix equation；Reduction1引言線性方程組理論是線性代數(shù)的主要內容之一,它在數(shù)學領域的各個分支,以及在自然科學、工程技術，生產實際中都有著重要的作用,而求線性方程組的一般解則是所有學習線性代數(shù)的人們必須掌握的基本技能。通過矩陣可以使許多抽象的數(shù)學對象得到具體的表

8、示，并把相關的運算轉化為矩陣的簡單運算，使代數(shù)學的研究在一定程度上化復雜為簡單，變抽象為具體，變散亂為整齊有序，矩陣是線性代數(shù)中不可或缺的處理工具，它在其它的數(shù)學理論中也有著重要的作用。11問題的提出及研究意義基于線性方程組和矩陣在線性代數(shù)以及在各個領域的廣泛應用，再加上計算機和計算方法的普及發(fā)展,為矩陣的應用開辟了廣闊的前景.通過矩陣來解線性方程組大大簡化了計算過程,為解決許多數(shù)學問題提供了一種研究途徑.研究該課題的意義是為了對矩陣在解線性方程組中的廣泛應用有一個更深的了解與掌握.12國內外研究現(xiàn)狀線性代數(shù)它已面向世界，而矩陣與線性方程組作為其基礎與核心,自然也是被重點研究的對象。在國外，美

9、國的線性代數(shù)教育從1990年開始了一次大的改革，在同年8月，在美國國家科學基金會資助下，他們和工程界的代表組織了一次大會，在1992年美國科學基金會又資助了一個用軟件工具增強線性代數(shù)教學，強調了計算機對線性代數(shù)的重要性，并在實踐中不斷的改革、發(fā)展、完善。在國內，線性代數(shù)也被視為一門重要的學科，而且滲透到眾多領域中，尤其是對線性方程組和矩陣的研究，它們是線性代數(shù)的基礎，為線性代數(shù)做深一步的研究奠定了基礎。求解線性方程組是數(shù)學問題中的重要問題之一,超過75%的科學研究和工程應用中的數(shù)學問題，在某個階段都涉及求解線性方程組。利用數(shù)學方法，通?？蓪⑤^為復雜的問題化為簡單的線性方程組，但解線性方程組又是

10、一個比較繁冗的過程，而矩陣作為一個重要的數(shù)學工具，在這里實現(xiàn)了它應有的價值，通過它計算來求解線性方程組，不管是用計算機來實現(xiàn)還是通過各種法則來計算，它都是一個簡便且有效的方法。13本文研究的目的和內容學習和掌握矩陣的一些基本理論和方法對于我們來說是必不可少的,通過該論文的研究也能使我們對矩陣有更深一步的了解,從而也能為進一步學習線性代數(shù)打下基礎本文先從簡單的基本概念入手,介紹有關矩陣和線性方程組的相關知識,然后在從解線性方程組的過程來突出矩陣在解線性方程組中的作用,這一點主要從兩方面來研究,一方面是廣義逆矩陣求解線性方程組,另一方面就是將矩陣應用到計算機中，在MATLAB階微分方程稱為高階階線

11、性微分方程。階線性微分方程的一般表達式，即軟件的輔助下，通過矩陣來實現(xiàn)解線性方程組。2 矩陣在解線性方程組中的作用2.1 預備知識在對問題討論之前,先對相關概念進行簡單的介紹一下:定義11由個數(shù)組成一個行列的矩形數(shù)表，稱為一個的矩陣，記作： 其中叫矩陣的第行第列元素。定義21 形如 :的方程組，其中代表個未知量，是方程的個數(shù)，稱為方程組的系數(shù)，寫成矩陣形式為，其中，。如果線性方程組有解，則稱該方程組是相容方程組。定義327 設矩陣，若矩陣滿足如下四個方程：； ；則稱為的逆，記為。定義427 對任意，若滿足方程中的等方程，則稱為的逆，記為，其全體記為。2.2 廣義逆矩陣求解線性方程組對于階矩陣和

12、,若,則,考慮線性方程組，若非奇異，則，方程組有唯一解?，F(xiàn)在的問題是如果是奇異的或者不是方陣的情況線性方程組解的情況。關于一般有如下四個基本問題需要解決：的特積分。有解的是什么？有解求出其通解。若有無窮多個解的，求出極小范數(shù)解，即求，使=。若無解,求出最小二乘解,即求向量,使=。若矛盾方程組的最小二乘解有無窮多個,求極小范數(shù)最小二乘解,使=。問題中，當矩陣為非奇異矩陣時不難得出其有解的條件，但如果為奇異矩陣時，用矩陣的逆就不那么容易得出其解的結論了。同樣，問題，也是如此，如何來解決這些問題呢這就是下面我們要討論的問題。通過解決這些問題的過程,我們將會發(fā)現(xiàn)矩陣在當中起著具大的作用。2.2.1線性

13、方程組的相容性、通解與廣義逆定義526 設，如果滿足方程，則稱為的一個減號廣義逆或逆。定理 127 設，且可逆矩陣和使 則 定理227 設，則線性方程組有解的充分必要條件是 ， 其中是任一固定的矩陣。如果有解，則其通解為 。 證明：（1）若成立，則是的解。反之，若有解，則 ，即成立。 （2）若成立，則的通解由給出。首先，由的定義知，對由表示的有 ，即由表示的是的解。反之，設是的任一解，則有。它相當于在中取，故給出了的通解。定理用減號廣義逆給出線性方程有解的充要條件和解的通式，其表達十分簡明，充分顯示了廣義逆的優(yōu)越性，用它就能解決之前提出的第一個問題。下面通過例題來看看減號廣義逆在解線性方程組中

14、具體作用。例1 求線性方程組 的解。解: 將方程組寫成矩陣方程,其中, , =。于是 , 。所以由(2.1)式可得的減號廣義逆為, 其中，取,得的逆為 經驗證:,所以線性方程組有解,且通解為,其中任意。例2 求線性方程組的解,其中, 解:先求出的逆,對進行初等變換可得 所以的標準形為 根據(jù)(2.1.)式, 矩陣的逆為 其中任意，取,得的一個逆為經驗證,所以方程組相容,且其通解為 ,其中任意。 通過兩個例子和(2.2)式我們可以發(fā)現(xiàn)的逆起著類似于非奇異矩陣之逆的作用,而且利用某個逆就可以解決相容方程組的求解問題。解決了線性方程組的有解的情況,接下來就是要解決在有解的情況下,解會是一種什么樣的情況

15、.下面將利用廣義逆解決剩余的三個問題.同樣是圍繞解線性方程組和線性方程組的解來體現(xiàn)矩陣的作用。2.2.2相容線性方程組的極小范數(shù)解與廣義逆引理126 相容方程組的極小范數(shù)解唯一,且這個唯一解在中.引理226 集合由矩陣方程 的所有解組成,其中。定理326 設則 。定理426 設,則是相容線性方程組的唯一極小范數(shù)解,其中。2.2.3 矛盾方程組的最小二乘解與廣義逆引理426 設,集合由矩陣方程 的所有解組成,其中.定理526設,則 。定理626 設,.則是方程組的最小二乘解.反之,設,若對所有 都是方程組的最小二乘解,則。2.2.4 矛盾方程組的極小范數(shù)最小二乘解與廣義逆矩陣定理726 設.則是

16、方程組的唯一極小范數(shù)最小二乘解.反之,設,若對所有是方程組的極小范數(shù)最小二乘解,則。推論126 設,則當時,有 而當時,有 .此推論給出了一種求的一種方法.由于的唯一性,它所具有的一些性質與通常逆矩陣的性質相仿.應用舉例:例3 求線性方程組的最小范數(shù)解,其中, , 解:因為,所以線性方程組是相容的,又由于為行滿秩矩陣,于是因而極小范數(shù)解為 。例4 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組 是否有解?如果有解,求通解和極小范數(shù)解;如果無解,求全部最小二乘解和極小范數(shù)最小二乘解.解：將線性方程組寫成矩陣形式,其中, ?？汕蟮糜捎?所以方程組無解,全部最小二乘解其中任意.極小范數(shù)最小二乘解為 。2.3 用MA

17、TLAB輔助計算求解線性方程組是美國 公司出口的計算機科學計算軟件.在很多領域里,它已成為科技人員首選的計算機數(shù)學語言.。是“矩陣實驗室”的縮寫，它是一種以矩陣運算為基礎的交互式程序語言，因此特別適合于線性代數(shù)求解。在線性代數(shù)的計算方法中，用手工計算只能解決一些低階變量較少的問題，而在實際中出現(xiàn)的大量的線性問題，都是高階的和有很多變量，使用語言輔助線性代數(shù)教學已成為較為流行的教學模式。本論文將結合的特點，通過計算機語言來解線性方程組，在解的過程中，我們將會發(fā)現(xiàn)，矩陣起著非常重要的作用，在的輔助下，用矩陣來解線性方程組大大簡化了我們的計算過程。2.3.1 矩陣在MATLAB中的實現(xiàn)矩陣是一個二維

18、數(shù)組，數(shù)組無需預先定義維數(shù)，直接輸入數(shù)組的元素，用中括號“ ”表示，一個數(shù)組，同行元素間用空格或逗號分隔，不同行間用分號或回車分隔。如：>> clear;a=1,2,3;4,5,6;7,8,9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9或>> clear;a=1 2 34 5 67 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9也提供了很多函數(shù)來生成一些特殊的矩陣：生成行列的零矩陣；生成行列的元素全為的矩陣；生成階單位矩陣；生成行列上均勻分布隨機數(shù)矩陣。在中提供了幾種求解線性方程組的方法，下面對這幾種方法簡單介紹一下：相容方程組:調用函數(shù)來求解代數(shù)方程或代數(shù)方程組。其調

19、用格式為：變量1，變量2，變量（方程，方程2，方程）其中方程為以符號表達式表示的代數(shù)方程，如果是個方程組成的方程組，則將所有的個方程全部供稿以求得方程組的解，即滿足方程組的個變量的值。通過矩陣除法來求解。元線性方程組有唯一解的充分必要條件是；若是階方陣，可用逆陣方法求解：，還可以用矩陣除法求解：，兩種方法都可得到解向量，但使用矩陣除法求解的精度與運算埋單都優(yōu)于用逆陣方法求解，兩種方法的比較將會后面的論述中給出；若不是階方陣，則用的廣義逆矩陣求解，中，的廣義逆矩陣可用函數(shù)得到，鍵入“”便可得到解向量。利用提供的化矩陣為行階梯形形式求解線性方程組。其函數(shù)為，調用格式為（矩陣）。將構成方程組的系數(shù)矩

20、陣作為參數(shù)，可以求得其行階梯形式。矛盾方程組:用最小二乘法求解，其實最小二乘法求解問題可以化為求解一個相容方程組的問題。對于方程的最小二乘解可以用除法運算求解，或用廣義逆來求解，求出解后，需要計算解的誤差向量 。2.3.2輔助計算求解線性方程組調用函數(shù)求解線性方程組當方程為個相容方程時，解的情況有兩種，一種是有唯一解，別一種就是有無窮解。這兩種情況都可用調用函數(shù)解出。下面通過一些例子來說明:例5 求解線性方程解:編寫一個函數(shù), 程序及結果見附錄1.解得原方程組的解為:.這是方程組有唯一解的情況，下面我們來看一下方程組有無窮解的情況：例6 求解線性方程組解: 編寫一個函數(shù), 程序及結果見附錄2.

21、解得原方程組的通解為: 調用函數(shù)求解用此種方法同樣可求得方程組的通解。其具體實現(xiàn)形式是提供的化矩陣為行階梯形形式求解線性方程組。其得到的結果與用函數(shù)來求解是一樣的。下面以例6為例求通解，程序編寫及結果見附錄3，用此種方法求得線性方程組的通解為: 雖然兩種結果的通解不一樣但其都是線性方程的通解。矩陣求解線性方程組上面介紹了兩種求解線性方程組的方法，都是調用中提供的相關函數(shù)來進行運算求解，雖然該兩種方法都能比較快速的求解出線性方程組的解，但是此兩種都局限在了只對相容方程組進行運算，而對矛盾方程組卻不能求解。用矩陣除法運算來求解線性方程組則能解決這個問題。在前面介紹當方程是矛盾方程時用最小二乘法進行

22、編程求解，但其最終實質也是通過矩陣除法這種運算方法來進行求解的。并且，用此矩陣除法來進行編程求解所消耗的時間也比前兩種要快，下面我們將通過具體的實例來比較一下，我們會發(fā)現(xiàn)矩陣在的輔助求解線性方程組不僅簡單易行，而且在時間上也是比較優(yōu)化的。為了更能明確的突出矩陣在解線性方程的優(yōu)勢，下面將分別對方程組 在有唯一解、無窮解、無解的情況進行討論，對幾種方法進行對比，比較幾種方法所用的時間的長短。 有唯一解例7 求解線性方程組 解: 方法一：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄4。 方法二：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄5。方法三：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄6。對比三種方法時間我們可以發(fā)現(xiàn)，方法一運用的是

23、調用函數(shù)，方法二與方法三分別通過矩陣的初等變換與矩陣除法來進行編程計算的，后兩種方法的時間顯然比第一種方法要快得多，在第三種方法中可以發(fā)現(xiàn)，當是階方陣時，用矩陣除法比用逆陣法解線性方程組要快有無窮解例7 求線性方程組的通解解:方法一：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄7。 方法二：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄8。方法三：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄9。無解線性方程組我解時，令，即不存在使得。在實際問題中，常要求向量使得誤差向量的模達到最小，被稱為最小二乘解。用語句“”或“”求方程組的最小二乘解。 例8 求方程的最小二乘解。其中：， .解: 方法一：編寫一個函數(shù)，程序見附錄10。方法二：編寫一個

24、函數(shù)，程序見附錄11。方法三：編寫一個函數(shù)，程序見附錄12。由程序可知，方法一與方法二都不能得出該矛盾方程組的解。方法三在一個程序中用兩種方法來解這個矛盾方程組，在方法三中, 雖然兩種方法的結果不同，但誤差向量的模是相等的。通過以上的比較，不難看出，即使是在輔助下進行求解線性方程組，矩陣仍起著關鍵作用，不管是在計算速度還是精度上矩陣都占著絕對的優(yōu)勢，這也是矩陣之所運用廣泛的原因之一。附錄1:%函數(shù)zero1.msyms x1 x2 x3 x4eq1=sym('x1-2*x2+3*x3-4*x4=4')eq2=sym('x2-x3+x4=-3')eq3=sym(&

25、#39;x1+3*x2+x4=1')eq4=sym('-7*x2+3*x3+x4=-3')x1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3,eq4) 在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero1 eq1 = x1-2*x2+3*x3-4*x4=4 eq2 =x2-x3+x4=-3eq3 = x1+3*x2+x4=1 eq4 =-7*x2+3*x3+x4=-3 x1 = -8x2 =3 x3 =6x4 =0即得原方程組的解為：。附錄2: 函數(shù)zero2.msyms x1 x2 x3 x4 x5eq1=sym('x1+3*x2+

26、5*x3-4*x4=1')eq2=sym('x1+3*x2+2*x3-2*x4+x5=-1')eq3=sym('x1-2*x2+x3-x4-x5=3')eq4=sym('x1-4*x2+x3+x4-x5=3')eq5=sym('x1+2*x2+x3-x4+x5=-1')x1 x2 x3 x4 x5=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5)在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero2eq1 = x1+3*x2+5*x3-4*x4=1 eq2 = x1+3*x2+2*x3-2*x4+x5

27、=-1 eq3 = x1-2*x2+x3-x4-x5=3 eq4 =x1-4*x2+x3+x4-x5=3 eq5 =x1+2*x2+x3-x4+x5=-1 x1 = 1+x4 x2 = x4 x3 = 0 x4 = x4x5 = -2-2*x4從而原議程組等價于： 令，則求得通解為：附錄3: 函數(shù)zero3.ma=1 3 5 -4 0;1 3 2 -2 1;1 -2 1 -1 -1;1 -4 1 1 -1;1 2 1 -1 1;b=1;-1;3;3;-1rank(a),rank(a,b)rref(a,b)在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero3b = 1 -1

28、3 3 -1ans = 4 4ans = 1.0000 0 0 0 0.5000 0 0 1.0000 0 0 0.5000 -1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.5000 -1.0000 0 0 0 0 0 0從而原方程組等價于：令，求得其通解為。附錄4: 函數(shù)zero4.msyms x1 x2 x3 x4eq1=sym('x1-2*x2+3*x3-4*x4=4')eq2=sym('x2-x3+x4=-3')eq3=sym('x1+3*x2+x4=1')eq4=sym('-7*x2+3*x3+x

29、4=-3')tic語 %計時開始x1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3,eq4)Toc %計時結束在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero4 eq1 =x1-2*x2+3*x3-4*x4=4eq2 =x2-x3+x4=-3eq3 =x1+3*x2+x4=1eq4 =-7*x2+3*x3+x4=-3x1 =-8x2 =3x3 =6x4 =0Elapsed time is 0.336909 seconds.附錄5:函數(shù)zero5.ma=1 -2 3 -4;0 1 -1 1;1 3 0 1;0 -7 3 1b=4;-3;1;-3rank(a)

30、,rank(a,b)Tic %計時開始rref(a,b)toc %計時結束在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero5a = 1 -2 3 -4 0 1 -1 1 1 3 0 1 0 -7 3 1b = 4 -3 1 -3ans = 4 4 %滿秩且相等，說明有唯一解ans = 1 0 0 0 -8 0 1 0 0 3 0 0 1 0 6 0 0 0 1 0Elapsed time is 0.002862 seconds.附錄6: 函數(shù)zero6.ma=1 -2 3 -4;0 1 -1 1;1 3 0 1;0 -7 3 1b=4;-3;1;-3rank(a),ran

31、k(a,b)ticx1=ab %矩陣除法tocticx2=inv(a)*b %逆陣法toc在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero6a = 1 -2 3 -4 0 1 -1 1 1 3 0 1 0 -7 3 1b = 4 -3 1 -3ans = 4 4x 1= -8.0000 3.0000 6.0000 0.0000Elapsed time is 0.099093 seconds.X2 = -8.0000 3.0000 6.0000 0.0000Elapsed time is 0.060161 seconds.附錄7:函數(shù)zero7.msyms x1 x2 x3

32、 x4eq1=sym('x1-x2+x3-x4=1')eq2=sym('-x1+x2+x3-x4=1')eq3=sym('2*x1-2*x2-x3+x4=-1')ticx1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3,eq4)toc在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero6 eq1 = x1-x2+x3-x4=1eq2 = -x1+x2+x3-x4=1eq3 =2*x1-2*x2-x3+x4=-1x1 = x2x2 =x2x3 =7/4*x2-1/2x4 =7/4*x2-3/2Elapsed time is

33、 6.785210 seconds.附錄8:函數(shù)zero7.ma=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1b=1;1;-1rank(a),rank(a,b)ticrref(a,b)toc在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero7a = 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 2 -2 -1 1b = 1 1 -1ans = 2 2ans = 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0Elapsed time is 0.009610 seconds.附錄9:函數(shù)zero8.ma=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2

34、-1 1b=1;1;-1rank(a),rank(a,b)ticx=ab,x=null(a)toc在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero8a = 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 2 -2 -1 1b = 1 1 -1ans = 2 2Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 2.1756e-015.> In zero7 at 5x = 0 0 1 0x = -0.7071 0 -0.7071 0 -0.0000 0.7071 -0.0000 0.7071Elapsed time is 0.269107 sec

35、onds.附錄10: 函數(shù)zero9.msyms x1 x2 x3 x4eq1=sym('x1+2*x2+3*x3+4*x4=1')eq2=sym('x1+4*x2+9*x3+4*x4=2')eq3=sym('x1+2*x2+3*x3+4*x4=3')x1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3)在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero8 eq1 =x1+2*x2+3*x3+4*x4=1eq2 =x1+4*x2+9*x3+4*x4=2eq3 =x1+2*x2+3*x3+4*x4=3Warning: Ex

36、plicit solution could not be found.> In solve at 140 In sym.solve at 49 In zero8 at 5x1 = empty sym x2 = x3 = x4 = 方程組無解。附錄11:函數(shù)zero10.mA=1 2 3 4;1 4 9 4;1 2 3 4b=1;2;3rank(A),rank(A,b)rref(A,b)在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero9A = 1 2 3 4 1 4 9 4 1 2 3 4b = 1 2 3ans = 2 3ans = 1 0 -3 4 0 0 1 3

37、 0 0 0 0 0 0 1附錄12:函數(shù)zero11.mA=1 2 3 4;1 4 9 4;1 2 3 4b=1;2;3ticx1=pinv(A)*b %廣義逆矩陣toce1=A*x1-bm1=norm(e1)ticx2=Ab %矩陣除法toce2=A*x2-bm2=morm(e2)在指令窗口執(zhí)行相應指令，并得出運行結果如下：>> zero11A = 1 2 3 4 1 4 9 4 1 2 3 4b = 1 2 3x1 = 0.1117 0.1006 -0.0335 0.4469Elapsed time is 0.007436 seconds.e1 = 1.0000 -0.000

38、0 -1.0000m1 = 1.4142Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 8.8373e-015.> In zero9 at 9x2 = 0 0 0 0.5000Elapsed time is 0.025049 seconds.e2 = 1.0000 0.0000 -1.00003 結論通過用廣義逆矩陣來解線性方程組的過程中可以看出,它解決了矛盾方程組無解的情況,這在很多研究領域起著重要的作用.而且通過計算機軟件輔助矩陣計算求解線性方程要比用其它方法快些.因此,矩陣在解線性方程組起著至關重要的重用.致 謝本文的研究工作是在我的導師相春環(huán)的精

39、心指導和悉心關懷下完成的，在我的學業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導師辛勤的汗水和心血。導師的嚴謹治學態(tài)度、淵博的知識、無私的奉獻精神使我深受的啟迪。從尊敬的導師身上，我不僅學到了扎實、寬廣的專業(yè)知識，也學到了做人的道理。在此我要向我的導師致以最衷心的感謝和深深的敬意。在此，向所有關心和幫助過我的導師、老師、同學和朋友表示由衷的謝意！參考文獻1 王萼芳 石生明. 高等代數(shù)M.高等教育出版社,第三版2 金朝嵩 符名培. 線性代數(shù)M. 重慶大學出版社,第二版3 王篤正線性方程組與矩陣M出版日期: 1980年06月第1版4 周金森廣義逆矩陣與線性方程組的解J漳州職業(yè)技術學院學報2006年4月,P15P175趙慎行. 線性方程組AX=B幾種解法的比較研究J.科技咨詢導報.2007年,P99P1016 姚金江. 利用矩陣的廣義逆求線性方程組的解J.中國科技信息2007年第四期,P260P2617鄒國成. 關于線性方程組的解的幾個結論J. 樂山師范學院學報.2005年5月