微積分第一章函數(shù)

1、calculus2021-12-8微積分微積分calculus2021-12-8 利用數(shù)學(xué)定量分析已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)整個(gè)理利用數(shù)學(xué)定量分析已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)整個(gè)理論體系中的重要組成部分。例如：論體系中的重要組成部分。例如：極限極限在連在連續(xù)復(fù)利問(wèn)題中的應(yīng)用、續(xù)復(fù)利問(wèn)題中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在邊際和彈性經(jīng)在邊際和彈性經(jīng)濟(jì)變量中的應(yīng)用、濟(jì)變量中的應(yīng)用、積分積分在消費(fèi)者剩余和求總在消費(fèi)者剩余和求總函數(shù)中的運(yùn)用。函數(shù)中的運(yùn)用。 更為重要的是：更為重要的是：經(jīng)濟(jì)學(xué)依靠邊際方法與經(jīng)濟(jì)學(xué)依靠邊際方法與思想來(lái)進(jìn)行決策，依靠各種形式的數(shù)學(xué)模型思想來(lái)進(jìn)行決策，依靠各種形式的數(shù)學(xué)模型來(lái)推導(dǎo)經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本理論。來(lái)推導(dǎo)經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本理論。

2、 calculus2021-12-8微積分主要分為微分學(xué)與積分學(xué)兩部分。微積分主要分為微分學(xué)與積分學(xué)兩部分。 極限概念是微積分的基石，微分學(xué)與積分學(xué)極限概念是微積分的基石，微分學(xué)與積分學(xué)都借助極限方法來(lái)描述基本概念。都借助極限方法來(lái)描述基本概念。 微積分的研究對(duì)象是變量以及反映變量之間微積分的研究對(duì)象是變量以及反映變量之間相互依賴關(guān)系的函數(shù)。相互依賴關(guān)系的函數(shù)。微積分微積分知識(shí)體系邏輯結(jié)構(gòu)：知識(shí)體系邏輯結(jié)構(gòu)：calculus2021-12-8函函 數(shù)數(shù)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)函數(shù)極限函數(shù)極限導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)微分微分不定不定積分積分中值定理中值定理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用定積

3、分定積分多元多元微分微分 微分微分 方程方程重積分重積分級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 窮窮無(wú)無(wú)calculus2021-12-8第一章第一章 函數(shù)函數(shù)1.1 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)1.2 經(jīng)濟(jì)函數(shù)介紹經(jīng)濟(jì)函數(shù)介紹calculus2021-12-81.1 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)一、區(qū)間與鄰域一、區(qū)間與鄰域1.區(qū)間區(qū)間設(shè)設(shè)a和和b都是實(shí)數(shù)，且都是實(shí)數(shù)，且ab（1）滿足不等式）滿足不等式axb的所有實(shí)數(shù)的所有實(shí)數(shù)x的集合，稱的集合，稱為以為以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間，記作為端點(diǎn)的開區(qū)間，記作(a，b)即即 (a，b)=x| axb)(（2）滿足不等式）滿足不等式axb的所有實(shí)數(shù)的所有實(shí)數(shù)x的集合，稱的集合，稱為以為以a

4、，b為端點(diǎn)的閉區(qū)間，記作為端點(diǎn)的閉區(qū)間，記作a, b即即 a, b=x| axbababxxcalculus2021-12-8（3）滿足不等式）滿足不等式axb或或axb的所有實(shí)數(shù)的所有實(shí)數(shù)x的集的集合，稱為以合，稱為以a，b為端點(diǎn)的半開半閉區(qū)間，記作為端點(diǎn)的半開半閉區(qū)間，記作(a,b或或a,b)。即即 (a,b=x| axb或或 a,b)=x| ax0,a1) 它的定它的定義域（義域（-,+），值域?yàn)椋?，值域?yàn)?（0,+），圖形），圖形通過(guò)（通過(guò)（0，1）點(diǎn)，）點(diǎn)， 且總在且總在x軸上軸上方方.當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加.當(dāng)當(dāng)0a0,a1） 它的定義域?yàn)椋ㄋ亩x域?yàn)椋?,+）

5、，圖形都），圖形都 通過(guò)（通過(guò)（1，0）點(diǎn)，且總在）點(diǎn)，且總在y軸的右軸的右 方，當(dāng)方，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加， 當(dāng)當(dāng)0a1)y=ax(0a1)(0a1)y=logaxcalculus2021-12-8（5）三角函數(shù)）三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有常用的三角函數(shù)有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx y=sinx與與y=cosx的定義域?yàn)椋ǖ亩x域?yàn)椋?,+），且都是以），且都是以2 為為周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù),值域?yàn)橹涤驗(yàn)?1,1,都是有界函數(shù)都是有界函數(shù). y=sinx為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，y=cosx為偶函數(shù)為偶函數(shù) y=cosx的圖象的圖象 y=sin

6、x的圖象的圖象23pp2p2p2pp23pp2xy11023pp2p2p2pp23pp2xy110calculus2021-12-8y=tanx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閆kkx x2ppy=cotx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閆kkx xp它們都是奇函數(shù)它們都是奇函數(shù),且均以且均以為周期為周期,它們的值域它們的值域(-,+)y=tanx的圖象的圖象23pp2p0yx2pp23pcalculus2021-12-8y=cotx的圖象的圖象secyx 另外，還有兩個(gè)三角函數(shù)另外，還有兩個(gè)三角函數(shù)23pp2p0yx2pp23pp2p2xycscxxcos1secxxsin1csccalculus2021-12-8

7、 （6）反三角函數(shù)）反三角函數(shù) 由于三角函數(shù)在定義域內(nèi)不是一一對(duì)應(yīng)由于三角函數(shù)在定義域內(nèi)不是一一對(duì)應(yīng)的，因此，三角函數(shù)在定義域內(nèi)不存在的，因此，三角函數(shù)在定義域內(nèi)不存在反函數(shù)，但是，如果在定義域內(nèi)選取一反函數(shù)，但是，如果在定義域內(nèi)選取一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間I I，使三角函數(shù)在區(qū)間，使三角函數(shù)在區(qū)間I I內(nèi)（上）內(nèi)（上）一一對(duì)應(yīng)，則三角函數(shù)在區(qū)間一一對(duì)應(yīng)，則三角函數(shù)在區(qū)間I I內(nèi)（上）內(nèi)（上）也存在反函數(shù)也存在反函數(shù).對(duì)于對(duì)于y=sinx而言，在定義域內(nèi)選取一個(gè)而言，在定義域內(nèi)選取一個(gè)區(qū)間區(qū)間 ，y=sinx在在 上一一上一一對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)。22, pp22, pp 稱為反正弦函數(shù)，其定義域?yàn)榉Q為反正弦函數(shù)

8、，其定義域?yàn)?1，1，值域?yàn)橹涤驗(yàn)?，是單調(diào)增加函數(shù)，是單調(diào)增加函數(shù).22, pp2p4p4p2p011yx2p2p011yx以上為以上為y=sinx在在 上圖象上圖象,22ppy=arcsinx的圖象的圖象 因此，因此，y=sinx在在 上存在上存在反函數(shù)反函數(shù)x=arcsiny，改寫，改寫y=arcsinx22, ppcalculus2021-12-8 y=arctanx是是y=tanx x 的反函數(shù)稱的反函數(shù)稱為為反正切函數(shù)反正切函數(shù),定義域?yàn)槎x域?yàn)?-,+),值域值域 是是單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加函數(shù).),(22pp2ppxy011y=arccosx圖象圖象 同理，同理， y=arcco

9、sx 是是y=cosx x 0,上的反上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)函數(shù)稱為反余弦函數(shù),定義域定義域-1,1, 值域值域0,是是單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)減少函數(shù).),(22pp y=arctanx圖象圖象02p2pyxcalculus2021-12-8 y=arccotx是是y=cotx x (0,)內(nèi)的反函數(shù)稱為反余切函內(nèi)的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)數(shù),定義域定義域(-,+),值域是（值域是（0,）,是單調(diào)減少函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù).02ppyx 由反三角函數(shù)的概念可知，由反三角函數(shù)的概念可知，y=arcsinx和和y=arctanx為奇函數(shù)為奇函數(shù).y=arccosx和和y=arccotx為非奇非偶函數(shù)，所有的反

10、三角函數(shù)均為為非奇非偶函數(shù)，所有的反三角函數(shù)均為有界函數(shù)有界函數(shù) y=arccotx圖象圖象calculus2021-12-822arcsin, yxpp的主值區(qū)間為：arccos0, yxp的主值區(qū)間為：22arctan(, )yxpp的主值區(qū)間為：arccot(0, )yxp的主值區(qū)間為：calculus2021-12-82.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)( ),( ),( )( ) ( ),yuyf u uxug xg xf uyf g xxu如果 是 的函數(shù)又是 的函數(shù)并且函數(shù)的值域與函數(shù)的定義域的交集非空，則稱是 的復(fù)合函數(shù) 其中 稱為中間變量.；構(gòu)成復(fù)合函數(shù)和由xuayxuaysinsin定義定

11、義7注意注意 復(fù)合函數(shù)就是在一定條件下將一個(gè)函數(shù)代入另一個(gè)函數(shù)得到的新函數(shù). 例如:).1lg(1lgxyxuuy構(gòu)成復(fù)合函數(shù)和由calculus2021-12-821,arctanxvvuuy已知 復(fù)合函數(shù)可以復(fù)合多次,即在一定條件下可由多個(gè)中間變量復(fù)合而成.例例92arctan 1(,)yxx 則復(fù)合函數(shù) 利用復(fù)合函數(shù)的概念，可以將一個(gè)復(fù)合函數(shù)看成是由幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，即復(fù)合函數(shù)可以分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，簡(jiǎn)單函數(shù)是指基本初等函數(shù)和有理整函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)）nnnnaxaxaxaxf1110)(calculus2021-12-8例例10簡(jiǎn)單函數(shù)將下列復(fù)合函數(shù)分解成)1 (cos)2(lg1)

12、 1 (22xyxy解解:22(1)1 lg,1,lgyxyu uvvx 可分解成22(2)cos (1),cos1,yxyu uvvt tx 可分解成calculus2021-12-83.初等函數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所得到的，且可以用一個(gè)公式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).32)(21)3()(, 0)(,)()2(cos1arctan) 1ln() 1 (xxxyxgxfxfyxxyxg稱為冪指函數(shù)）為初等函數(shù)其中等函數(shù)判斷下列函數(shù)是否是初例例11calculus2021-12-8解解:12（）初等函數(shù)（ ）初等函數(shù)lnNeN( )( )ln( )( )ln( )

13、( )g xg xf xg xf xyf xee因?yàn)? ), ( )f x g x是由初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算和復(fù)合而成的。3（ ）不是初等函數(shù)本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)是初等函數(shù)本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)是初等函數(shù).calculus2021-12-8六六 、 分段函數(shù)分段函數(shù)nnnnDDDDDDDnDxxfDxxfDxxfxf21212211,2;),(;),(;),()(分段函數(shù)定義域是兩兩不相交稱為分段函數(shù)，其中）（表達(dá)的函數(shù)，即由兩個(gè)或兩個(gè)以上公式分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).注意注意calculus2021-12-8例例12 設(shè)分段函數(shù)設(shè)分段函數(shù)的定義域)() 1 (xf1311)(2xxxxx

14、f(3)( )f x討論的奇偶性.的定義域求)() 1 (xf)(),2(),1 ()2(xffff求解解:(,1(1,)(,)D 1)3()2(, 0)1 () 1 ()2(212xxxfxfcalculus2021-12-81311)(2xxxxxf)(xff1)(xf)(12xf3)(xf1)(xf11)(12xxfx時(shí)，當(dāng)4222211)(xxxxff）（此時(shí)，3)(1xxfx時(shí)，當(dāng)13)(4xxfx時(shí)，而63)3()(xxxff此時(shí)，13)(241xxfx時(shí)，而86)3(1)(22xxxxff此時(shí)，calculus2021-12-8221)(1)(, 11) 3(xxxfxx 時(shí)，當(dāng)

15、46418612)(242xxxxxxxxxff1311)(2xxxxxf3)()(3)()(xxfxfxxfxf，且( )f x故是非奇非偶函數(shù).calculus2021-12-81.2 經(jīng)濟(jì)函數(shù)介紹經(jīng)濟(jì)函數(shù)介紹)(.)(1DDDQfppfQpQ形式來(lái)表示：也可以用反函數(shù)的該函數(shù)稱為需求函數(shù)之間就形成了函數(shù)關(guān)系與價(jià)格需求量外的其他因素，假若不考慮商品價(jià)格以一、需求函數(shù)calculus2021-12-8二、供給函數(shù)二、供給函數(shù)( ).ssQpQp在不考慮其他因素情況下，供給量與價(jià)格 之間形成了函數(shù)關(guān)系稱該函數(shù)為供給函數(shù)p.00價(jià)格價(jià)格稱為該商品的最高時(shí)的量，需求量飽和需求量或最高需求該商品的時(shí)

16、的需求量稱為市場(chǎng)對(duì)價(jià)格DQp注意注意由于需求量隨價(jià)格增加而減少，所以需求函數(shù)是單調(diào)減少的。sQcalculus2021-12-8三、市場(chǎng)均衡三、市場(chǎng)均衡當(dāng)某商品的需求量等于供給量時(shí)，我們稱該商品處于市場(chǎng)均衡狀態(tài)，此時(shí)的價(jià)格稱為該商品的均衡價(jià)格，此時(shí)的需求量（供給量）稱為該商品的均衡量. 商品的均衡量和均衡價(jià)格相當(dāng)于需求曲線和供給曲線交點(diǎn)的坐標(biāo).一般來(lái)說(shuō)，市場(chǎng)均衡表示此時(shí)的需求量、供給量、產(chǎn)量、銷量均相等，因而市場(chǎng)均衡又稱為供求平衡或產(chǎn)銷平衡.如圖(見(jiàn)下頁(yè))calculus2021-12-8PPPP供不應(yīng)求，供過(guò)于求.( )DQf PQ( )sQPEPOPQcalculus2021-12-8四、

17、總成本函數(shù)四、總成本函數(shù))(.xCCxC記為成本函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系稱為總所與產(chǎn)量總成本在生產(chǎn)過(guò)程中，產(chǎn)品的01,;( ).( )CC xC x生產(chǎn)某一種產(chǎn)品的總成本包括固定成本和變動(dòng)成本兩部分；不隨產(chǎn)品的產(chǎn)量增減而變化的部分稱為固定成本 記為隨產(chǎn)品的產(chǎn)量增減而變化的部分稱為變動(dòng)成本，記為于是總成本可表示為：)()(10 xCCxCcalculus2021-12-80)0(0CCx本，有時(shí)的總成本就是固定成當(dāng)產(chǎn)量.( )( )C xC xx均攤在單位產(chǎn)品上的成本稱為平均單位成本，簡(jiǎn)稱平均成本記為：)0( x注意注意平均成本函數(shù)一般不是單調(diào)函數(shù).calculus2021-12-8例例1.50010

18、0400)(2本函數(shù)及平均成本函數(shù)萬(wàn)元，試求總成噸時(shí)，總成本為當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)元，且成本為待定系數(shù)，已知固定，其中噸的函數(shù)萬(wàn)元為年產(chǎn)量假定某產(chǎn)品總成本babxaxCCxC解解:2100400500400,500)100(400)0(baCaC所以由于1001b解得calculus2021-12-8)(100400)(2萬(wàn)元所求總成本函數(shù)為xxC)0( x)/(100400)()(噸萬(wàn)元平均成本函數(shù)為xxxxCxC)0( xcalculus2021-12-8五、收益函數(shù)五、收益函數(shù)收益函數(shù)：生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得收益函數(shù)：生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得到的全部收入。它是銷量與價(jià)格的乘積到的全部收

19、入。它是銷量與價(jià)格的乘積 RQ pQp其中 為銷售量， 為價(jià)格注注QQfQPRPPfQPR)()(10,0QR當(dāng)時(shí)calculus2021-12-8,40 00040/QPQabp設(shè)某產(chǎn)品的需求量 是價(jià)格 的線性函數(shù)已知該商品的最大需求量為，件，最高價(jià)格為元 件，并假定市場(chǎng)均衡，求該商品的收益函數(shù).例例2解解:40000,)0(aaQ所以為最大需求量因?yàn)榈茫海ㄋ粤繛橛忠驗(yàn)閮r(jià)格最高時(shí)需求, 04040000400bQ1000bcalculus2021-12-8PQ100040000需求函數(shù)為2100040000100040000ppPPQPR）（收益函數(shù)為21000140100040000Q

20、QQQQPR或)400( P(040000)QQZcalculus2021-12-8六、總利潤(rùn)函數(shù)六、總利潤(rùn)函數(shù)由經(jīng)濟(jì)理論知：利潤(rùn)=收益-成本:則利潤(rùn)函數(shù)為表示，與產(chǎn)量相等，均用當(dāng)市場(chǎng)均衡時(shí)，銷售量Q)()()()()()(pCpRpLLQCQRQLL或?yàn)橛澟R界點(diǎn)時(shí)，稱當(dāng)*0)(QQLcalculus2021-12-800QQLQQL時(shí)，虧本；時(shí)，盈利.COQRQ( )R Q( )C Q()()R QC Q calculus2021-12-8.(215)(5250015002潤(rùn)函數(shù)產(chǎn)品就會(huì)積壓，試求利，如果超出此范圍，為銷售量，單位：百臺(tái)其中萬(wàn)元），銷售的總收入函數(shù)為能全部售出，百臺(tái)，在此范圍內(nèi)產(chǎn)品求量最高為需元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年百臺(tái)成本增加產(chǎn)元，每生成本為某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定QQQQR例例3解解:)(25. 005. 0)(萬(wàn)元總成本函數(shù)QQCcalculus2021-12-82215052( )15 5552QQQR QQ 收益函數(shù)2( )( )( )14.750.05 0520.2512.455L QR QC QQQQQQ所以利潤(rùn)函數(shù)為calculus2021-12-8QP25. 010QP設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,為