ch平面及其方程PPT課件

1、10.3.1 10.3.1 平面及其方程平面及其方程 n量，量，的非零向量稱為法線向的非零向量稱為法線向垂直于平面垂直于平面 簡稱法向量簡稱法向量的的法法向向量量垂垂直直上上任任一一向向量量都都與與該該平平面面顯顯然然，平平面面 上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)，為為設(shè)設(shè) ),(zyxM則則有有 nMM0即即00 nMM，由于由于,0000zzyyxxMM 于是有于是有0)()()(000 zzCyyBxxA0MA. A. 平面方程平面方程M第1頁/共20頁為法向量的平面方程為法向量的平面方程且以且以求過點(diǎn)求過點(diǎn)例例3, 2, 1)0, 3, 2(1 n解解，根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程所求平面

2、為所求平面為03)3)(2()2(1 zyx即即0832 zyx可可以以改改寫寫為為三三元元一一次次方方程程0 DCzByAx 即即平平面面 的的方方程程是是一一個(gè)個(gè)三三元元一一次次方方程程。0)()()(000 zzCyyBxxA問問題題：任任意意三三元元一一次次方方程程是是否否可可表表示示一一個(gè)個(gè)平平面面？第2頁/共20頁設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程(1)與此點(diǎn)法式方程等價(jià), (1)的平面, 因此方程(1)的圖形是法向量為 方程.第3頁/共20頁特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z =

3、 0 表示 通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.第4頁/共20頁其中 即為平面在 x , y ,z 軸上的截距 .所以 (2) 稱為平面 的截距式方程. 當(dāng) 時(shí), A x + B y + C z +D= 0 表示為 ,0A B C D (2)第5頁/

4、共20頁由于上式可表為(3)若在 方程兩邊同乘其中 + , -號的選取使則有第6頁/共20頁(3)故知 (3) 式中的 p 表示平面到原點(diǎn) O 的距離 式 (3) 稱為平面的法式方程綜上所述可知: 對于平面的一般方程 可分別化為(1) 點(diǎn)法式方程 (反映法向量 , 經(jīng)過的點(diǎn) M0 )(2) 截距式方程 ( 反映平面與各坐標(biāo)軸的截距 )(3) 法式方程 ( 反映平面與原點(diǎn) O 的距離 )它們都分別刻畫了平面 的一些重要特征 .第7頁/共20頁的的平平面面和和、求求過過三三點(diǎn)點(diǎn)例例)3, 2, 0()2, 3, 1()4, 1, 2(2321MMM 的方程的方程解解，6, 4, 321 MM，1,

5、 3, 231 MM則則平平面面的的法法向向量量為為 3121MMMMn132643 kji kji914即即1, 9,14 n所求平面為所求平面為0)4()1(9)2(14 zyx化簡為化簡為015914 zyx1M2M3M第8頁/共20頁解二:將 M1 , M2 , M3 代入方程式中 , 解線性方程組求解解三: 則 共面任取 M = ( x , y , z ) R3 , M M1 , M2 , M3 , 第9頁/共20頁一般情況 : 過三點(diǎn)的平面方程為第10頁/共20頁的的和和軸且經(jīng)過兩點(diǎn)軸且經(jīng)過兩點(diǎn)求平行于求平行于例例)7, 1, 5()2, 0, 4(421MMx 平面方程平面方程解

6、法一：解法一：程為程為設(shè)所求平面的一般式方設(shè)所求平面的一般式方0 DCzByAx軸平行，軸平行，由于該平面與由于該平面與 x，則有則有0 A平面方程可化為平面方程可化為0 DCzBy得得及及代代入入點(diǎn)點(diǎn))7, 1, 5()2, 0, 4(21MM DBDC2921 ，從而從而則所求平面方程為則所求平面方程為 0702DCBDC02129 DzDyD，消去消去)0( DD化化簡簡得得029 zy第11頁/共20頁解法二：解法二：xyzo1M2Min ,21MMn 由由題題意意，知知所以所以iMM 21法法向向量量001911kji 1,9,0 所以所以029 zy第12頁/共20頁的銳角的銳角兩

7、平面的法線向量所夾兩平面的法線向量所夾稱稱為為兩兩平平面面的的夾夾角角011111 DzCyBxA：設(shè)平面設(shè)平面 022222 DzCyBxA：平面平面 ,11111CBAn 的法向量為的法向量為則則 ,22222CBAn 的法向量為的法向量為 從而從而|),cos(21 nn互互相相垂垂直直與與21 0212121 CCBBAA互互相相平平行行與與21 212121CCBBAA )(21DD B. B. 兩平面的夾角兩平面的夾角第13頁/共20頁的夾角的夾角與與求兩平面求兩平面例例0520626 zyxzyx解解夾夾角角余余弦弦 cos114411|212| 21 則夾角則夾角3 1 ,1

8、,2,2,1,1 兩兩個(gè)個(gè)法法向向量量為為：第14頁/共20頁且且垂垂直直于于平平面面和和一一平平面面通通過過兩兩點(diǎn)點(diǎn)例例)1, 1, 0()1, 1, 1(721 MM，0 zyx求它的方程求它的方程解解垂直，垂直，由于所求平面與由于所求平面與0 zyx垂直，垂直，與與則其法向量則其法向量1, 1, 11 nn在在該該平平面面上上，又又21,MM所所以以 121nMMn111201 kji kji2故所求平面為故所求平面為0)1()1()1(2 zyx即即02 zyx1M2M1nn第15頁/共20頁外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，：是平面是平面設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)0),(0000 DCzByAxzyxP 到到這這平平面

9、面的的距距離離求求點(diǎn)點(diǎn)0P 0P1Pn，在在平平面面上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)),(1111zyxP，并作法向量并作法向量n則距離為則距離為 01PrjPPdn|01 nePP 222222222101010,CBACCBABCBAAzzyyxx222101010)()()(CBAzzCyyBxxA QC. C. 點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離第16頁/共20頁06202222821 zyxzyx：與與：求兩平行平面求兩平行平面例例 之間的距離之間的距離解解上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在1 ，)1, 1, 1(0 M離離：距距離離即即為為兩兩平平面面間間的的距距到到則則20 M2116)2(11 d223 的平面方程，的平面方程，試求平行于試求平行于例例059 zyx)2, 1, 1(0 M使使已已知知點(diǎn)點(diǎn)到所求平面的距離為到所求平面的距離為 2解解，因所求平面平行于因所求平面平行于05 zyx則知其法向量為則知其法向量為1, 1, 1 n因而可設(shè)該平面方程為因而可設(shè)該平面方程為0 Dzyx，到到該該平平面面的的距距離離為為又又2)2, 1, 1(0 M即即2111211 D32 D得得到到故所求平面為故所求平面為032 z