高二數(shù)學二項式定理3

1、1.3.2二項式定理-楊輝三角教學目標教學目標 1理解和掌握二項式系數(shù)的性質，并會簡單的應用； 2.初步了解用賦值法是解決二項式系數(shù)問題； 3.能用函數(shù)的觀點分析處理二項式系數(shù)的性質，提高分析問題和解決問題的能力 學習 重點：重點：二項式系數(shù)的性質及其對性質的理解和應用學習。 難點：難點：二項式系數(shù)的性質及其對性質的理解和應用 授課類型：授課類型：新授課 課時安排：課時安排：1課時 教教 具：具：多媒體、實物投影儀 研究系數(shù)規(guī)研究系數(shù)規(guī)律律性質繼續(xù)性質繼續(xù)思考思考開門見山開門見山本課小結本課小結思考三思考三 把（把（a+b)n展開式的二項式系數(shù)取出來，當展開式的二項式系數(shù)取出來，當n依次取依次

2、取1，2，3，時，可列成下表：時，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1上面的表叫做上面的表叫做二項式系數(shù)表二項式系數(shù)表(楊輝三角楊輝三角)1 在我國在我國, ,很早很早就有人研究過二就有人研究過二項式系數(shù)表項式系數(shù)表, ,南南宋數(shù)學家楊輝宋數(shù)學家楊輝在在其所著的其所著的詳解詳解九章算法九章算法中就中就有出現(xiàn)有出現(xiàn). . (a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10

3、 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1性質性質聯(lián)系函數(shù)聯(lián)系函數(shù)觀察二項式系數(shù)表，尋求其規(guī)律：觀察二項式系數(shù)表，尋求其規(guī)律：31015 不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn), ,表中每行兩端都是表中每行兩端都是1 1，而且除，而且除1 1以外的每以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和. .事實上，設表中任一事實上，設表中任一不為不為1 1的數(shù)為的數(shù)為Cn+1r，那么它肩上的兩個數(shù)分別為，那么它肩上的兩個數(shù)分別為Cnr-1及及Cnr，知道，知道Cn+1+1r = Cnr-1-1+ +Cnr 這就是這就是組合數(shù)的性質組合數(shù)的性質2 2. .除了這個性質外除了這個性質外, ,

4、該表還蘊藏有什該表還蘊藏有什么性質呢么性質呢? ?(1)(1)對稱性對稱性: : 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數(shù)相等的兩個二項式系數(shù)相等( (a+ +b) )n展開式的二項式系數(shù)依次是展開式的二項式系數(shù)依次是: : 012,.rnnnnnnCCCCC， , ,(3)(3)增減性與最大值增減性與最大值. . 增減性的實質是比較增減性的實質是比較 的大小的大小. . 1kknnCC 與與(2)(2)遞推性遞推性: : 除除1 1以外的每一個數(shù)都以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和等于它肩上兩個數(shù)的和. .從第一項起至中間項從第一項起至中間項, ,二項式系數(shù)逐漸增大二項式系數(shù)逐

5、漸增大, ,隨后又逐漸減隨后又逐漸減小小. .1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnn knn kCCk n kkkn kk (4)(4)各二項式系數(shù)的和各二項式系數(shù)的和. . 0122rnnnnnnnCCCCC 可運用函數(shù)的觀點，結合可運用函數(shù)的觀點，結合“楊輝三角楊輝三角”和函數(shù)圖象，和函數(shù)圖象，研究二項式系數(shù)的性質研究二項式系數(shù)的性質 ( (a+ +b) )n展開式的二項式系數(shù)是展開式的二項式系數(shù)是 可看成是以可看成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)f( (r),),其定義域是其定義域是0,1,2,0,1,2, ,n , ,當當n=6=6時，其圖象是右圖中的時，其圖象是右圖中的7

6、7個孤立個孤立點點. .012,.rnnnnnnCCCCC， , ,rnC.-1084621620f(r).369r1答案答案2答案答案繼續(xù)思考繼續(xù)思考1: 1: 試證明在試證明在( (a+ +b) )n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和. .即證：即證：021312nnnnnCCCC 證明：在展開式證明：在展開式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 啟示：在二項式定理

7、中，對啟示：在二項式定理中，對a, ,b賦予一些特定的值，賦予一些特定的值，是解決二項式有關問題的一種重要方法是解決二項式有關問題的一種重要方法賦值法賦值法。思考思考32答案答案思考思考2 2求證求證:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略證：由略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開，兩邊展開后比較后比較xn的系數(shù)得：的系數(shù)得：再由再由 得得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC 1. 1.當當n n 1010時常用楊輝三角處理二項

8、式時常用楊輝三角處理二項式系數(shù)問題系數(shù)問題; ; 2. 2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項式利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值系數(shù)的對稱性、增減性和最大值; ; 3. 3.常用賦值法解決二項式系數(shù)問題常用賦值法解決二項式系數(shù)問題. .課外思考課外思考: 1.求證：求證： 012123122nnnnnnCCCnCn 2.(12.(1x ) )1313 的展開式中系數(shù)最小的項是的展開式中系數(shù)最小的項是 ( ) ( ) (A)(A)第六項第六項 (B)(B)第七項第七項 （C C）第八項）第八項 (D)(D)第九項第九項C 類似上面的表類似上面的表, ,早在我國南宋數(shù)學家早

9、在我國南宋數(shù)學家楊輝楊輝12611261年所著的年所著的詳解九章算法詳解九章算法一書里就已經(jīng)一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角。在書中，還說出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里明了表里“一一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于，楊輝指出這個方法出于釋鎖釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學家算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲賈憲（約公元（約公元1111世紀）世紀）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于1111世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕帕斯卡斯卡（162

10、3-16621623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲現(xiàn)要比歐洲早五百年左右早五百年左右，由此可見我國古代，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的. .思考思考:求證：求證：012123122nnnnnnCCCnCn證明：證明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法思考思考3.在在(3x - -2y)20的展開式中，求：的展開式中，求：(1)(1)二項二項式系數(shù)最大的項式系數(shù)最大的項;(2);(2)系數(shù)絕對值最大的項系數(shù)絕對值最大的項;(3);(3)系數(shù)最大的項系數(shù)最大的項; ;解解:(2):(2)設系數(shù)絕對值最大的項是第設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1r+1項項. .則則2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 即即 3(r+1)2(20- -r) 得得 2(21- -r)3r所以當所以當r=8時，系數(shù)絕對值最大的項為時，系數(shù)絕對值最大的項為227855r8