空間立體幾何講義.docx

1、第 1 講空間幾何體高考考試大綱的要求：認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu) .能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式 .會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.（一）例題選講：例 1. 四面體 ABCD的外接球球心在CD上，且 CD 2，AB3

2、 ，在外接球面上兩點(diǎn)A、B 間的球面距離是（）ABC 2D 56336例 2.如果圓臺(tái)的母線與底面成60°角 , 那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比為( )A2 B 3C23D 1232例 3.在正三棱柱 ABC A B C中，側(cè)棱長(zhǎng)為2 ，底面三角形的邊長(zhǎng)為 1，則 BC與側(cè)面 ACCA 所成的角111111是.例 4. 如圖所示，等腰ABC的底邊 AB=6 6, 高 CD=3，點(diǎn) B是線段 BD上異于點(diǎn) B、 D的動(dòng)點(diǎn) . 點(diǎn) F 在 BC邊上，且. 現(xiàn)沿將折起到的位置，使. 記， () 表示四棱錐P-ACFEEFABEFBEFPEFPEAEBE xV x的體積 .（ 1）求

3、V( x) 的表達(dá)式；（ 2）當(dāng) x 為何值時(shí)， V( x) 取得最大值？（ 3）當(dāng) V( x) 取得最大值時(shí)，求異面直線AC與 PF所成角的余弦值。（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）正方形圓錐三棱臺(tái)正四棱錐ABCD2設(shè)地球半徑為R，若甲地位于北緯450 東經(jīng) 1200 ，乙地位于南緯度750 東經(jīng) 1200 ，則甲、乙兩地球面距離為（）（ A）3R(B)R(C)5R(D)2R6633若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為6 ，棱長(zhǎng)為6 的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的面上，則此球的體積為24. 已知 A, B, C 三點(diǎn)在球心為 O ，半徑為 R 的球面上， ACBC ，且

4、ABR ，那么 A, B 兩點(diǎn)的球面距離為 _，球心到平面ABC 的距離為 _5如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD 為矩形， AB=8， AD=4 3 ，P側(cè)面 PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60° .（）求四棱錐PABCD的體積；（）證明PA BD.DCAB（三）鞏固練習(xí)：1 若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為3 ，則這個(gè)圓錐的全面積是（）（A）3（B）33（C）6（D）92、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A16B20C24D 323. 一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，

5、這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是()3433A. 4B.5C.5D. 54已知球 O的半徑為 1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離為，則球心 O到平面 ABC2的距離為（）（A） 1（ B）3（C） 2（D）633335. 表面積為 23的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 則此球的體積為（）A2B12D 223C 3336. 已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為26 ，則側(cè)面與底面所成的二面角等于 _7請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。 它下部的形狀是高為1m的正六棱柱， 上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐 （如圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心 o 的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？1

6、O8 如圖，已知平行六面體ABCD-A1 B1C1 D1 的底面 ABCD是菱形，且C1CB =C1CDBCD 。（ I ）證明：C1C BD；（ II）當(dāng)CD CC1的值為多少時(shí)，能使A1C平面C1 BD ？請(qǐng)給出證明。第 2 講空間直線和平面高考考試大綱的要求：理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).公理 2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

7、定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：如果一條直線與一個(gè)平面平行,經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面相交, 那么這條直線就和交線平行 .如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三

8、個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直. 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.（一）例題選講：例 1如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分別是 AB1、 BC1 的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是()A EF 與 BB1垂直B.EF 與 BD垂直C. EF 與 CD異面D.EF 與 A1C1異面例 2.如圖，平面 平面 ， A ， B ， AB與兩平面 、所成的角分別為 4 和 6 ，過 A、 B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A、 B，A則（）AB AB（

9、A）21（B） 3 1（ C）32（D） 4 3BBA例 3. 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè) ABC的兩邊 AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是： “設(shè)三棱錐 ABCD的三個(gè)側(cè)面 ABC、 ACD、ADB兩兩相互垂直，則例 4. 在三棱錐S ABC中， ABC是邊長(zhǎng)為4 的正三角形， 平面 SAC平面 ABC， SA=SC=2 2 ， M、 N 分別為 AB、 SB的中點(diǎn)。（）證明： AC SB；（）求二面角 N CMB 的大??；（）求點(diǎn) B 到平面 CMN的距離 .（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1已知

10、兩條直線 m, n ，兩個(gè)平面,，給出下面四個(gè)命題： m / n, mn/ , m, nm / n m / n, m /n /, m / n, mn其中正確命題的序號(hào)是（）A B C D2. 已知 P 為平面 a 外一點(diǎn)，直線la, 點(diǎn) Q l , 記點(diǎn) P 到平面 a 的距離為 a, 點(diǎn) P 到直線 l 的距離為 b，點(diǎn) P、Q之間的距離為c，則（）(A) a b c(C)acb(B)c(D)a b b c a3、給出以下四個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面如果

11、兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行，如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.4B.3C.2D.14、下列命題中，正確的是（）A經(jīng)過不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線D垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行5. 已知點(diǎn) O在二面角 AB的棱上，點(diǎn) P在內(nèi)，且 POB45°若對(duì)于內(nèi)異于 0的任意一點(diǎn) Q，都有 POQ 45°，則二面角 AB的大小是 _ 6已知平面 , 和直線，給出條件： m/ ； m； m； /.（ i ）當(dāng)滿足條件時(shí)，有 m /；P（

12、 ii ）當(dāng)滿足條件時(shí)，有 m. （填所選條件的序號(hào)）7三棱錐 P ABC中，側(cè)面 PAC與底面 ABC垂直， PA=PB=PC=3.(1)求證 AB BC；(2)如果 AB=BC=23 ，求側(cè)面 PBC與側(cè)面 PAC所成二面角的大小 .ACB（三）鞏固練習(xí)：1若 m， n 是兩條不同的直線， ，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A若 m，則 mB 若 m， m ，則C若，則D若Im ，In ， m n ，則2. 設(shè) a， b 為兩條直線 ,， 為兩個(gè)平面 , 下列四個(gè)命題中，正確的命題是( )A若 a，b 與 所成的角相等，則a bB 若 a， b ， ，則C若 a， b， a b

13、 ，則D 若 a， b，則a bab3. 若三個(gè)平面兩兩相交 , 且三條交線互相平行 , 則這三個(gè)平面把空間分成（）A 5 部分 B.6部分 C.7部分D.8部分4給出下列四個(gè)命題: 垂直于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.若直線 l1 ,l2 與同一平面所成的角相等, 則 l1, l2 互相平行 .若直線 l1, l2 是異面直線 , 則與 l1, l2都相交的兩條直線是異面直線. 其中假 命題的個(gè)數(shù)是（）(A)1(B)2(C)3(D)45. 設(shè) m 、 n 是兩條不同的直線，、 是兩個(gè)不同的平面 . 考查下列命題，其中正確的命題是（A m, n, m nB /

14、, m, n /m nC, m,n /m nD ,m, n mn6. 在正四面體P ABC中， D， E，F(xiàn) 分別是 AB， BC， CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是（A） BC/ 平面 PDF（ B） DF平面 PA E（C）平面 PDF平面 ABC（D）平面 PAE平面 ABC7設(shè) 、 、 為平面， m、n、l 為直線，則 m的一個(gè)充分條件是 ()(A),l , ml(B)m,(C), m(D) n, n, m8對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平等于；存在直線 l，直線 m，使得 l / m ；存在異面直線、 ，使得l /, l /,

15、m / , m / .其中，可以判定與平行的條件有l(wèi) mA1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)9設(shè) P 是 60o 的二面角l內(nèi)一點(diǎn)， PA平面, PB平面 , A,B為 垂足，PA4, PB2, 則 AB的長(zhǎng)為：（）（）A2 3B2 5C2 7D 4 210. 已知直線 、 m，平面、，且，給出下列四個(gè)命題。(1)若;(2);(3)若，則;(4)若其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D.4 個(gè)11已知 m、 n 是不同的直線，,是不重合的平面，給出下列命題：若 /,m, n, 則 m / n若 m, n, m / , n /, 則/若 m, n, m / n , 則/ m、n

16、 是兩條異面直線， 若 m /, m / , n /,n /,則 /上面命題中，真命題的序號(hào)是_( 寫出所有真命的序號(hào)）12在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB=BC= 2 ， BB1=2， ABC90 ，E、F 分別為 AA1、 C1B1 的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E 到 F 兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為.13已知 a、 b 為不垂直的異面直線，是一個(gè)平面，則a、 b 在上的射影有可能是:兩條平行直線 兩條互相垂直的直線同一條直線一條直線及其外一點(diǎn)在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)） .14已知平面和平面交于直線l ， P 是空間一點(diǎn)， PA，垂足為A， PB，垂足為B，且

17、PA=1，PB=2，若點(diǎn) A 在內(nèi)的射影與點(diǎn)B 在內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P 到 l 的距離為。15在空間中，若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線若兩條直線沒有共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線 以上兩個(gè)命題中， 逆命題為真命題的是 （把符合要求的命題序號(hào)都填上）16如圖，已知四棱錐 P ABCD， PB AD，側(cè)面 PAD為邊長(zhǎng)等于 2 的正三角形，底面 ABCD為菱形，側(cè)面 PAD與底面 ABCD所成的二面角為 120° . （ I ）求點(diǎn) P 到平面 ABCD的距離；（ II ）求面 APB與面 CPB所成二面角的大小第 3 講空間向量與立體幾何高考考試大綱的要求：（ 1）空間向量及其

18、運(yùn)算了解空間向量的概念, 了解空間向量的基本定理及其意義, 掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示. 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.（ 2）空間向量的應(yīng)用 理解直線的方向向量與平面的法向量. 能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用 .（一）基礎(chǔ)知識(shí)回顧：rrr urrrrrr r1.向量的數(shù)量積：已知非零向量a, b

19、，則 a b| a | b | cos a, b叫做 a與b 的數(shù)量積。rrrr兩向量夾角的求法 ： cosrabr=a1b1a2b2a3b32.a, b，立體幾何中有關(guān)夾角的| a | | b |a12a22a32b12b22b32問題 ，一般用此式解決3.r ra ba ba b0 （可證明兩直線垂直）a ba b1122334.已知兩點(diǎn) A(x 1,y1 ，z1),B(x2,y 2,z 2) ，則向量 AB( x 2x1 , y 2y1 , z2z1 ) ,線段 AB的中點(diǎn) M的坐標(biāo)是x12x 2 , y 1y 2 , z1z 2，22A,B 兩點(diǎn)間的距離是 | AB |(x 2x1 )

20、2( y2y1 ) 2(z2z1 )25. 若 a (x1 , y1 , z1 ), b (x 2r r, y 2 , z 2 ) ，則 a b xx2yy2z z.11126. 用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”：(1) 化為向量問題 : 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面；(2) 進(jìn)行向量運(yùn)算 : 通過向量運(yùn)算 , 研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角問題；(3) 回到向量問題 : 把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。7.設(shè) A，B，平面的法向量是n ，直線 AB與平面所成的角是，則 sin| cos AB , n |ur r

21、ur rurr二面角l的平面角m n或m n， 的法向量 ）arc cos ur rarc cos ur r（ m ，n 為平面| m | n | m | n |uuuruuur ruuurr8.設(shè) A， B，平面的法向量是| ABn |n ，點(diǎn) A 到平面的距離 d | AB | cos AB,nruuuruur| n |r： d| CDn |l1, l2 是兩異面直線，其公垂向量為異面直線間的距離r(n ， C、D 分別是 l1 ,l 2 上任| n |一點(diǎn)， d 為 l1, l2 間的距離 ).（二）例題選講：A例 1.如圖 , 在 Rt AOB 中 ,OAB4 Rt AOC 可以6,斜

22、邊 AB通過 Rt AOB 以直線 AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B AO C是直二面角動(dòng)點(diǎn) D 的斜邊 AB 上D（ I ）求證：平面 COD 平面 AOB ；（ II）當(dāng) D 為 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO 與 CD 所成角的大??；（ III）求 CD 與平面 AOB 所成角的最大值OBC例 2. 如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱長(zhǎng)都為 2， D 為 CC1 中點(diǎn)。（ 1）求證： AB1面 A1BD；（ 2）求二面角 A A1D B的大??；（ 3）求點(diǎn) C 到平面 A1BD的距離。（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1. 如圖 5 所示， AF 、DE 分別世 e O 、e O1 的直徑， A

23、D 與兩圓所在的平面均垂直，AD 8 . BC 是 e O的直徑， ABAC6, OE/AD.(I) 求二面角 BADF 的大??； (II)求直線 BD 與 EF 所成的角 .O1DECAOFB圖 52. 如圖 , , =l , A , B , 點(diǎn) A 在直線 l 上的射影為 A1, 點(diǎn) B 在 l 的射影為 B1, 已知AB=2,AA1=1, BB 1=2,求 :( ) 直線 AB分別與平面, 所成角的大小;( ) 二面角 A1 AB B1 的大小 .（四）鞏固練習(xí)：1. 如圖 , 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中, 已知 DCDD12 AD2AB ,ADDC ， ABDC （）設(shè)

24、 E 是 DC 的中點(diǎn)，求證： D1 E 平面 A1BD1 ；D1（）求二面角 A1BD C1 的余弦值C1A1AA1B1BB12. 如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD A1 B1C1D1 , AB 2, AA11,直線BD與平面所成的角為300, AE 垂直 BD 于 E,F 為 A1B1 的中點(diǎn)DE（）求異面直線AE 與 BF 所成的角；C（）求平面 BDF 與平面 AA1B 所成二面角（銳角）的大小；AB（）求點(diǎn) A 到平面 BDF 的距離。A 1D 1FB 1AC 1DEBC3、如圖，在三棱錐 A BCD中，側(cè)面 ABD、ACD是全等的直角三角形， AD是公共的斜邊，且 AD 3 ，BD CD 1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形（ 1）求證： AD BC （ 2）求二面角 B AC D 的大?。?3）在直線 AC上是否存在一點(diǎn) E，使 ED與面 BCD成 30 角？若存在，確定 E 的位置；若不存在，說(shuō)明理由。ABDC典型問題分析一、求二面角的方法例 1.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P ABCD 中, AD / BC , ABC90 , PA 平面 ABCD ，PA3,AD 2,AB 2 3,BC求二面角P