常用的連續(xù)型分布

1、本節(jié)知識要點：本節(jié)知識要點：1.掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的概率模型及其數(shù)字特征；掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的概率模型及其數(shù)字特征；2. 熟練掌握正態(tài)變量標(biāo)準(zhǔn)化，會查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表熟練掌握正態(tài)變量標(biāo)準(zhǔn)化，會查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.一、均勻分布一、均勻分布.1.Def 其其它它01)(bxaabxf 則稱則稱X X服從服從 ab 上的上的均勻分布均勻分布，記作，記作如果如果r.v.r.v.X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為.,baUX的的分分布布函函數(shù)數(shù)則則XbaUX,2. bxbxaabaxaxxF10)(3.2baEX 12)(2abDX .1.Def 000)(xxexfx 若若r.

2、v.X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 0， 的指數(shù)分布，記為的指數(shù)分布，記為服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱 X)( EX的分布函數(shù)的分布函數(shù)則則XEX),(2. ; 0)(,0 xFx時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)0 x)(xXpxF dtetx 0 xe 1 0001)(xxexFx 3. 1 EX21 DX應(yīng)用應(yīng)用4.指數(shù)指數(shù)分布分布常用作各種常用作各種“壽命壽命”分布的近似分布的近似. .布，布，無記憶性”的連續(xù)型分無記憶性”的連續(xù)型分指數(shù)分布是唯一具有“指數(shù)分布是唯一具有“有有則對于則對于即即, 0, 0, )( baEX |aXbaXP bXP abaee )(aXPbaXP ,aXPaXbaXP 000

3、1)(xxexFx be 壽命，則上式表明，壽命，則上式表明，X年，年，如果已知壽命長于，如果已知壽命長于 a無關(guān)，無關(guān)，年的概率與年齡年的概率與年齡則再活則再活ab”的”的指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕.1000,1000, 1沒沒有有壞壞的的概概率率求求該該元元件件使使用用其其平平均均使使用用壽壽命命為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布某某元元件件壽壽命命例例hhX解解1000 EX1)1000( 0 0 0 1)(1000 xxexFx1000 XP)1000(1F 1 e10001 XP.1000,1000, 1沒沒有有壞壞的的概概率率求求該該元元件件使使用用其其平平均均使使用用壽壽

4、命命為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布某某元元件件壽壽命命例例hhX解解1000 EX1)1000( 0 0 0 1)(1000 xxexFx.,10003 2率率求求至至少少有有一一個個損損壞壞的的概概個個這這樣樣的的元元件件使使用用若若有有例例h解解，個元件至少有一個損壞個元件至少有一個損壞設(shè)設(shè)3 A )A(P，,)(331 ee (A)P所以所以.13 e是是獨獨立立的的，過過各各個個元元件件的的壽壽命命是是否否超超h10003 個個元元件件都都沒沒有有損損壞壞 A 高斯分布高斯分布.1000,500小小時時的的概概率率求求它它還還可可以以繼繼續(xù)續(xù)使使用用沒沒有有損損壞壞小小時時若若發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)該

5、該元元件件使使用用了了解解 1500500P XX500|5001000 XXP1 e“無記憶性”“無記憶性”1000 XP 例例4 某電子元件的使用壽命某電子元件的使用壽命1100010( )100000 xexXf xx xexx,21)(222)( .1.Def若若r.v.X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 的的和和服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)，且為常數(shù)，且，其中其中 X, 0 ,正態(tài)分布正態(tài)分布. ),(2 NX記作記作2. EX2 DX2. EX2 DX),(2 NX的特征：的特征：)( 3.x )(x “鐘形曲線鐘形曲線”對稱對稱關(guān)于關(guān)于 x01 2120處取得最大值處取得最大值在在

6、 x 若固定若固定 ，改變，改變 ，則對應(yīng)，則對應(yīng)f( (x) )的形狀不變，只是位置變化；的形狀不變，只是位置變化；)(x 03)(x 若固定若固定 ， 越小，曲線的頂峰越高，越小，曲線的頂峰越高，曲線越陡峭，形狀變了；曲線越陡峭，形狀變了；041)(50 dxx 正態(tài)分布的分布函數(shù)：正態(tài)分布的分布函數(shù)： 4.dttxx )()( 5.可用正態(tài)變量描述的實例極多：可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；各種測量的誤差； 人體的生理特征；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；金屬線抗拉強度；熱噪聲

7、電流強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生的考試成績；學(xué)生的考試成績；),(. 62 NX),(2 NXbaX 則則),(22 abaN 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布7.一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布稱為稱為正態(tài)分布正態(tài)分布時時，當(dāng)當(dāng))1 , 0(,10N ,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,21)(202xex ,)(0 xXPx )2( 附表附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；)(200 x 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布7.一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布-3-2-11230.10.20.30.4)(0 x -aa)(1)(3000aa . 1, 0),1 , 0(10 DXEXNX則則

8、計算概率：計算概率：XN(0,1) 2( )( );P aXbba 00 1;P Xaa 0XN(0,1),)(0aXPa )(1)(00aa 例例1 設(shè)設(shè)r.v. X N(0,1),求求:)21,96. 1,96. 1,96. 1,96. 1 XPXPXPXPXP解解 96. 1XP)96. 1(0 （直接查正態(tài)分布表）（直接查正態(tài)分布表）975. 0 96. 1XP)96. 1(0 )96. 1(10 025. 0 （正態(tài)分布表無負(fù)值（正態(tài)分布表無負(fù)值,先變形）先變形） 96. 1 XP96. 196. 1 XP)96. 1()96. 1(00 )96. 1(01)96. 1(20 95.

9、 0 )96. 1(10 96. 1 XP05. 0 )1()2(2100 XP1360. 08413. 09773. 0 96. 11 XP何何計計算算？一一般般正正態(tài)態(tài)分分布布的的概概率率如如的關(guān)系的關(guān)系與與(0,1),( 8.2NN )1 , 0(),(120NXNX ，則，則若若的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化稱稱為為對對X)(),(220aFaXPNX ，則則若若 a0 bXaPbXaP bXaP bXaP ab00 aXP)(1aF a01正正態(tài)態(tài)分分布布表表-3-2-11230.10.20.30.4)(0 x 0 010 21 )(1)() 2(00aa aa03)(-)(aFbF .210,1

10、3,1310),2 ,10(. 22 XPXPXPNXvr求求例例解解 aaFaXP0)( 1310XP)10()13(FF 210130 210100)0()5 . 1(00 4332. 05 . 09332. 0 13XP131 XP)13(1F )5 . 1(10 0668. 0 210 XP128 XP)8()12(FF 210120 21080)1()1(00 1)1(20 6826. 018413. 02 例例3 設(shè)設(shè)r.v. XN（), 已知已知 PX ，求，求 、 、.解解 6 . 1XP)6 . 1( F 6 . 10036. 0 6 . 10964. 0 6 . 110)9

11、 . 5(9 . 5FXP 9 . 50758. 0 查表得查表得 7 . 09 . 58 . 16 . 1 3.8,3010 XPXP 38 . 3010)27. 1(10 898. 0 )27. 1(0 )27. 1(1(10 例例4 某元件的壽命某元件的壽命X近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N( 2 ) 已知其已知其壽命在壽命在250小時以上的概率和壽命不超過小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均小時的概率均為為92 36% 為使其壽命在為使其壽命在 x和和 x之間的概率不小于之間的概率不小于0 9 x至少為多大？至少為多大？解解 由由PX 250 PX 350 2350250 得得300 350XP)350(F 3003500 5009236. 0)50(3003503003500XPXP 查表得43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是