2019高考數學二輪復習專題六算法、復數、推理與證明、概率與統(tǒng)計第五講離散型隨機變量及其分布

1、 第五講離散型隨機變量及其分 布 考情分析明確方向 V 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學科素養(yǎng) 2018 I卷 二項分布、期望及應用T 20 命題分析 概率、統(tǒng)計的解答題多在第 18 或 19 題的位置，多以交匯性的形式考查， 交匯點主要有兩種（頻率分布直方 圖與莖葉圖）擇一與隨機變量的分 布列、數學期望、方差相交匯來考 查；（頻率分布直方圖與莖葉圖）擇 一與線性回歸或獨立性檢驗相交匯 來考查，難度中等. 學科素養(yǎng) 主要通過離散型隨機變量及其分布 考查學生數學抽象、數學建模及數 學運算核心素養(yǎng) 川卷 二項分布及方差的計算T 8 2017 I卷 正態(tài)分布、二項分布的性質及概率、方 差

2、T 19 n卷 二項分布的方差計算T 13 川卷 頻數分布表、概率分布列的求解、數學 期望的應用T 18 2016 I卷 柱狀圖、相互獨立事件與互斥事件的概 率、分布列和數學期望T 19 n卷 互斥事件的概率、條件概率、隨機變量 的分布列和數學期望T 18 條件概率、相互獨立事件概率、獨立重復試驗2 3 2 授課提示：對應學生用書第 71 頁 悟通一一方法結論 1. 條件概率的兩種求法 (1) 利用定義，分別求 RA)和RAB，利用公式P(BA) = gAB,這是常用的方法. p(A) (2) 求出事件A包含的基本事件數 n( A),再求出事件A與事件B的交事件中包含的基本 事件數n(AB，利

3、用R B A)= 可求得. 2相互獨立事件概率、獨立重復試驗 類型 特點 概率求法 相互獨立事件同時發(fā)生 事件互相獨立 P( AB = P( A) F( B (A, B相互獨立) 獨立重復試驗 一次試驗重復n次 P(X= k) = Cnpk(1 - p)n (p為發(fā)生的概率) 全練一一快速解答 1. (2018 武漢調研)小趙、小錢、小孫、小李到 4 個景點旅游，每人只去一個景點， 設事件 A=“4個人去的景點不相同”，事件 B= “小趙獨自去一個景點”，則 P(A|B)= ( ) B. 3 解析：小趙獨自去一個景點共有 4X 3X 3X 3= 108 種可能性，4 個人去的景點不同的可 能性

4、有 A4= 4X 3X 2X 1= 24 種， RA|B =磊=9. 答案：A 2. (2018 南昌模擬)為向國際化大都市目標邁進，某市今年新建三大類重點工程，它 們分別是 30 項基礎設施類工程、20 項民生類工程和 10 項產業(yè)建設類工程.現(xiàn)有 3 名民工 相互獨立地從這 60 個項目中任選一個項目參與建設，則這 3 名民工選擇的項目所屬類別互 異的概率是( ) A. 1 B.1 2 3 3 1 D.1 解析：記第i名民工選擇的項目屬于基礎設施類、民生類、產業(yè)建設類分別為事件 A,C.4 4 30 1 B , C, i= 1,2,3.由題意，事件 A , B, C(i= 1,2,3)相互

5、獨立，則 P(A)=麗=耳，P(B) 20 1 10 1 3 =7, RC) = =-, i = 1,2,3，故這 3 名民工選擇的項目所屬類別互異的概率是 P= A 60 3 60 6 1 1 1 RABC)= 6X 2X 齊 6= 答案：D 4 3.某批花生種子，如果每 1 粒發(fā)芽的概率均為-,那么播下 4 粒種子恰好有 2 粒發(fā)芽的 5 概率是( ) 256 A.625 192 B.625 96 C.625 16 D. 625 解析：所求概率P=晴25 2 = 625. 答案：C 廠廠/ /類題通法類題通法/ / 公式法求兩類事件的概率 (1)求條件概率的關鍵是分清條件概率中的各個事件，

6、利用公式時應注意兩個方面的 問題：一是注意區(qū)分 BA與A| B,前者是在事件 A發(fā)生的前提下事件 B發(fā)生，而后者是在事 件B發(fā)生的前提下事件 A發(fā)生，避免兩者混淆. (2)求相互獨立事件與獨立重復試驗的概率時要注意兩點：一是準確利用公式，如利用 相互獨立事件的概率公式時， 對應事件必須是相互獨立的； 二是注意兩者的區(qū)別， 不能亂用 公式. 講第結合 二項分布與正態(tài)分布 授課提示：對應學生用書第 71 頁 悟通一一方法結論 1判斷二項分布的常用方法： 5 (1) 若所考慮的試驗可以看作是一個結果只有兩種狀態(tài) A與A，則n次獨立重復試驗中 A發(fā)生的次數X就服從二項分布. (2) 凡是服從二項分布的

7、隨機變量一定只取有限個實數為其值，否則隨機變量不服從二 項分布. 2. 正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 變量X服從正態(tài)分布，記為 XN( 1 , a2). (2)正態(tài)總體三個基本概率值 1 a XW i + a ) = 0.682 6 ; 1 2 a X + 2 a) = 0.954 4 ; 1 3 a 0.5，所以 p= 0.6. 故選 B. 答案：B 2. (2017 高考全國卷n )一批產品的二等品率為 0.02 ,從這批產品中每次隨機取一件， 有放回地抽取 100 次，X表示抽到的二等品件數，則 DX= _ . 解析：依題意，XB(100,0.02), 所以 DX= 100X 0

8、.02 X (1 0.02) = 1.96. 答案：1.96 3. 某班有 50 名學生，期中考試的數學成績 XN(110,10 2)，若P(100 XW 110) = 0.2 , 則估計該班學生數學成績在 120 分以上的人數為 _ . 如果對于任何實數 a, b(ab)，隨機變量X滿足RaXw b) = 1, a, a (x)dx，則稱隨機 支付方式相互獨立設 X為該群體的 10 位成員中使用移動支付的人數, DX= 2.4 , F(X= 4) P( p,各成員的 B. 0.6 C. 0.4 解析：由題意可知, 6 解析：由題意，知正態(tài)曲線的對稱軸為 X= 110,故P(110 Xw 12

9、0) = F(100 w X 120) = F(X 110) F(110 w X 1 300) = 0.02. (1) 現(xiàn)從該廠隨機抽取一件產品，求其使用壽命在 1 200,1 300)的概率； (2) 現(xiàn)從該廠隨機抽取三件產品，記抽到的三件產品的使用壽命在 800,1 200)的件數為 Y,求Y的分布列和數學期望曰Y). 解析：(1)因為 XN(1 000 , d 2) , F(XV 800) = 0.2 , F(X 1 300) = 0.02 , 所以 F(1 200 w XV 1 300) + F(X 1 300) = P(X 1 200) = F(X 800) = 0.2. 所以 F(

10、1200 w X 1 300) = 0.2 0.02 = 0.18. 故抽取的產品的使用壽命在 1 200,1 300) 的概率為 0.18. (2)因為 F(800 w X 1 200) = 1 2P(X0, i = 1,2，n； (2) pi+ P2+ + + pn= 1 ； (3) E(X) = X1P1 + X2P2+ + Xi Pi + + XnPn ； D(X)= (X1 E(X) 2P1+ (X2-日 X) 2P2+-+ (Xn-E(X) 2pn. 2隨機變量的數學期望與方差 (1) 如果曰n )和E( E )都存在，則 曰E + n ) = E( E ) + E( n ). (

11、2) 若 n = a E + b,貝U E( n ) = E(a E + b) = aE( E ) + b, D( n ) = D( a E + b) = a D( E). (3) 期望與方差的轉化： D E ) = E： E 2)-(曰E) 2. E( E - EE ) = E( E ) -E(EE )(因為 EE 為一常數)=E( E ) -E( E ) = 0. Hi (2017 高考全國卷川)(12 分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相 同，進貨成本每瓶 4 元，售價每瓶 6 元，未售出的酸奶降價處理， 以每瓶 2 元的價格當天全 部處理完.根據往年銷售經驗， 每天需求量與當天

12、最高氣溫 (單位：C )有關如果最高氣溫 不低于 25，需求量為 500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為 300 瓶；如果最高 氣溫低于20,需求量為 200 瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的 最高氣溫數據，得下面的頻數分布表: 最高氣溫 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天數 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. 這種酸奶一大的需求量X (1) 求六月份 (單位：瓶)的分布列； (2) 設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為 Y(單位：元)當六月份這種酸奶一天的

13、進貨 Y的數學期望達到最大值? 量n(單位：瓶)為多少時， 學審題 8 條件信息 想到方法 注意什么 信息？中結合頻數分布表 想到表中最高氣溫與天數的關 系及氣溫與酸奶需求量關系 表示利潤Y時注意根據氣溫區(qū) 間進行分類表示 9 信息？酸奶一天需求量 利用表格中關系求解 信息？中求EY的最值 用進貨量n表示EY建立函數關 系可求解 規(guī)范解答 由題意知，X所有可能取值為 200,300,500 , . （2 分） 由表格數據知 . （5 分） 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 .（6 分） （2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為 500 ,至少為 200

14、 ,因此只需考慮 200W nw 500. 當 300 nw 500 時， 若最高氣溫不低于 25,則Y= 6n 4n=2n； 若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，貝 U Y= 6X 300+ 2(n 300) 4n= 1 200 2n; 若最高氣溫低于 20,貝 U Y= 6X 200+ 2(n 200) 4n= 800 2n. 因此 EY= 2n x 0.4 + (1 200 2n) x 0.4 + (800 2n) x 0.2 = 640 0.4 n. . (9 分) 當 200w n .7. /灤后訓練! 提升能力 12 則條件概率 P(A| B) , RB| A)分別是( 60 萄， 1

15、 60 B.2， 91 解析: 60 91 91 1 D.216，2 RA|E)的含義是在事件 B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一 個 6 點”的條件下，“三個點數都不相同”的概率，因為“至少出現(xiàn)一個 6 點”有 6X 6X6 5X 5X 5= 91 種情況，“至少出現(xiàn)一個 6 點，且三個點數都不相同”共有 dX 5X 4= 60 種情況，所以P(A| E) = 9pRBA)的含義是在事件 A 發(fā)生的情況下，事件 B發(fā)生的概率，即 I 13 1 在“三個點數都不相同”的情況下，“至少出現(xiàn)一個 6 點”的概率，所以 P(B|A) = p 答案：A 2 ，那么三人中恰有兩人合格的概

16、率是 5 11 B. 30 1 D.6 故選 C. 答案：C 3.投籃測試中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中 的概率為 0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為 ( ) A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 解析：3 次投籃投中 2 次的概率為 P(k = 2) = C2% 0.6 2X (1 0.6)，投中 3 次的概率為 Rk = 3) = 0.63，所以通過測試的概率為 P(k = 2) + Rk = 3) = Cix 0.6 2x (1 0.6) + 0.6 3 = 0.648. 答案：A 2 4

17、 .若隨機變量XN(, (T )( (T 0)，則有如下結論： R 1 Xw b ) = 0.682 6, P( 1 2(X Xw 1 + 2 ) = 0.954 4, R 1 3 10) = 1 印x 120| 10)的一 1 半，所以人數約為 2% 0.317 4 % 488,故選 D. 2. (2018 包頭鐵路一中調研)甲、 乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為 2 3, 3 4, 2 A. 5 解析：三人中恰有兩人合格的概率 2 P= 3X 4 x(1 - 5)+ 3X(1 3 2 2 3 4) % 5 +(1 -3)%4x5= 14 答案：D 5. (2018 廈門模擬)某

18、種子每粒發(fā)芽的概率都為 0.9，現(xiàn)播種了 1 000 粒，對于沒有15 發(fā)芽的種子，每粒需要再補種 2 粒，補種的種子數記為 X,則X的數學期望為( ) A. 100 C. 300 D. 400 解析：將“沒有發(fā)芽的種子數”記為 E,則E = 1,2,3，1 000，由題意可知E 巳 1 000,0.1)，所以 日 E ) = 1 000 X 0.1 = 100,又因為 X= 2E，所以 E(X = 2E( E ) = 200, 故選B. 答案：B 6.已知拋物線 y = ax2 + bx+ c(a0)的對稱軸在 y軸的左側.其中 a, b, c 3, 2, -1,0,123，在這些拋物線中，

19、若隨機變量X=|a b|，貝 U X的數學期望E(X)=( ) A.9 C. 一 解析：對稱軸在 y軸的左側(a與b同號)的拋物線有 2C3dc；= 126 條，X的可能取值有 6X7 1 8X7 4 4X7 2 8 , O,1,2. RX= 0) = 126 = 3, P(X= 1) = 126 = g, P(X= 2)=代 6 = g, E(X) = 9，故選 A 答案：A 二、填空題 7在如圖所示的正方形中隨機投擲 10 000 個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布 N0,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為 _ . 附：若XN(卩，d 2), 則 P(卩dV XCy + d) = 0

20、.682 6 , R 卩一 2 d V Xw + 2 d ) = 0.954 4. 解析：由P( 1 VX 1) = 0.682 6,得P(0 VX 1) = 0.341 3,則陰影部分的面積為 0.341 0.341 3 3,故估計落入陰影部分的點的個數為 10 000 X 1X1= 3 413. 答案：3 413 &從混有 5 張假鈔的 20 張百元鈔票中任意抽取兩張， 將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā) 現(xiàn)是假鈔，則兩張都是假鈔的概率是 _. B. 200 B.5 D- 16 解析：設事件A為“抽到的兩張都是假鈔”， 事件B為“抽到的兩張至少有一張假鈔”， 則所求的概率為 RAB,17

21、 因為 P(AB) = P(A) = C =箱,P(B) = CCCC 所以R舛B)=諧=豊=春 38 答案：17 9. 同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣， 當至少有一枚硬幣正面向上時, 則在兩次試驗中成功次數 X的均值是 _ . 3 解析：此試驗滿足二項分布，其中 p= 4 所以在兩次試驗中成功次數 X的均值為E(X) 答案：2 三、解答題 10. 2018 年某企業(yè)舉辦產品創(chuàng)新研發(fā)創(chuàng)意大賽，經評委會初評，有兩個優(yōu)秀方案入選， 最后組委會決定請車間 100 名經驗豐富的技工對這兩個方案進行等級評價 (等級從高到低依 次為A, B C, D, E，評價結果對應的人數統(tǒng)計如下表： 編號 等級 A B

22、C D E 1 號方案 8 41 26 15 10 2 號方案 7 33 20 20 20 17 38, 就說這次試驗成功, 即所求概率為 109 115. 18 評價為D的概率為 100 = 20 評價為E的概率為1 =箱； 評價為D的概率為 100 = 5,評價為E的概率為 100=1 隨機變量X（單位：萬元）的所有可能取值為 4,2.5,2,1,0.5,0. 311 3 21 3 1 3 RX= 2) = 4X 5+ 10X 5= 100，P(X= 1) = 20X 5=而， RX= 0.5) = 20 x 5 + 加 55=20, 20 5 10 5 20 所以X的分布列為 X 4 2

23、.5 2 1 0.5 0 P 9 6 21 3 1 1 20 25 100 100 20 50 9 6 21 3 1 1 23 故 E(X) = 4X 20+ 25 X 亦+ 2X 莎 + 1X 莎 + .5 x 莎 + 0 x 習=?. 11. （2018 昆明模擬）某火鍋店為了了解氣溫對營業(yè)額的影響， 隨機記錄了該店 1 月份 其中 5 天的日營業(yè)額y（單位：萬元）與該地當日最低氣溫 x（單位：C ）的數據，如下表： x 2 5 8 9 11 y 1.2 1 0.8 0.8 0.7 （1） 求y關于x的線性回歸方程y = bx + a； （2） 判斷y與x之間是正相關還是負相關，若該地 1

24、 月份某天的最低氣溫為 6C,用所 求回歸方程預測該店當日的營業(yè)額； （3） 設該地 1 月份的日最低氣溫 XN（卩，b2），其中卩近似為樣本平均數 匚,異近 似為樣本方差 s2，求 R3.8 v X 13.4）. n 、Xiyi n x y =1 附：回歸方程 y= bx + a中，b=- , a= y b x . 由表格知，1 號方案評價在 C 級以上的概率為 8 + 41 + 26 3 100_ , 2 號方案評價在 C級以上的概率為 7 + 33+ 20_ 3 100 = 5, 3 3 RX= 4) = 4X 5= 9 20， 3 13 3 RX= 2.5) = 4X 計20 x 5=

25、 6 25, P(X= 0)= 1 1 1 5= 50. 19 n 2 2 x n x i =1 ，103.2 , ,3.2 1.8.若 XN（卩，/），則 P（ b vX 卩 + b ） = 0.682 7, P（卩20 2 d V Xw + 2 d ) = 0.954 5. 解析： 乂 = 5x (2 + 5 + 8 + 9+ 11) = 7, 1 y = X (1.2 + 1 + 0.8 + 0.8 + 0.7) = 0.9. 5 5 2 、Xi = 4+ 25 + 64 + 81 + 121 = 295, i =1 5 xy = 2.4 + 5+ 6.4 + 7.2 + 7.7 = 2

26、8.7 , i =1 28.7 5X 7X 0.9 2.8 2 295 5X7 50 a= V b 0.9 ( 0.056) X 7 1.292. 線性回歸方程為 y= 0.056 x+ 1.292. / b= 0.056 V 0 , y與x之間是負相關. 當 x 6 時，y = 0.056 X 6+ 1.292 0.956. 該店當日的營業(yè)額約為 9 560 元. 2 1 樣本方差 s X (25 + 4+ 1 + 4 + 16) 10, 5 最低氣溫XN(7,3.2 2), R3.8 V X 10.2) 0.682 7 , R0.6 V X 13.4) 0.954 5 , 1 R10.2

27、V X 13.4) ?X (0.954 5 0.682 7) 0.135 9. R3.8 V X ko) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ko 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 心 a+ b n；dJc b+ d，其中 n=卄b+ c+ d. 解析：（1）根據條件得如下 2X2列聯(lián)表： 年齡低于 45 歲的人數 年齡不低于 45 歲的人數 合計 贊成 26 10 36 不贊成 4 10 14 合計 30 20 50 所以口的觀測值k=篤簽X0黑4 -a。3 了.879， 所以有 99.5%的把握認

28、為玩此手游的態(tài)度與人的年齡有關. 5 由分層抽樣的方法可知，從年齡在 55,65）的被調查人中抽取的人數為 6X = 1。十 5 2, 10 從年齡在25,35)的被調查人中抽取的人數為 6X = 4, 10 十 5 所以E的可能取值為 0,1,2 , a & 1 八 C4C2 3 C4C2 1 由題意知，P( E = 0) = 6 = 5, F( E= 1) = C = 5, P( E = 2) = -cr = 5 故隨機變量E的分布列為23 0 1 2 P 1 3 1 5 5 5 所以 E E ) = ox 1 + 1X 5+ 2X = 1. 13. （2018 揭陽模擬）某地政府

29、擬在該地一水庫上建造一座水電站， 用泄流水量發(fā)電.如 圖是根據該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量 X（單位：萬立方米）的頻率分布 直方圖（不完整），已知X 0,120，歷年中日泄流量在區(qū)間 30,60） 的年平均天數為 156, 一年按 364 天計. （1）請把頻率分布直方圖補充完整； （2）該水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能都運行， 但每 30 萬立方米的日泄流量才夠運行一 臺發(fā)電機，如 60W XV 90 時才夠運行兩臺發(fā)電機. 若運行一臺發(fā)電機，每天可獲利潤為 4 000 元；若不運行，則該臺發(fā)電機每天虧損 500 元以各段的頻率作為相應段的概率， 以水電站 日利潤的期望值為決策依據， 問：為使水電站日利潤的期望值最大， 該水電站應安裝多少臺 發(fā)電機？ 156 3 頻率 3 1 解析：（1）在區(qū)間30,60）的頻率為莎=7 組距二 K = 70. 小 1 1 1 則（