北師大版八年級7.5三角形的內(nèi)角和(2)ppt

1、5 5 三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、自主說出外角的定義，并能用外角解決實(shí)際問題； 2、探索并證明外角的兩個(gè)定理推論，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)問題，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力； 3、會(huì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線解決實(shí)際問題.內(nèi)角三兄弟之爭內(nèi)角三兄弟之爭 在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值茉谝粋€(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)非常團(tuán)結(jié). .可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！大！”“”“不行??！不行??！”老大說：老大說

2、：“這是不可能的，否則，我們這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來了這個(gè)家就再也圍不起來了”“”“為什么？為什么？” 老二很納悶老二很納悶. . 同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180180. .你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎嗎? ?112ABD23C(1)(1)如圖如圖, ,當(dāng)時(shí)我們是把當(dāng)時(shí)我們是把A A移到移到了了1 1的位置的位置,B B移到了移到了2 2的位的位置置. .如果不實(shí)際移動(dòng)如果不實(shí)際移動(dòng)A A和和B B, ,那那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣么你還有其它方法可

3、以達(dá)到同樣的效果嗎的效果嗎? ?(2)(2)根據(jù)前面的公理和定理根據(jù)前面的公理和定理, ,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎明思路嗎? ?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎? ?與同伴交流與同伴交流. .三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理: : 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180180. .已知已知: :如圖如圖, ,ABCABC . .求證求證:A A +B B +C C =180=180. .證明證明:作作BCBC的延長線的延長線CDCD,過點(diǎn)過點(diǎn)C C作作CECEABAB,則則你還有其它方法來證

4、明三角形內(nèi)角和定理嗎你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?1=A A(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),2= B B(兩直線平行兩直線平行,同位角相等同位角相等). 又又1+2+3=180 (平角的定義平角的定義), A A+B B+ACBACB=180 (等量代換等量代換).分析分析: :延長延長BCBC到到D D, ,過點(diǎn)過點(diǎn)C C作射線作射線CECEABAB, ,這樣這樣, ,就相當(dāng)于把就相當(dāng)于把A A移到了移到了1 1的位的位置置, ,把把B B移到了移到了2 2的位置的位置. .這里的這里的CDCD,CECE稱為稱為輔助線輔助線,輔輔助線通常助線通常畫成虛線畫成虛線.A

5、BCE213D 在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí), ,小明的想法是把三個(gè)角小明的想法是把三個(gè)角“湊湊”到到A A處處, ,他過點(diǎn)他過點(diǎn)A A作直線作直線PQPQBCBC( (如圖如圖),),他的想法可以嗎他的想法可以嗎? ?請你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng)請你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng). .小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到什么啟發(fā)由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎你有新的證法嗎?證明證明:過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作PQPQBCBC,則則ABC1=B B(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),2=C C(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),又又1+2+

6、33=1800 (平角的定義平角的定義), BACBAC+B B+C C=1800 (等量代換等量代換).PQ231根據(jù)下面的圖形根據(jù)下面的圖形, ,寫出相應(yīng)的證明寫出相應(yīng)的證明. .你還能想出其它證法嗎你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM試一試試一試三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180180. .ABCABC中中,A A+B B+C C= =180.A A+B B+C C= =180的幾種變形的幾種變形:wA A= =180 (B B+C C).).wB B

7、= =180(A A+C C).).wC C= =180 (A A+B B).).wA A+B B= =180 C C. .wB B+C C= =180 A A. .wA A+C C= =180 B B. .這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . ABC觀察下面一組圖形中觀察下面一組圖形中1 1在各個(gè)圖形中的位置，你能發(fā)現(xiàn)它們在各個(gè)圖形中的位置，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征嗎？的共同特征嗎？B BC CA A1D DA AC CB B1D DA AC CB B1D D外角定義：外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角

8、叫做三角形的外角. .三個(gè)特征三個(gè)特征: : 1. 11. 1的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上; ; 2. 1 2. 1的一條邊是三角形的一條邊的一條邊是三角形的一條邊; ; 3. 1 3. 1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線的另一條邊是三角形的某條邊的延長線. . 想一想想一想:1、每一個(gè)三角形有幾個(gè)外角？、每一個(gè)三角形有幾個(gè)外角？2、每一個(gè)頂點(diǎn)處相對應(yīng)的外角有、每一個(gè)頂點(diǎn)處相對應(yīng)的外角有幾個(gè)？幾個(gè)？3、這些外角中有幾個(gè)外角相等？、這些外角中有幾個(gè)外角相等？4、三角形的每一個(gè)外角與三角形、三角形的每一個(gè)外角與三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么位置關(guān)系的三個(gè)內(nèi)角有什么位置關(guān)系?畫一個(gè)

9、三角形，再畫出它所有的外角畫一個(gè)三角形，再畫出它所有的外角.ABDEFC外外角角ABDEFC外外角角歸納歸納：1、每一個(gè)三角形都有、每一個(gè)三角形都有個(gè)個(gè)外角外角;2、每一個(gè)頂點(diǎn)相對應(yīng)的外角都有、每一個(gè)頂點(diǎn)相對應(yīng)的外角都有個(gè)個(gè); 4、一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對應(yīng)一個(gè)相鄰的內(nèi)角和、一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對應(yīng)一個(gè)相鄰的內(nèi)角和兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角.3、這、這6個(gè)外角中有個(gè)外角中有3個(gè)外角相等個(gè)外角相等.探究探究: :你能用推理的方法來論證你能用推理的方法來論證ACDACD= =B B+ +A A嗎？嗎？你能用你能用幾種方法呢？相信你一定能行！幾種方法呢？相信你一定能行！D DA AB BC

10、CD ACDACD+ ACBACB=180又又A A+ B B+ ACBACB=180 A A+ B B= ACDACD 解：解：ABCACDACD =180 ACBACB A A+ B B =180 ACBACB（鄰補(bǔ)角的定義）（鄰補(bǔ)角的定義）（三角形內(nèi)角和（三角形內(nèi)角和180 ）方法一方法一: :1（作（作CECE/BABA）由平行線的性質(zhì)由平行線的性質(zhì)把兩個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)換把兩個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)換可得可得AE E方法二：方法二：擅長畫平行線的小明用另一種方法解釋了這個(gè)性質(zhì)，看擅長畫平行線的小明用另一種方法解釋了這個(gè)性質(zhì)，看動(dòng)畫，你知道他是怎么解釋的嗎？哪位同學(xué)證明一下動(dòng)畫，你知道他是怎么解釋的嗎？哪位同學(xué)

11、證明一下. .C CB BD D三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角. .D DA AC CB BACDACD= A A+ B BACDACDA A ACDACD B B結(jié)論：結(jié)論：3.三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角有怎樣的大小三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角有怎樣的大小 關(guān)系關(guān)系?三角形外角的性質(zhì)：三角形外角的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1、三角形的、三角形的一個(gè)外角一個(gè)外角等于等于與它與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的的和和. B B+C C

12、=CADCAD 性質(zhì)性質(zhì)2、三角形的、三角形的一個(gè)外角一個(gè)外角大于大于任何任何一個(gè)與它一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角. CADCAD B B， CADCAD C CA AB BC CD D證明：證明：EACEAC=B B+C C ( (三角形的一個(gè)外角等于和它三角形的一個(gè)外角等于和它 不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和) ) B B=C C ( (已知已知) )B B= = EACEAC( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)) )A AC CD DB BE E例例1 1 已知已知: :如圖在如圖在ABCABC中中, ,ADAD平分外角平分外角EACEAC,B B=C C. . 求證：求證：ADADBC

13、BC. .21 ADAD平分平分EACEAC( (已知已知) )DAEDAE= = EACEAC( (角平分線的定義角平分線的定義) )21DAEDAE=B B( (等量代換等量代換) ) ADADBCBC( (同位角相等同位角相等, ,兩直線平行兩直線平行) )這里是運(yùn)用了公理這里是運(yùn)用了公理“同位角相等，兩直同位角相等，兩直線平行線平行”得到了證實(shí)得到了證實(shí).例例2 2 已知：如圖已知：如圖, ,在在ABCABC中中, 1, 1是它的一個(gè)是它的一個(gè)外角外角, , E E為邊為邊ACAC上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,延長延長BCBC到到D D, ,連接連接DEDE. .求證求證: 1 2.: 1 2.證

14、明：證明： 1 1是是ABCABC 的一個(gè)外角的一個(gè)外角 ( (已知已知) ) 1 3 ( 1 3 (三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角) )33是是CDECDE 的一個(gè)外角的一個(gè)外角 ( (外角定義外角定義) )3 2 (3 2 (三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角) ) 1 2 ( 1 2 (不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)) )CABF1345ED2跟蹤練習(xí)跟蹤練習(xí)1.1.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角, ,則這個(gè)三角則這個(gè)三角形是形是(

15、)( ) A. A.直角三角形直角三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形 C. C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.無法確定無法確定C C 2.2.如圖所示如圖所示, ,若若A A=32=32,B B=45=45,C C=38=38, ,則則DFEDFE等于等于( )( )A.120A.120 B.115 B.115 C.110 C.110 D.105 D.105F FE ED DC CB BA AB B3.如圖，把如圖，把ACBACB沿沿DEDE折疊，當(dāng)點(diǎn)折疊，當(dāng)點(diǎn)A A落在四邊形落在四邊形BCEDBCED內(nèi)部時(shí)，內(nèi)部時(shí)，DAEDAE與與1, 2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持不變，這一規(guī)律是之間有一種數(shù)

16、量關(guān)系保持不變，這一規(guī)律是（ ） A.A A=1+2 B. 2A A=1+2 C. 3A A=21+2 D. 3A A=2（1+2 ）B BD DA AA AC CE E12B 4.如圖所示如圖所示,1=_.140140 8080 1 1120 5.5.已知等腰三角形的一個(gè)外角為已知等腰三角形的一個(gè)外角為150150, ,則它的底角為則它的底角為_ _. _ _. 30或或75 6.如圖所示如圖所示,A A=50,B B=40,C C=30,則則BDCBDC=_.D DC CB BA A1207.7.已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，外角中，外角DCADCA=100=100, , A

17、 A=45=45. .求：求：B B和和ACBACB的大小的大小. .A AB BC CD D解解: DCADCA是是ABCABC的一個(gè)外角的一個(gè)外角(已知已知), B B= DCADCA- -A A=100- -45=55 又又 DCADCA+BCABCA=180(平角平角=180). ACBACB=80(等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)).10045(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).已知已知: :國旗上的正五角星形如圖所示國旗上的正五角星形如圖所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度數(shù)的度數(shù). .解解:1:1是是BDFBDF

18、的一個(gè)外角的一個(gè)外角( (外角的意義外角的意義),),分析分析: :設(shè)法利用外角把這五個(gè)角設(shè)法利用外角把這五個(gè)角“湊湊”到一到一個(gè)三角形中個(gè)三角形中, ,運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來求解運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來求解. . 1= 1=B B+D D( (三角形的一個(gè)外角等三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).). 2= 2=C C+E E( (三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi) 角的和角的和).).又又A A+1+2=180+1+2=180( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理).).又又 2 2是是EHCEHC的一個(gè)外角的一

19、個(gè)外角( (外角的意義外角的意義),),A AB BC CD DE EF F1H H2 A A+B B +C C +D D +E E =180 =180( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).拔尖自助餐拔尖自助餐1.(1)1.(1)如圖如圖( (甲甲) )，在五角星圖形中，求，在五角星圖形中，求A A+B B +C C +D D + + E E 的度數(shù)的度數(shù). . (2)(2)把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之和把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之和 與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？A AE EA AB BC CD DA AE E(甲甲)E EB BC CD DD DC CB B(乙乙)(丙丙)相等，也可湊到一個(gè)三角形中相等，也可湊到一個(gè)三角形中. .當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測ABCABC 中中, ,若若A A B B C C , ,則則ABCABC 是（是（ ） A.A.銳角銳角B.B.直角直角C.C.鈍角鈍角D.D.等腰等腰 一個(gè)三角形至少有（一個(gè)三角形至少有（ ） A.A.一個(gè)銳角一個(gè)銳角 B.B.兩個(gè)銳角兩個(gè)銳角 C. C.一個(gè)鈍角一個(gè)鈍角 D.D.一個(gè)直角一個(gè)直角B BB B證明：證明： 1 +4=180 2 +5=180 3