概率論與數(shù)理統(tǒng)計 4.2 隨機變量的特征函數(shù)

1、1一些預備知識一些預備知識復隨機變量復隨機變量 的模為的模為=Z XiY 22| |=ZXY =Z XiY 稱為稱為Z Z的復共軛隨機變量的復共軛隨機變量. .=Z XiY 的數(shù)學期望定義為的數(shù)學期望定義為 . .()=()()E ZE XiE Y 有歐拉公式有歐拉公式cossin （對任意實數(shù) 成立）ixexixx cossiniXeXiX 對隨機變量對隨機變量X X，也有，也有 是一復隨機變量。是一復隨機變量。 22=()()Z ZXiYXiYXY （1）（2）（3）（4）一一. 特征函數(shù)的定義特征函數(shù)的定義 定義定義 設設X 為一隨機變量，稱為一隨機變量，稱( )() ()itXtE e

2、t 為為X X 的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。4.2 隨機變量的特征函數(shù)隨機變量的特征函數(shù) 注注 X X 的特征函數(shù)的定義域是的特征函數(shù)的定義域是 ，特征函數(shù)也，特征函數(shù)也是研究隨機變量的好工具是研究隨機變量的好工具. .()， e, ( )() ( ), kitxkitXkitxptE ee p x dx離散場合連續(xù)場合根據(jù)定義，有根據(jù)定義，有 常用分布的特征函數(shù)常用分布的特征函數(shù)( (一）一）（1 1）單點分布）單點分布1, ( )若 則 ictP Xcte （2 2）0-10-1分布分布1p, 01pP XP X ( )() (1-)其中itXittE epeqqp 也可表示為也可表示為1(1

3、) (0,1)xxP Xxppx 其特征函數(shù)為其特征函數(shù)為（3 3）泊松分布）泊松分布,(0,1,2,)!kP Xkekk 其特征函數(shù)為其特征函數(shù)為0( )!kitkkteek 0( )!kitkkteek (1)ititeeeee 0()!itkkeek 即即（4 4）均勻分布）均勻分布( , ).U a b1 , ( ) 0, 其他axbp xba 其特征函數(shù)為其特征函數(shù)為( )( )itxtep x dx 1()ibtiatbitxaeeedxbait ba （4 4）標準正態(tài)分布）標準正態(tài)分布 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為(0,1)，N221( ) ()2xp xex 則特征函數(shù)為則特征函

4、數(shù)為( )( )itxtep x dx 22221=2xtitxeedxe （5 5）指數(shù)分布）指數(shù)分布 , , 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為exp( ) , 0( )0, 0 xexp xx 則特征函數(shù)為則特征函數(shù)為( )( )itxtep x dx 000=cos()sin()itxxxxeedxtx edxitx edx 22221+(1)tittit 二二. 特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1：對于隨機變量對于隨機變量Y= Y= aX+baX+b，有有( )().ibtYXteat 事實上，根據(jù)定義事實上，根據(jù)定義()()=().ibti ta XibtXeE eeat ()(

5、)()()itYit aXbYtE eE e 性質(zhì)性質(zhì)2 2：如果兩個隨機變量如果兩個隨機變量X X與與Y Y相互獨立，則相互獨立，則( )( )( )X YXYttt 事實上，根據(jù)定義事實上，根據(jù)定義( (注意到注意到X X與與Y Y相互獨立相互獨立) )，有，有()( )()()it X YitXitXX YtE eE ee =()）itXitXE eE e =( )( )XYtt 性質(zhì)性質(zhì)3 3：如果如果 存在，則存在，則X X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 存在存在l l 階導階導數(shù)，且對數(shù)，且對 ，有，有 ()lE X( ) t 1kl ()(0)()kkki E X 即即()(0)()=kk

6、kE Xi 事實上，因為事實上，因為 存在，則積分存在，則積分 ()lE X|( )lxp x dx 含參變量含參變量 t t 的廣義積分的廣義積分 可以對可以對 t t 求導求導l l 次次. . ( )itxep x dx 于是對于是對 ，有，有 1kl ()( )( )()kkkitxkkitXti x ep x dxi E X e 令上式中令上式中 ，則可得，則可得0t ()(0)()kkki E X 即即()(0)()=kkkE Xi 常用分布的特征函數(shù)常用分布的特征函數(shù)( (二）二）（1 1）二項分布）二項分布若若X X服從二項分布服從二項分布b(b(n,pn,p) )，則，則1n

7、iiXX 其中，其中，12,nXXX相互獨立，且均服從相互獨立，且均服從0-10-1分布分布. . 因為因為 的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 iX( ) (1-)其中iitXtpeqqp 所以由獨立隨機變量和的特征函數(shù)為每個特征函數(shù)之積的性質(zhì)，有所以由獨立隨機變量和的特征函數(shù)為每個特征函數(shù)之積的性質(zhì)，有( )() (1-)其中itnXtpeqqp （2 2）正態(tài)分布）正態(tài)分布2( ,)N 設設X X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 ，則，則 2( ,)N (0,1)XYN 已知已知 的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為(0,1)XYN 22( )tYte 則根據(jù)性質(zhì)則根據(jù)性質(zhì)1 1，可得，可得 的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為

8、XY 2 22( )()ti ti tXYtete 三三. 特征函數(shù)可唯一確定分布函數(shù)，從而如果知道了特征函數(shù)可唯一確定分布函數(shù)，從而如果知道了隨機變量隨機變量X的特征函數(shù)，理論上講也就知道了的特征函數(shù)，理論上講也就知道了X的分布的分布. 定理定理：設設X X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 , , 特征特征 ( )p x函數(shù)為函數(shù)為 , ,則則( ) t -1( )=( )2itxp xet dt 實際上，有實際上，有( )( )itxtep x dx -1( )=( )2itxp xet dt 即特征函數(shù)是密度函數(shù)的傅里葉變換，而密度函數(shù)是特征函即特征函數(shù)是密度

9、函數(shù)的傅里葉變換，而密度函數(shù)是特征函數(shù)的傅里葉逆變換。數(shù)的傅里葉逆變換。 一般來講，用卷積公式求獨立隨機變量和的分布都比較復雜一般來講，用卷積公式求獨立隨機變量和的分布都比較復雜，而引入了特征函數(shù)后，因為，而引入了特征函數(shù)后，因為“獨立和獨立和” ” 的特征函數(shù)是各特征函的特征函數(shù)是各特征函數(shù)的乘積，這樣就可比較容易地求得數(shù)的乘積，這樣就可比較容易地求得“獨立和獨立和”的特征函數(shù)，然的特征函數(shù)，然后再由后再由“唯一性定理唯一性定理”，就可以確定，就可以確定“獨立和獨立和”的分布了。的分布了。例如，設隨機變量例如，設隨機變量X X與與Y Y相互獨立，且相互獨立，且221122(,) ,(,)XNYN 則則X X與與Y Y的特征函數(shù)的特征函數(shù)分分別別為為2 2112( )titXte 2 2222( )titYte 從而可得從而可得Z=X+