八上培優(yōu)5半角模型

1、八上培優(yōu)5 半角模型方法：截長補短圖形中，往往出現(xiàn) 90°套45°的情況，或者120°套60°的情況。還有 2 套的情況。求旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補短構(gòu)造全等三角形。折分割構(gòu)全等。截長法，補短法。勤學(xué)早和新觀察均有專題。勤學(xué)早在第49頁，新觀察在第34頁，新觀察培優(yōu)也有涉及，在第27頁2兩個例題，29頁有習(xí)題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過程一般要證明兩 次全等。下面是新觀察第34頁14題1. 如圖，四邊形 ABCD中，Z A=Z C=90 , Z D=60 , AB=BC E、F,分別在 AD C

2、D上，且/ EBF=60 ° .求證：EF=AE+C.FA2. 如圖2，在上題中，若 E、F分別在AD DC的延長線上，其余條件不變，求證：AE=EF+C.F3. 如圖，Z A=Z B=90° , CA=CB=4, Z ACB=120 , Z ECF=60 , AE=3, BF=2,求五邊形 ABCDE的面積4. 如圖1.在四邊形 ABCD中. AB=AD / B+Z D=180 , E、F分別是邊 BC CD上的點，且/ BAD=2 / EAF.(1) 求證：EF=BE+DF(2) 在(1)問中，若將 AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點 E、F分別運動到BC CD延長線上時，

3、如圖2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.圉13. 如圖3，在四邊形 ABD(中, Z B+Z C=180 , DB=DCZ BDC=120，以D為頂點作一個 60°的角，角的兩邊分別交 AB AC于E、F兩點，連接EF,探索線段BE CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并 加以證明.E3勤學(xué)早第40頁試題1. (1)如圖，已知 AB=AC, Z BAC=90 , Z MAN=4° 過點C作NC丄AC交AN于點N,過點B 作BM垂直AB交AM于點M,當(dāng)Z MAt在Z BAC內(nèi)部時，求證：BM+CN=MN;證明：延長 MB到點 G 使 BG=CN連接 AQ 證厶ABdAACN(

4、SAS)/. AN=AG/ BAG= ,ZNAC. Lv Z GAMZ GAB + Z BAMZ CAN+Z BAM=4° = L Z MAN,證厶 AM3 AMG(SAS), ' / MN= MG= BM + BG= B1M NC.證明二：(此證明方法見新觀察培優(yōu)第27頁例3) 如圖，在 的條件下，當(dāng) AM和AN在 AB兩側(cè)時，(1)的結(jié)論是否成立？請說明理由 基本模型二 120。套60 °解：不成立，結(jié)論是:MN=CNP BM, 證明略.2. 如圖， ABC中,CA=CB,/ACB=120 ,E 為 AB上一點，/ DCE=60 , / DAE= 120

5、6;, 求證:DE=BE證明:（補短法）延長EB至點F,使BF=AD連接CF,則厶CBFA CAD CEDA CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如圖， ABC中,CA=CB,Z ACB=120，點 E為 AB上一點，/ DCE=/ DAE= 60°, 求證:AD+DE= BE.E F B證明:（截長法）在BE上截取BF=AD連接CF,易證 CBFA CAD CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：新觀察培優(yōu)版 27頁例4如 圖， ABC是邊長為1的等邊三角形， BDC是頂角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以 D為頂點

6、作一個 60 °角，角的兩邊分別交 AB AC于 M N,連結(jié)MN,試求 AMN的周長分析：由于/ MDN=60 , / BDC=120，所以/ BDM十/ CDN=60，注意到 DB=DC考慮運用“旋轉(zhuǎn) 法”將/ BDM和/ CDN移到一起，尋找全等三角形。另一方面， AMN的周長 AM+AN + MN= AB+AC+MN-BM- CN.猜想MN= BM+CN證三角形全等解決.新觀察培優(yōu)68頁 例5 如圖， 點A B(2,0)在x軸上原點兩側(cè)，C在y軸正半軸上，0C平分/ ACB.(1) 求A點坐標(biāo)； 如圖1, AQ在/ CAB內(nèi)部，P是AQ上一點，滿足/ ACBM AQB,AP=

7、BQ試判斷 CPQ的形狀, 并予以證明；如圖2. BD丄BC交y軸負(fù)半軸于 D. / BDO=60 , F為線段AC上一動點，E在CB延長線上， 滿足/ CFD+/ E=180 ° .當(dāng)F在AC上移動時，結(jié)論：CE+CF直不變；CE- CF值不變，其中只 有一個正確結(jié)論，請選出正確結(jié)論并求其值分析:(1)由/ AOWA BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由厶 ACPA BCQ得 CP=CQ. 由BD丄BC,Z BDO=60 ,可證得等邊 ABC由角平分線和 DB_丄BC的條件，運用對稱性知 DA丄AC,連結(jié) DA,加上條件/ CFD+/ E=180°，

8、可證得厶 ADF三 BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三2 :- °套14. (1)如圖 1,在四邊形 ABCD中, AB=AD,Z B+ZD=180° , E,F 分別是 BC,CDk的點，且/ EAF=2 Z BAD,求證:EF= BE+ DF; 如圖2,在(1)的條件下，若將 AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E,F分別運動到BC,CD延長線上時，則EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是 EF=BE- DFB eC解:(1)EF=BE+DF,延長 FD到點 G,使 DG=BE連接 AG,證厶ABEAADG (SAS), . /-AE = AG,1Z BAE

9、* DAGZ EAF= Z BAD,2Z GAFZ DAGZ DAFZ BAEZ DAFZ BAD- Z EAF= Z EAF, /Z 'EAF= Z GAF,證厶AEFA GAF(SAS),./ EF= FG, vFG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地試題:4. 探究：如圖，點E、F分別在正方形 ABCD的邊BCCD上，/ EAF=45 ,連結(jié)EF,求證：EF=BE+DF1應(yīng)用：如圖，在四邊形 ABCD中，點E、F分別在 BC CD上, AB=AD / B+Z D=90°,Z EAFj25通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到

10、解一題知一類的目的下面是一個案例，請補 充完整.原題：如圖1，點E、F分別在正方形 ABCD的邊BC CD上, Z EAF=45 ,連接EF,求證：EF=BE+DF(1 )思路梳理/ AB=AD 把厶ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90 °至厶ADG可使AB與AD重合.Z ADGZ B=90°,.Z FDGZ ADG+Z ADC=180，則點 F、D G共線.根據(jù)，易證 AF3，從而得EF=BE+DF(2 )類比引申如圖 2,四邊形 ABCD中, AB=AD Z BAD=90 點 E、F 分別在邊 BC CD上，Z EAF=45 .若Z B、Z D都不是直角，但當(dāng)Z B與Z D滿足等

11、量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF請給出證明；(3 )聯(lián)想拓展如圖 3,在厶 ABC中，Z BAC=90 , AB=AC 點 D E均在邊 BC上，且Z DAE=45，猜想 BD DEEC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程.7. (1)如圖1 ,在四邊形 ABCD中, AB=AD Z B=Z D=90°, E、F分別是邊 BC CD上的點，且AE=AF1 Z EAF= Z BAD現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：延長 EB至G,使BG=BE連接AQ延長 FD 2至G,使DG=BE連接AG;過點A作AGL EF,垂足為G;選擇其中一種方法添加輔助線，求證：EF=BE+FD1(2) 如圖2,在四邊形

12、ABCD中, AB=AD若/ B+Z D=180°,Z EAF / BAD,證明(1)中結(jié)論2是否還成立？(3) 如圖3,在四邊形 ABCD中, AB=AD Z B+Z ADC=180，E、F分別是邊 BC CD延長線上的點，1 一且Z EAF=_ Z BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間2的數(shù)量關(guān)系，并證明.& ( 1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD ZB=ZD=90°,E、F分別是邊 BCCD上的點，且Z1EAF= Z BAD 求證：EF=BE+FD21(2) 如圖2,在四邊形 ABCD中, AB=AD Z B+Z

13、 D=180°, E、F分別是邊 BC CD上的點，且Z EAF=2Z BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(3) 如圖3,在四邊形 ABCD中, AB=AD Z B+Z ADC=180 , E、F分別是邊 BC CD延長線上的點，一 1 一且Z EAF= Z BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、2BE FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.半角模型問題放到平面直角坐標(biāo)系中是什么樣子?1如圖1在平面直角坐標(biāo)系中， AOB為等腰直角三角形，A (4, 4)/ FDC+

14、Z DCF=9C ,/ ACF=/ FDC又/ DFC=z AEC=9C , DFCA CEA(AAS , EC=DF=4 FC=AEA (4 , 4), AE=OE=4 FC=OE 即 OF+EF=CE+EF OF=CE OF=DF / DOF=45 , AOB為等腰直角三角形， / AOB=45 , / AODM AOB+/ DOF=9C ;(3) AM=FM+O成立,理由：如圖所示,在 AM AE=OE=4(1) 求 B點坐標(biāo)；(2) 如圖2，若C為x正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角 ACD / ACD=90 ,連接OD 求/ AOD的度數(shù)；(3)如圖3,過點A作y軸的垂線交y軸

15、于E, F為x軸負(fù)半軸上一點，G在EF的延長線上，以 EG為直角邊作等腰 Rt EGH過A作x軸垂線交EH于點M連FM等式AM=FM+O是否成立？若 成立，請說明；若不成立，說明理由.解：(1 )如圖所示，作 AE± OB于 E,A (4, 4),OE=4, AOB為等腰直角三角形，且 AE丄OB OE=EB=4 OB=8- B ( 8 , 0);(2)如圖所示，作 AE1 OB于E, DF丄OB于F, ACD為等腰直角三角形， AC=DC / ACD=90即/ ACF+Z DCF=9C° ,上截取 AN=OF 連 EN又/ EAN/ EOF=90 , AN=OF/ A (

16、4 , 4) , EANA EOF (SAS ,又 EM=EM NEMA FEM( SAS , MN=MF/ AEN+Z OEM=45 又/ AEO=90 ,/ NEM=45 =Z FEM AM-MF=AM-MN=AN AM-MF=OF 即 AM=FM+OF/ OEF玄 AEN EF=EN又 EGH為等腰直角三角形，/ GEH=45，即/ OEF+Z OEM=45 ,(2)【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.2. 如圖，直線 L交x軸、y軸分別于 A、B兩點，A (

17、a, 0) B (0, b),且(a-b ) 2+|b-4|=0(1 )求A B兩點坐標(biāo)；求PCEA=(2) C為線段AB上一點，C點的橫坐標(biāo)是 3, P是y軸正半軸上一點，且滿足/ OCP=45 , 點坐標(biāo)；(3) 在(2 )的條件下，過 B作BD丄OC交OC OA分別于F、D兩點，E為OA上一點，且/ Z BDO試判斷線段 OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.J'mBp*,oD £(1 )解：( a-b ) 2+|b-4|=0 , a-b=0 , b-4=0 ,Vjh; K;B0DEx0圉1、備 E A x a=4, b=4, A (4, 0), B (0, 4);3. 如

18、圖，已知 A (a, b), AB丄y軸于B,且滿足|a-2|+(b-2 ) 2=0,(1 )求A點坐標(biāo)；(2) 如圖1,分別以AB, AO為邊作等邊三角形 ABHA AOD試判定線段 AC和DC的數(shù)量關(guān)系 和位置關(guān)系，并說明理由；(3) 如圖2,過A作AE丄x軸于E,點F、G分別為線段 OE AE上兩個動點，滿足/ FBG=45 , 試探究OF AG的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，請說明理由.FG圉1囹22017-2018江漢期中如圖點 PABC的外角/ BCD的平分線上一點，PA=PB(1 )求證：/ PAC=z PBC(2 )作 PE! BC于 E,若 AC=5 BC=11

19、,求 SA PCE SA PBEDCCE1£DCEDaQ5圖3cB圖3 AC+CF=BC-CEA圖2P 作 PEI BC于 E,-圖1n解：(1)如圖1，過點BPF丄 5+CF=11-C E CE=CF=3 pfca pec S PFC=SPEC,-Rt PAF Rt PEE，.S PAF=SPEB,(3 )若M N分別是邊系，并說明理由.DtAC BC上的點,MPN=l / APB則線段AM MN BN之間有何數(shù)量關(guān)2/ PAC玄 PBCPAM = PBQ PE=PF / PCF=/ PCE/ APM/ QPA=/ APQ/ QPB/ PC=PC即：/ APB=/ MPQ / MP

20、N/ QPNAC于 F,/ PC平分/ DCBPl PE S PCE：S PBE=S PFC :SPFA Rt PAF Rt PEB(2)如圖2，過點 P作PF丄AC于F ,(3)如圖3，在BC上截取 BQ=AM 在厶 PMAn PQB中，PA= PB/ PE丄BC, CP是/ BCD的平分線,MA= BQ, PMAA PQB PM=PQ/ MPA=QP,B PCFA PCE CF=CE 由(l)知，Rt PAF Rt PEB AF=BE/ MPN=l / APB2 / MPN=l / MPQ2/ AF=AC+CF BE=BC-CE PE=PF在 Rt PAF和 Rt PEB中,=CF: AC

21、=3: (3+5) =3: 8;= lCFX PF:21 ACX PF2在厶MPNm QPC中,PN = PNIMPN = . QPNMP = QP, MPN2A QPC MN=QN BN=AM+MN【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全 等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理和角平 分線的定義，解(1)的關(guān)鍵是判斷出 PE=PF 解(2)的關(guān)鍵是求出 CE=CF=3解(3)的關(guān) 鍵是構(gòu)造全等三角形判斷出/APB=/ MPQ是一道中等難度的中考常考題.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC射線BM BN在/ ABC內(nèi)部，分別交線段 AC于 點G H.(1) 如圖 1,若/

22、ABC=60、/ MBN=30，作 AE± BN于點 D,分別交 BC BM于點 E、F. 求證：CE=AG 若BF=2AF連接CF,求/ CFE的度數(shù)；SVABF =SVACF(2) 如圖2,點E為BC上一點，AE交BM于點F,連接CF,若/ BFE=/BAC=2/CFE直接寫出根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/BAC=/ ACB=60 , AB=CA 求得/ BFD=/ AFG=60，推出/ EAC/ GBA證得厶 GBAA EAC 根據(jù)全等三 角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論； 如圖1,取BF的中點K連接AK,由BF=2AF推出 FAK是等腰三角1形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/FAK=/ FKA求得/ AKF= 1 / BFA 30 °根據(jù)全等三角形2的性質(zhì)得到 AG=CE BG=AE / AGB/ AEC推出 GAKA EFC根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/CFE=/ AKF即可得到結(jié)論；Sa abk=S(2)如圖2,在BF上取BK=AF連接AK,推出/ EACN FBA根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 acf , / AKB=/ AFC證得 FAK是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AF=FK即可得到結(jié)論.【解答】解：(1) AB=AC / ABC=60A