備考2022數(shù)學(xué)專題10 三角形問題（解析版）

1、決勝2020中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品專題10 三角形問題【典例分析】【考點(diǎn)1】三角形基礎(chǔ)知識(shí)【例1】（2019·浙江中考真題）若長度分別為的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（ ）a1b2c3d8【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得53a5+3，解不等式即可求解【詳解】由三角形三邊關(guān)系定理得：53a5+3，即2a8，由此可得，符合條件的只有選項(xiàng)c，故選c【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出53a5+3是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊【變式1-1】（2019·北京中考真題）如圖，已知ab

2、c，通過測量、計(jì)算得abc的面積約為_cm2.（結(jié)果保留一位小數(shù)） 【答案】1.9【解析】【分析】過點(diǎn)c作cdab的延長線于點(diǎn)d，測量出ab，cd的長，再利用三角形的面積公式即可求出abc的面積【詳解】解：過點(diǎn)c作cdab的延長線于點(diǎn)d，如圖所示經(jīng)過測量，ab=2.2cm，cd=1.7cm，（cm2）故答案為：1.9【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，牢記三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半是解題的關(guān)鍵【變式1-2】（2019·山東中考真題）把一塊含有角的直角三角板與兩條長邊平行的直尺如圖放置(直角頂點(diǎn)在直尺的一條長邊上)若，則_【答案】68【解析】【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出a

3、=c=45°，由三角形的外角性質(zhì)得出agb=68°，再由平行線的性質(zhì)即可得出2的度數(shù)【詳解】如圖，是含有角的直角三角板，；故答案為68【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等【考點(diǎn)2】全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用【例2】（2019·山東中考真題）在中，于點(diǎn)（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且，求證：【答案】(1) ；(2)見解析；(3)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形

4、的性質(zhì)得到 adbddc ，求出 mbd30°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可； （2）證明bdeadf，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明； （3）過點(diǎn) m作 mebc交 ab的延長線于 e，證明bmeamn，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 bean，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論【詳解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）證明：，在和中，；（3）證明：過點(diǎn)作交的延長線于，則，在和中，【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵【變式2-1】（2019·貴州中考真題）（1）如圖，在四邊形中，點(diǎn)

5、是的中點(diǎn)，若是的平分線，試判斷，之間的等量關(guān)系解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點(diǎn)，易證得到，從而把，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷，之間的等量關(guān)系_；（2）問題探究：如圖，在四邊形中，與的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2），理由詳見解析.【解析】【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)aas證得，于是，進(jìn)一步即得結(jié)論；（2）延長交的延長線于點(diǎn)，如圖，先根據(jù)aas證明，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：（1）.理由如下：如圖，是的平分線，.點(diǎn)是的中點(diǎn)，又，（aas），

6、.故答案為：.（2）.理由如下：如圖，延長交的延長線于點(diǎn).，又，（aas），是的平分線，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵【變式2-2】（2019·廣西中考真題）如圖，點(diǎn)在上（1）求證：平分；（2）求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由題中條件易知：abcadc，可得ac平分bad；（2）利用（1）的結(jié)論，可得baedae，得出be=de【詳解】解：（1）在與中，即平分；（2）由（1）在與中，得【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用三角形全等的判定，得出三角形全等，轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是

7、解題關(guān)鍵【考點(diǎn)3】等腰三角形與等邊三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用【例3】（2019·浙江中考真題）如圖，在中，.已知線段ab的垂直平分線與bc邊交于點(diǎn)p，連結(jié)ap，求證：；以點(diǎn)b為圓心，線段ab的長為半徑畫弧，與bc邊交于點(diǎn)q，連結(jié)aq，若，求的度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）b=36°.【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到pa=pb，再由等腰三角形的性質(zhì)得到pab=b，從而得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到baq=bqa，設(shè)b=x，由題意得到等式aqc=b+baq=3x，即可得到答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)p在ab的垂直平分線上，所以pa=pb，所以pa

8、b=b，所以apc=pab+b=2b.（2）根據(jù)題意，得bq=ba，所以baq=bqa，設(shè)b=x，所以aqc=b+baq=3x，所以baq=bqa=2x，在abq中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即b=36°.【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).【變式3-1】（2019·遼寧中考真題）如圖，是等邊三角形，延長到點(diǎn)，使，連接若，則的長為_【答案】【解析】【分析】ab=ac=bc=cd，即可求出bad=90°，d=30°，解直角三角形即可求得【詳解】解：是等邊

9、三角形，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等，證得abd是含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵【變式3-2】（2019·遼寧中考真題）如圖，把三角形紙片折疊，使點(diǎn)a、點(diǎn)c都與點(diǎn)b重合，折痕分別為ef，dg，得到，若，則fg的長為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：fg是abc的中位線，ac的長即為bde的周長.在rtbde中，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可分別求出bd與be的長，從而可得ac的長，再根據(jù)三角形的中位線定理即得答案.【詳解】解：把三角形紙片折疊，使點(diǎn)a、點(diǎn)c都與點(diǎn)b重合，故答案為：【點(diǎn)睛】

10、本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出fg是abc的中位線，ac的長即為bde的周長是解本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)4】直角三角形的性質(zhì)【例4】（2019·寧夏中考真題）如圖，在中，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)若，則_【答案】【解析】【分析】利用基本作圖得bd平分，再計(jì)算出，所以，利用得到，然后根據(jù)三角形面積公式可得到的值【詳解】解：由作法得平分，在中，.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角

11、等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線【變式4-1】（2019·黑龍江中考真題）一張直角三角形紙片，點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線折疊，使直角頂點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則的長為_【答案】或【解析】【分析】依據(jù)沿過點(diǎn)d的直線折疊，使直角頂點(diǎn)c落在斜邊ab上的點(diǎn)e處，當(dāng)bde是直角三角形時(shí)，分兩種情況討論：deb=90°或bde=90°，分別依據(jù)勾股定理或者相似三角形的性質(zhì)，即可得到cd的長【詳解】分兩種情況：若，則， ，連接，則，設(shè)，則，中，解得，；若，則，四邊形是正方形，設(shè)，則，解得，綜上所述，的長為或，故答案

12、為：或【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形【變式4-2】（2019·河北中考真題）勘測隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了a，b，c三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）筆直鐵路經(jīng)過a，b兩地（1）a，b間的距離為_km；（2）計(jì)劃修一條從c到鐵路ab的最短公路l，并在l上建一個(gè)維修站d，使d到a，c的距離相等，則c，d間的距離為_km【答案】20 13 【解析】【分析】（1）由垂線段最短以及根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同即可求出ab的長度；（2）根據(jù)a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出ce與ae的長度，設(shè)cd=x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值【詳解】（1）

13、由a、b兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知：abx軸，ab=12（8）=20；（2）過點(diǎn)c作lab于點(diǎn)e，連接ac，作ac的垂直平分線交直線l于點(diǎn)d，由（1）可知：ce=1（17）=18，ae=12，設(shè)cd=x，ad=cd=x，由勾股定理可知：x2=（18x）2+122，解得：x=13，cd=13故答案為：（1）20；（2）13【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)線段的長度，本題屬于中等題型【考點(diǎn)5】相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用【例5】（2019·四川中考真題）如圖，db平分adc，過點(diǎn)b作交ad于m連接cm交db于n（1）求證：；（2）若，求mn的長【答案】（

14、1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明，可得，可得結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)可證即可證，由和勾股定理可求mc的長，通過證明，可得，即可求mn的長【詳解】證明：（1）db平分，且，（2），且，且，且【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求mc的長度是本題的關(guān)鍵【變式5-1】（2019·全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖，在abc中，ab=ac，點(diǎn)p、d分別是bc、ac邊上的點(diǎn)，且apd=b,（1）求證：accd=cpbp；（2）若ab=10，bc=12，當(dāng)pdab時(shí)，求bp的長【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】（2）易證apd=b=c，從而可證到a

15、bppcd，即可得到，即abcd=cpbp，由ab=ac即可得到accd=cpbp；（2）由pdab可得apd=bap，即可得到bap=c，從而可證到bapbca，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求出bp的長解：（1）ab=ac，b=capd=b，apd=b=capc=bap+b，apc=apd+dpc，bap=dpc，abppcd，abcd=cpbpab=ac，accd=cpbp；（2）pdab，apd=bapapd=c，bap=cb=b，bapbca，ab=10，bc=12，bp=“點(diǎn)睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，把證明acc

16、d=cpbp轉(zhuǎn)化為證明abcd=cpbp是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到bap=c進(jìn)而得到bapbca是解決第（2）小題的關(guān)鍵【變式5-2】（2019·陜西中考模擬）大唐芙蓉園是中國第一個(gè)全方位展示盛唐風(fēng)貌的大型皇家園林式文化主題公園，全園標(biāo)志性建筑一紫云樓為代表，展示了“形神升騰紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王風(fēng)范（如圖）小風(fēng)和小花等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測量“紫云樓”的高度，來檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力，他們經(jīng)過研究需要兩次測量：首先，在陽光下，小風(fēng)在紫云樓影子的末端c點(diǎn)處豎立一根標(biāo)桿cd，此時(shí)，小花測得標(biāo)桿cd的影長ce2米，cd2米；然后，小風(fēng)從c點(diǎn)沿bc

17、方向走了5.4米，到達(dá)g處，在g處豎立標(biāo)桿fg，接著沿bg后退到點(diǎn)m處時(shí)，恰好看見紫云樓頂端a，標(biāo)桿頂端f在一條直線上，此時(shí)，小花測得gm0.6米，小風(fēng)的眼睛到地面的距離hm1.5米，fg2米如圖，已知abbm，cdbm，fgbm，hmbm，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出紫云樓的高ab【答案】紫云樓的高ab為39米【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到abbc，過h作hnab于n，交fg于p，設(shè)abbcx，則hnbmx+5.4+0.6x+6，anx1.5，fp0.5，phgm0.6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】解：cdbm，fgbm，ce2，cd2，abbc，過h作hnab于n，交fg

18、于p，設(shè)abbcx，則hnbmx+5.4+0.6x+6，anx1.5，fp0.5，phgm0.6，anhfph90°，ahnfhp，anhfph，即，x39，紫云樓的高ab為39米【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)6】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用【例6】（2019·貴州中考真題）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)c在fd的延長線上，點(diǎn)b在ed上，abcf，facb90°，e45°，a60°，ac10，則cd的長度是_.【答案】155.【解析】【分析】過點(diǎn)b作bmfd于點(diǎn)m，根據(jù)題意可求出bc的長

19、度，然后在efd中可求出edf45°，進(jìn)而可得出答案.【詳解】過點(diǎn)b作bmfd于點(diǎn)m，在acb中，acb90°，a60°，ac10，abc30°，bc10×tan60°10，abcf，bcm=abc=30°，bmbc×sin30°5，cmbc×cos30°15，在efd中，f90°，e45°，edf45°，mdbm5，cdcmmd155，故答案是：155.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，正確添加輔助線，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2019&

20、#183;山東中考真題）自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為求斜坡的長（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】斜坡的長是米【解析】【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得的長，進(jìn)而得到的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到的長，最后用勾股定理即可求得的長【詳解】，坡度為，斜坡的坡度為，即，解得，米，答：斜坡的長是米【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答【變式6-2】（2019

21、3;海南中考真題）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭a在觀測站b的正東方向，碼頭a的北偏西方向上有一小島c，小島c在觀測站b的北偏西方向上，碼頭a到小島c的距離ac為10海里（1）填空： 度， 度；（2）求觀測站b到ac的距離bp（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）30，45；（2）（55）海里【解析】【分析】（1）由題意得：，由三角形內(nèi)角和定理即可得出的度數(shù)；（2）證出是等腰直角三角形，得出，求出，由題意得出，解得即可【詳解】解：（1）由題意得：，；故答案為30，45；（2），是等腰直角三角形，解得：，答：觀測站b到ac的距離bp為海里【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，通過解直角三角形得

22、出方程是解題的關(guān)鍵【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1（2019·河北中考真題）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）abcd【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三角形外心的定義得到三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，然后利用基本作圖對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，由基本作圖得到c選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心故選c【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）也考查了三角形的外心2（2019·江蘇中考真題）已知n正整

23、數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有( )a4個(gè)b5個(gè)c6個(gè)d7個(gè)【答案】d【解析】【分析】分n+8與3n最大兩種情況，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式組，解不等式組后求出正整數(shù)解即可得答案.【詳解】n+2<n+8，分n+8最大與3n最大兩種情況，當(dāng)n+8最大時(shí)，解得 ：2<n4，又n為正整數(shù)，n=3，4；當(dāng)3n最大時(shí)，解得：4n<10，又n為正整數(shù)，n=4，5，6，7，8，9，綜上：n的值可以為3、4、5、6、7、8、9，共7種可能，故選d.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并正確分類討論是解題的關(guān)鍵.

24、3（2019·浙江中考真題）如圖，已知在四邊形中，平分，則四邊形的面積是（ ）a24b30c36d42【答案】b【解析】【分析】過d作deab交ba的延長線于e，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到de=cd=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論【詳解】如圖，過d作deab交ba的延長線于e，bd平分abc，bcd=90°，de=cd=4，四邊形的面積 故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵4（2019·湖北中考真題）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點(diǎn)是邊中點(diǎn)的是（ ）abcd【答案】a【解析】【分析】作線段的垂直平分線可得線段的中

25、點(diǎn)【詳解】作線段的垂直平分線可得線段的中點(diǎn)由此可知：選項(xiàng)a符合條件，故選a【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖5（2019·廣東中考真題）如圖，矩形abcd中，對(duì)角線ac的垂直平分線ef分別交bc，ad于點(diǎn)e，f，若be=3，af=5，則ac的長為（ ）abc10d8【答案】a【解析】【分析】連接ae，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出oa=oc，ae=ce，證明aofcoe得出af=ce=5，得出ae=ce=5，bc=be+ce=8，由勾股定理求出ab=4，再由勾股定理求出ac即可【詳解】解：如圖，連結(jié)ae，設(shè)ac交ef于o，依題意，有aooc，aofcoe，oa

26、foce，所以，oafoce（asa），所以，ecaf5，因?yàn)閑f為線段ac的中垂線，所以，eaec5，又be3，由勾股定理，得：ab4，所以，ac【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.6（2019·湖南中考真題）已知m、n是線段ab上的兩點(diǎn)，ammn2，nb1，以點(diǎn)a為圓心，an長為半徑畫??；再以點(diǎn)b為圓心，bm長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)c，連接ac，bc，則abc一定是( )a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d等腰三角形【答案】b【解析】【分析】依據(jù)作圖即可得到acan4，bcbm3，ab2+2+15，進(jìn)而得到ac2+bc2ab2，即可得出abc是直

27、角三角形【詳解】如圖所示，acan4，bcbm3，ab2+2+15，ac2+bc2ab2，abc是直角三角形，且acb90°，故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形7（2019·黑龍江中考真題）如圖，在abc中，be是abc的平分線，ce是外角acm的平分線，be與ce相交于點(diǎn)e，若a=60°，則bec是（ ）a15°b30°c45°d60°【答案】b【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到ebm=abc、ecm=acm，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)

28、算即可【詳解】解：be是abc的平分線，ebm=abc，ce是外角acm的平分線，ecm=acm，則bec=ecm-ebm=×（acm-abc）=a=30°，故選：b【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵8（2019·海南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)p是邊ac上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作交bc于點(diǎn)q，d為線段pq的中點(diǎn)，當(dāng)bd平分時(shí)，ap的長度為（）abcd【答案】b【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出ac，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可【詳解】解：，又

29、，即，解得，故選b【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵9（2019·遼寧中考真題）如圖，在中，連接bc，cd，則的度數(shù)是（）a45°b50°c55°d80°【答案】b【解析】【分析】連接ac并延長交ef于點(diǎn)m由平行線的性質(zhì)得，再由等量代換得，先求出即可求出【詳解】解：連接ac并延長交ef于點(diǎn)m，故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型10（2019·四川中考真題）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，是等邊三角形，連接并延長交的延長線于點(diǎn)h，連接交于

30、點(diǎn)q，下列結(jié)論：；其中正確的有（ ）abcd【答案】d【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷，根據(jù)相似三角形對(duì)進(jìn)行判斷，根據(jù)三角形的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷，由三角形面積公式對(duì)進(jìn)行判斷.【詳解】解：是等邊三角形，四邊形是正方形，則，故正確；，又，故正確；如圖，過點(diǎn)q作于e，設(shè)，則，由知，解得，則，故錯(cuò)誤；，又，故正確；故選：d【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形、正方形的性質(zhì)對(duì)、相似三角形、三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形、正方形的性質(zhì)對(duì)、相似三角形、三角形的性質(zhì)和三角形面積公式.11（2019·遼寧中考真題）如圖，ad是abc的外角eac的平分線，adbc，

31、b32°，則c的度數(shù)是（）a64°b32°c30°d40°【答案】b【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出ead，根據(jù)角平分線的定義得到eac=2ead=64°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】解：adbc，ead=b=32°，ad是abc的外角eac的平分線，eac=2ead=64°，eac是abc的外角，c=eac-b=64°-32°=32°，故選：b【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵1

32、2（2019·青海中考真題）如圖，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)已知ab=1，bc=3，de=1.2，則df的長為（）abcd【答案】b【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題【詳解】解：，即，故選：【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型13（2019·遼寧中考真題）如圖，在abc中，c90°，de是ab的垂直平分線，ad恰好平分bac若de1，則bc的長是_【答案】3【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得adbd，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出dabb，然后根據(jù)角平分線的定義

33、與直角三角形兩銳角互余求出b30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出bd，然后求解即可【詳解】解：ad平分bac，且deab，c90°，cdde1，de是ab的垂直平分線，adbd，bdab，dabcad，caddabb，c90°，cad+dab+b90°，b30°，bd2de2，bcbd+cd1+23，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵14（2019&

34、#183;廣西中考真題）如圖，在中，則的長為_【答案】【解析】【分析】過a作ad垂直于bc，在直角三角形abd中，利用銳角三角函數(shù)定義求出ad的長，在直角三角形acd中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cd的長，再利用勾股定理求出ac的長即可【詳解】解：過作，在中，在中，即，根據(jù)勾股定理得：，故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵15（2019·山東中考真題）如圖，一架長為米的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)測得，如果梯子的底端外移到，則梯子頂端下移到，這時(shí)又測得，那么的長度約為_米（，）【答案】【解析】【分析】直接

35、利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，的長，進(jìn)而得出答案【詳解】由題意可得：，解得：，解得：，則，答：的長度約為米故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出，的長是解題關(guān)鍵16（2019·山東中考真題）把兩個(gè)同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)在同一直線上若，則_【答案】【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出 ，再利用勾股定理 求出 df，即可得出結(jié)論【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，在中，兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，在中，根據(jù)勾股定理得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性

36、質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵17（2019·湖北中考真題）如圖，已知，添加下列條件中的一個(gè)：，其中不能確定的是_（只填序號(hào)）【答案】【解析】【分析】一般三角形全等的判定方法有sss，sas，aas，asa，據(jù)此可逐個(gè)對(duì)比求解【詳解】已知，且若添加，則可由判定；若添加，則屬于邊邊角的順序，不能判定；若添加，則屬于邊角邊的順序，可以判定故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的幾種基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此題不難判斷18（2019·貴州中考真題）如圖，在中，且，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為_【答案】【解析】【分析】由勾股定理求

37、出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題【詳解】解：，且，四邊形是矩形.如圖，連接ad，則，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，的面積，的最小值為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，本題屬于中考?？碱}型19（2019·青海中考真題）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：am=4米，ab=8米，mad=45°，mbc=30°，則警示牌的高cd為_米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】一4【解析】【分析】分析:利用特殊三角函數(shù)值，解直角三角形,am=md

38、,再用正切函數(shù)，利用mb求cm,作差可求dc.【詳解】因?yàn)閙ad=45°, am=4,所以md=4，因?yàn)閍b=8，所以mb=12,因?yàn)閙bc=30°，所以cm=mbtan30°=4.所以cd=4-4.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)定義以及變形是解題的關(guān)鍵.20（2019·山西中考真題）如圖，在abc中，bac=90°，ab=ac=10cm，點(diǎn)d為abc內(nèi)一點(diǎn)，bad=15°，ad=6cm，連接bd，將abd繞點(diǎn)a逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使ab與ac重合，點(diǎn)d的對(duì)應(yīng)點(diǎn)e，連接de，de交ac于點(diǎn)f，則cf的長為_c

39、m.【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)a作ahde，垂足為h，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 ae=ad=6，cae=bad=15°，dae=bac=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得hae=45°，ah=3，進(jìn)而得haf=30°，繼而求出af長即可求得答案.【詳解】過點(diǎn)a作ahde，垂足為h，bac=90°，ab=ac，將abd繞點(diǎn)a逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使ab與ac重合，點(diǎn)d的對(duì)應(yīng)點(diǎn)e，ae=ad=6，cae=bad=15°，dae=bac=90°，de=，hae=dae=45°，ah=de=3，haf=hae-cae=30

40、6;，af=，cf=ac-af=，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形、靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.21（2019·北京中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則_°（點(diǎn)a，b，p是網(wǎng)格線交點(diǎn)）.【答案】45.【解析】【分析】延長ap交格點(diǎn)于d，連接bd，根據(jù)勾股定理得到pd2=bd2=1+22=5，pb2=12+32=10，求得pd2+db2=pb2，于是得到pdb=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】解：延長ap交格點(diǎn)于d，連接bd，則pd2=bd2=1+22=5

41、，pb2=12+32=10，pd2+db2=pb2，pdb=90°，即pbd為等腰直角三角形，dpb=pab+pba=45°，故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵22（2019·江蘇中考真題）如圖，abc中，ab=bc，abc=90°，f為ab延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)e在bc上，且ae=cf，若bae=25°，則acf=_度【答案】70【解析】【分析】先利用hl證明abecbf，可證bcf=bae=25°，即可求出acf=45°+25

42、°=70°.【詳解】abc=90°，ab=ac，cbf=180°-abc=90°，acb=45°，在rtabe和rtcbf中，rtabertcbf(hl)，bcf=bae=25°，acf=acb+bcf=45°+25°=70°，故答案為70.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23（2019·江蘇中考真題）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有_cm【答

43、案】5【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度，進(jìn)而得出答案【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度為：15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20155（cm）故答案為5【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長是解決問題的關(guān)鍵24（2019·湖南中考真題）已知aob60°，oc是aob的平分線，點(diǎn)d為oc上一點(diǎn)，過d作直線deoa，垂足為點(diǎn)e，且直線de交ob于點(diǎn)f，如圖所示若de2，則df_【答案】4【解析】【分析】過點(diǎn)d作dmob，垂足為m，則dm=de=2，在rtoef中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出dfm=30°，在r

44、tdmf中，由30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求出df的長，此題得解【詳解】過點(diǎn)d作dmob，垂足為m，如圖所示oc是aob的平分線，dmde2在rtoef中，oef90°，eof60°，ofe30°，即dfm30°在rtdmf中，dmf90°，dfm30°，df2dm4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質(zhì)及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出df的長是解題的關(guān)鍵25（2019·山東中考真題）小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、

45、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.（一）猜測探究在中，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接（1）如圖1，若是線段上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）如圖2，點(diǎn)是延長線上點(diǎn)，若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn)，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由（二）拓展應(yīng)用如圖3，在中，是上的任意點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接求線段長度的最小值【答案】（一）（1）結(jié)論：，理由見解析；（2）如圖2中，中結(jié)論仍然成立理由見解析；（二）的最小值為【解析】【分析】（一）結(jié)論：，根據(jù)證明即可中結(jié)論仍然成立證明方法類似（

46、二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于理由全等三角形的性質(zhì)證明，推出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，求出的值即可解決問題【詳解】（一）（1）結(jié)論：，理由：如圖1中，（），故答案為，（2）如圖2中，中結(jié)論仍然成立理由：，（），（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于，（），當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，在中，在，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，的最小值為【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題26（2019·四川

47、中考真題）在中，已知是邊的中點(diǎn)，是的重心，過點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)、.（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)和不平行，且點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上或點(diǎn)在的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）證明見解析；（2）（1）中結(jié)論成立，理由見解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)g為重心可知，由efbc可知,，故（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，、的延長線相交于點(diǎn)，則，故要求式子，又，d是的中點(diǎn)，即，故有，所以原式，又

48、有，得，故結(jié)論成立；（3）由g點(diǎn)為重心可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，故當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，,則，同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，故結(jié)論不成立.【詳解】（1）證明： 是重心, 又, 則. （2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，、的延長線相交于點(diǎn)，則， 又而是的中點(diǎn)，即又結(jié)論成立； （3）（1）中結(jié)論不成立，理由如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，,點(diǎn)在的延長線上時(shí)，,則， 同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，結(jié)論不成立.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，相似三角形的性質(zhì)和判定，分類討論思想，解本題的關(guān)鍵是通過三角形重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1與相似比結(jié)合來解題，并合理作出輔

49、助線來解題.27（2019·遼寧中考真題）思維啟迪：（1）如圖1，a，b兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測量a，b間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)b點(diǎn)的點(diǎn)c，連接bc，取bc的中點(diǎn)p（點(diǎn)p可以直接到達(dá)a點(diǎn)），利用工具過點(diǎn)c作cdab交ap的延長線于點(diǎn)d，此時(shí)測得cd200米，那么a，b間的距離是 米思維探索：（2）在abc和ade中，acbc，aede，且aeac，acbaed90°，將ade繞點(diǎn)a順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)e在ac邊上時(shí)ade的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)b和點(diǎn)d位于ac的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，連接bd，點(diǎn)p是線段bd

50、的中點(diǎn)，連接pc，pe如圖2，當(dāng)ade在起始位置時(shí)，猜想：pc與pe的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 ；如圖3，當(dāng)90°時(shí)，點(diǎn)d落在ab邊上，請(qǐng)判斷pc與pe的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；當(dāng)150°時(shí)，若bc3，del，請(qǐng)直接寫出pc2的值【答案】（1）200；（2）pcpe，pcpe；pc與pe的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是pcpe，pcpe，見解析；pc2.【解析】【分析】（1）由cdab，可得cb，根據(jù)apbdpc即可證明abpdcp，即可得abcd，即可解題（2）延長ep交bc于f，易證fbpedp（sas）可得efc是等腰直角三角形，即可證明pcpe，pcpe作bfde，交ep延長線于點(diǎn)f，連接ce、cf，易證fbpedp（sas），結(jié)合已知得bfdeae，再證明fbceac（sas），可得efc是等腰直角三角形，即可證明pcpe，pcpe作bfde，交ep延長線于點(diǎn)f，連接ce、cf，過e點(diǎn)作ehac交ca延長線于h點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，cae150°，de與bc所成夾角的銳角為30°，得fbceac，同可證可得pcpe，pcpe，再由已知解三角形得ec2ch2+he2，即可求