導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)的概念求導(dǎo)法則參變量函的概念求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)第一頁(yè)，共129頁(yè)。1 導(dǎo)數(shù)(do sh)的概念第1頁(yè)/共128頁(yè)第二頁(yè)，共129頁(yè)。1.直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度(sd)問(wèn)題問(wèn)題,)(0時(shí)時(shí)刻刻的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度求求數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)于于時(shí)時(shí)刻刻的的位位置置函函ttfs 0t如圖如圖,0tt 的時(shí)刻的時(shí)刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運(yùn)動(dòng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間tsv 平均速度平均速度0000)()(tttftfttss ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限取極限(jxin)得得tt00)()(lim0tttftfVtt 瞬時(shí)

2、速度瞬時(shí)速度第2頁(yè)/共128頁(yè)第三頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)：割：割線(xiàn)的極限線(xiàn)的極限播放播放(b fn)MNT割線(xiàn)割線(xiàn)MN繞繞點(diǎn)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)而趨向極限位趨向極限位置置MT,直線(xiàn)直線(xiàn)MT就稱(chēng)就稱(chēng)為曲線(xiàn)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)在點(diǎn)M處處的切線(xiàn)的切線(xiàn).第3頁(yè)/共128頁(yè)第四頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)問(wèn)題題切線(xiàn)：割線(xiàn)切線(xiàn)：割線(xiàn)(gxin)的極限的極限MTN第4頁(yè)/共128頁(yè)第五頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)：割線(xiàn)的極限：割線(xiàn)的極限MTN第5頁(yè)/共128頁(yè)第六頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題

3、切線(xiàn)：割線(xiàn)切線(xiàn)：割線(xiàn)(gxin)的極限的極限MTN第6頁(yè)/共128頁(yè)第七頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)：割線(xiàn)的極限：割線(xiàn)的極限MTN第7頁(yè)/共128頁(yè)第八頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)：割線(xiàn)的極限：割線(xiàn)的極限MTN第8頁(yè)/共128頁(yè)第九頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)：割線(xiàn)切線(xiàn)：割線(xiàn)(gxin)的極限的極限MTN第9頁(yè)/共128頁(yè)第十頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)：割線(xiàn)的極限：割線(xiàn)的極限MTN第10頁(yè)/共128頁(yè)第十一頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(

4、qixin)問(wèn)問(wèn)題題切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)：割線(xiàn)的極限：割線(xiàn)的極限MTN第11頁(yè)/共128頁(yè)第十二頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)：割線(xiàn)切線(xiàn)：割線(xiàn)(gxin)的極限的極限MTN第12頁(yè)/共128頁(yè)第十三頁(yè)，共129頁(yè)。2.切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)問(wèn)題問(wèn)題切線(xiàn)：割線(xiàn)切線(xiàn)：割線(xiàn)(gxin)的極限的極限MTN割線(xiàn)割線(xiàn)MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋旋轉(zhuǎn)而趨向轉(zhuǎn)而趨向極限位置極限位置MT,直線(xiàn)直線(xiàn)MT就稱(chēng)就稱(chēng)為為(chn wi)曲線(xiàn)曲線(xiàn)C在點(diǎn)在點(diǎn)M處處的切線(xiàn)的切線(xiàn).第13頁(yè)/共128頁(yè)第十四頁(yè)，共129頁(yè)。 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線(xiàn)割

5、線(xiàn)MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn)的的斜斜率率為為切切線(xiàn)線(xiàn)MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 第14頁(yè)/共128頁(yè)第十五頁(yè)，共129頁(yè)。,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱(chēng)這個(gè)極限為函并稱(chēng)這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)

6、鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1.定義定義(dngy)第15頁(yè)/共128頁(yè)第十六頁(yè)，共129頁(yè)。.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 導(dǎo)數(shù)定義其它導(dǎo)數(shù)定義其它(qt)常見(jiàn)形式常見(jiàn)形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000)(,00 xfdxdyxx 即即第16頁(yè)/共128頁(yè)第十七頁(yè)，共129頁(yè)。.,0慢慢程程度度而而變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因變變量量在在點(diǎn)點(diǎn) x.)(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間就稱(chēng)函數(shù)就稱(chēng)函數(shù)處

7、都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點(diǎn)內(nèi)的每點(diǎn)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxfy 1）注注12 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(hnsh)第17頁(yè)/共128頁(yè)第十八頁(yè)，共129頁(yè)。.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對(duì)應(yīng)著都對(duì)應(yīng)著對(duì)于任一對(duì)于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即很明顯很明顯(mngxin)(mngxin).)()(00 xxxfxf 2）如果如果)(xf在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說(shuō)都存在，就說(shuō))(xf在閉區(qū)間

8、在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).3）第18頁(yè)/共128頁(yè)第十九頁(yè)，共129頁(yè)。右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):3 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)(do sh)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)(do sh):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 判斷函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充分判斷函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充分(chngfn)必要條必要條件：件：)()()(000 xfxfxxf 點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)第19頁(yè)/共128頁(yè)第二十頁(yè)，共129頁(yè)。例例.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)

9、0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy第20頁(yè)/共128頁(yè)第二十一頁(yè)，共129頁(yè)。步驟步驟(bzhu):);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零。常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零。即即 . 0)( C第21頁(yè)/共12

10、8頁(yè)第二十二頁(yè)，共129頁(yè)。例例2 2.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般更一般(ybn)地地)(.)(1為常數(shù)為常數(shù) xx)()(21 xx例如例如(lr),12121 x.21x )()1(1 xx11)1( x.12x 第22頁(yè)/共128頁(yè)第二十三頁(yè)，共129頁(yè)。例例3 3)(sin,sin)( xxxf求求若若函函數(shù)數(shù)解解hxhxxxfhsin)sin(lim)(sin)(0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x xxc

11、os)(sin 故故xxsin)(cos 同同樣樣地地，第23頁(yè)/共128頁(yè)第二十四頁(yè)，共129頁(yè)。例例4 4.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax xxee )( 特別地，特別地，.lnaax )( xa第24頁(yè)/共128頁(yè)第二十五頁(yè)，共129頁(yè)。例例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa xx1)(ln 特

12、別地，特別地，第25頁(yè)/共128頁(yè)第二十六頁(yè)，共129頁(yè)。oxy)(xfy T0 xM1 幾何幾何(j h)意義意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線(xiàn)表示曲線(xiàn) xfxfxMxfyxf切線(xiàn)切線(xiàn)(qixin)方方程為程為法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 第26頁(yè)/共128頁(yè)第二十七頁(yè)，共129頁(yè)。 1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(yy)，可以得到曲線(xiàn) 在定點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為：)(xfy ),(000yxM)(000 xxxfyy 2、如果 ，則法線(xiàn)(f xin)的斜率為 ，從而點(diǎn) 處法線(xiàn)(

13、f xin)方程為：0)(0 xf)(10 xf )()(1000 xxxfyy0M第27頁(yè)/共128頁(yè)第二十八頁(yè)，共129頁(yè)。 例6 求曲線(xiàn) 在點(diǎn)（4，2）處的切線(xiàn)(qixin)方程和法線(xiàn)方程。 xy 解： （1）函數(shù)(hnsh) 在x=2處的導(dǎo)數(shù)： xy 4xy （2）所求切線(xiàn)(qixin)的斜率 41切k) 4(412xy044 yx即 （4）法線(xiàn)的斜率 ，故所求的法線(xiàn)方程為： 41切法kk) 4( 42xy0184yx即 （3）由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為： 41214xx第28頁(yè)/共128頁(yè)第二十九頁(yè)，共129頁(yè)。 例7 曲線(xiàn) 上哪些(nxi)點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn) 平行？ 23

14、xy 13 xy解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線(xiàn)(qxin) 在點(diǎn) 處的 切線(xiàn)的斜率為： 23xy ),(00yxM)(2300 xyxx 而直線(xiàn)(zhxin) 的斜率為 13 xy3k3230 x解此方程，得 40 x將 代入曲線(xiàn)方程 ，得 。 40 x23xy80y根據(jù)兩直線(xiàn)平行的條件有所以，曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)與直線(xiàn) 平行。23xy )8 , 4(M13 xy02102323xx 第29頁(yè)/共128頁(yè)第三十頁(yè)，共129頁(yè)。 求曲線(xiàn)(qxin) 在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程3xy 解： 1xy3切k所以，切線(xiàn)(qixin)方程為： ) 1( 31xy 法線(xiàn)方程為： ) 1(311xy

15、即023 yx即043 yx3312xx即切線(xiàn)的斜率為： 第30頁(yè)/共128頁(yè)第三十一頁(yè)，共129頁(yè)。例例8 8.,)4 , 2(2方方程程和和法法線(xiàn)線(xiàn)方方程程并并寫(xiě)寫(xiě)出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)斜斜率率處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)的的在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線(xiàn)線(xiàn)xy 解解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(yy), 得切線(xiàn)斜率為得切線(xiàn)斜率為2 xyk所求切線(xiàn)所求切線(xiàn)(qixin)方方程為程為法線(xiàn)法線(xiàn)(f xin)方程方程為為),2(44 xy),4(414 xy. 044 yx即即. 0174 yx即即xxy2)(2 42 xyk第31頁(yè)/共128頁(yè)第三十二頁(yè)，共129頁(yè)。2 簡(jiǎn)單的物理簡(jiǎn)單的物理(wl)

16、意意義義1 1）變速）變速(bin s)(bin s)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中路程對(duì)時(shí)間的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度. .lim)(0dtdststvt 2 2）交流電路中電量對(duì)時(shí)間）交流電路中電量對(duì)時(shí)間(shjin)(shjin)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度. .lim)(0dtdqtqtit 3 3）非均勻物體中）非均勻物體中質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為物體的線(xiàn)物體的線(xiàn)(面面,體體)密度密度.lim)(0dPdmPmPP 第32頁(yè)/共128頁(yè)第三十三頁(yè)，共129頁(yè)。結(jié)論結(jié)論(jiln)(jiln)： 可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的可導(dǎo)的函數(shù)一

17、定是連續(xù)的。證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 第33頁(yè)/共128頁(yè)第三十四頁(yè)，共129頁(yè)。比如比如(br)(br)處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)0)( xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy注意注意: : 反之不成立反之不成立.

18、 .即連續(xù)即連續(xù)(linx)(linx)不一定可導(dǎo)。不一定可導(dǎo)。第34頁(yè)/共128頁(yè)第三十五頁(yè)，共129頁(yè)。1. 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)的概念與實(shí)質(zhì)的概念與實(shí)質(zhì): 增量比增量比的極限的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義(yy)與物理意義與物理意義(yy): 5. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);4. 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).第35頁(yè)/共128頁(yè)第三十六頁(yè)，共129頁(yè)。思考思考(sko)判斷題判斷題1、初等函數(shù)、初等函數(shù)(hnsh)在其定義區(qū)間內(nèi)必可導(dǎo)在其定義區(qū)間內(nèi)必可導(dǎo)2、初等、初等(chdng)函

19、數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等(chdng)函數(shù)函數(shù)一一定定存存在在。處處有有切切線(xiàn)線(xiàn)，則則在在（曲曲線(xiàn)線(xiàn)、)()(,)( 3000 xfxfxxfy 第36頁(yè)/共128頁(yè)第三十七頁(yè)，共129頁(yè)。1、利用冪函數(shù)、利用冪函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)公式，求下列函數(shù)的求導(dǎo)公式，求下列函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)8 . 018 . 18 . 18 . 1) 1 (xxy解：41333) 2(xxy2312121212121)()1() 3 (xxxxy491413413413413413413)()()() 4 (xxxxxxy81) 1 ( xy3)2( xyxy1)3(43)4(xxy第37頁(yè)/共

20、128頁(yè)第三十八頁(yè)，共129頁(yè)。2、熟記、熟記(sh j)以下導(dǎo)數(shù)公式：以下導(dǎo)數(shù)公式： （1） （C)=0（2）1)(xx( 3)xxcos)(sin（4） xxsin)(cosaxxaln1)(logxx1)(ln（5） 八、作業(yè)八、作業(yè)(zuy) P94: 1、 3、 4、 5、 6、 7. 第38頁(yè)/共128頁(yè)第三十九頁(yè)，共129頁(yè)。2 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則(fz)第39頁(yè)/共128頁(yè)第四十頁(yè)，共129頁(yè)。定理定理(dngl)2并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的和在點(diǎn)們的和在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 并且并且處也可導(dǎo)

21、處也可導(dǎo)們的差在點(diǎn)們的差在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 定理定理(dngl)1第40頁(yè)/共128頁(yè)第四十一頁(yè)，共129頁(yè)。證證(1)(1)()()(xvxuxf 設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 (2)(2)略略. .hxvhxvxuhxuh)()()()(lim0 )()(xvxu 第41頁(yè)/共128頁(yè)第四十二頁(yè)，共129頁(yè)。推論推論(tuln)()()( )()()()1(2121xfxfxfxfxfxfmm 例例1 1.ln23的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy

22、 解解xxxy1232第42頁(yè)/共128頁(yè)第四十三頁(yè)，共129頁(yè)。定理定理(dngl)3并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的積在點(diǎn)們的積在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 推論推論(tuln);( )()2(xfCxCf wuvwvuvwuuvw )3(注意注意(zh y):);()( )()(xvxuxvxu 第43頁(yè)/共128頁(yè)第四十四頁(yè)，共129頁(yè)。例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2

23、 .2sin1ln2cos2xxxx 并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的商們的商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理(dngl)4第44頁(yè)/共128頁(yè)第四十五頁(yè)，共129頁(yè)。證證),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 第45頁(yè)/共128頁(yè)第四十六頁(yè)，共129頁(yè)。hxvhxvxvhxvxuxv

24、xuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf注意注意(zh y):.)()()()(xvxuxvxu 第46頁(yè)/共128頁(yè)第四十七頁(yè)，共129頁(yè)。例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 同理可得同理可得xxy2sec)(tan xxy2csc)(cot 第47頁(yè)/共128頁(yè)第四十八

25、頁(yè)，共129頁(yè)。例例4 4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得例例5 5).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)分段分段(fn dun)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)函數(shù)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求求.xxxycotcsc)(csc 第48頁(yè)/共128頁(yè)第四十九頁(yè)，共129頁(yè)。解解, 1)( xf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxfcos)( ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( f.0, 10,cos)( x

26、xxxf第49頁(yè)/共128頁(yè)第五十頁(yè)，共129頁(yè)。.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)證證,xIx 任任取取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y), 0(xIxxx 法則法則(fz)第50頁(yè)/共128頁(yè)第五十一頁(yè)，共129頁(yè)。于是于是(ysh)有有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)因因?yàn)闉閤f0,0yx必必有有時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng))0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf

27、即即即是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接即是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接(zhji)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)數(shù).第51頁(yè)/共128頁(yè)第五十二頁(yè)，共129頁(yè)。例例1 1.arcsinsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)，求為直接函數(shù)，求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xyyx 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在所以所以)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 同理可得同理可得211x 211)(arccosxx 第52頁(yè)/共128頁(yè)第五十三頁(yè)，共129頁(yè)。例例2 2.arctantan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)，求為直接函數(shù)，求設(shè)函數(shù)設(shè)

28、函數(shù)xyyx 解解,)2,2(tan內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0sec)(tan2 yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在所以所以),( xI)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 同理可得同理可得211x 211)cot(xxarc 第53頁(yè)/共128頁(yè)第五十四頁(yè)，共129頁(yè)。例例3 3, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在故故 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yyIax特別特別(tbi)地地.1)(lnxx .log 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為直直接接函函數(shù)數(shù)，求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xayyax 第54

29、頁(yè)/共128頁(yè)第五十五頁(yè)，共129頁(yè)。鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t（Chain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)證明證明(zhngmng),)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu 所所以以)0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則第55頁(yè)/共128頁(yè)第五十六頁(yè)，共129頁(yè)。xyx0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 x

30、uf 注注1：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則(fz)，即因變量對(duì)自變量求導(dǎo)，即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)量求導(dǎo).第56頁(yè)/共128頁(yè)第五十七頁(yè)，共129頁(yè)。注注2 ),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例4 4.tanln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcossin1 第57頁(yè)/共128頁(yè)第五十八頁(yè)，共129頁(yè)。例例5 5.)cos(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求

31、函數(shù)xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(1xxxeeevu 注：熟練以后，可以注：熟練以后，可以(ky)不寫(xiě)出中間變量，此例可以不寫(xiě)出中間變量，此例可以(ky)這樣寫(xiě)：這樣寫(xiě)： )cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan( )()cos()sin(xxxxxeeeee 第58頁(yè)/共128頁(yè)第五十九頁(yè)，共129頁(yè)。例例6 6.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy練習(xí)練習(xí)(linx)(linx)：.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xx

32、ex.1cos11sin2xexx 第59頁(yè)/共128頁(yè)第六十頁(yè)，共129頁(yè)。 例例7 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)。 )42tan(lnxy解：解： 設(shè)設(shè) 42,tan,lnxvvuuy由由 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan(12xx.sec)2sin(1)42cos()42sin(21xxxx21cos112vu第60頁(yè)/共128頁(yè)第六十一頁(yè)，共129頁(yè)。 熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量(binling)默默記在心，由外及里、逐層求導(dǎo)。記在心，由外及里、逐層求導(dǎo)。 例例8 求求 的導(dǎo)

33、數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)5)23(xy解解： y= (3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)xy2cos解：解： y=(cosx)2=2cosx (cosx) =2cosx (-sinx)x2sin第61頁(yè)/共128頁(yè)第六十二頁(yè)，共129頁(yè)。 例例10 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh) 32sin xy y=sin(x3)2=2sin(x3) sin(x3)=2sin(x3) cos(x3) (x3)=2sin(x3) cos(x3) 3x2=6x2sin(x3) cos(x3) 例例11 求求 的導(dǎo)數(shù)

34、的導(dǎo)數(shù)(do sh)xy4sinlny=lnsin(4x)= sin(4x) x4sin1= cos(4x)(4x) x4sin1x4sin4= cos(4x)x4cot4第62頁(yè)/共128頁(yè)第六十三頁(yè)，共129頁(yè)。 例例12 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)2cotxy 解：解： )2(cot)2(cot21)2cot(21xxxy)2(2sin12cot1212xxx2sin42tan2xx第63頁(yè)/共128頁(yè)第六十四頁(yè)，共129頁(yè)。練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)求下列函數(shù)(hnsh)的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()( 2.)cos(3xy 解：解：)(sin)(c

35、os333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2 3.解：解：第64頁(yè)/共128頁(yè)第六十五頁(yè)，共129頁(yè)。 4. 32ln1xy)ln1 ()ln1 (3121312xxy解 ： )(ln1 )ln1 (312322xx)(lnln20 )ln1 (31322xxxxxxln12)ln1 (31322xxxln)ln1 (32322第65頁(yè)/共128頁(yè)第六十六頁(yè)，共129頁(yè)。 例例13 求下列函數(shù)求下列函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xexy22sin).1 ()2(sin2xex

36、y解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxxx第66頁(yè)/共128頁(yè)第六十七頁(yè)，共129頁(yè)。 例例14 求下列函數(shù)求下列函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)321)45(xxy解：解： y312)1 () 45 (xx)1)(45(312xx) 1()1 (31) 45()1 (1032231xxxx.)1 (1)45(311103223xxxx（1）第67頁(yè)/共128頁(yè)第六十八頁(yè)，共129頁(yè)。42)s

37、in(xxy解 ：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin( 4232xxxx)(sinsin21 )sin(432xxxx)cossin21 ()sin( 432xxxx)2sin1 ()sin(432xxx（2）第68頁(yè)/共128頁(yè)第六十九頁(yè)，共129頁(yè)。l 先化簡(jiǎn)再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)先化簡(jiǎn)再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)(do sh)法則法則求導(dǎo)求導(dǎo) 例例15 求下列求下列(xili)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 112xxy解解 ：先將已知函數(shù)分母：先將已知函數(shù)分母(fnm)有理化，得有理化，得) 1)(1(1222xxxxxxy12xxy) 1(121122xx112xx（1）第69頁(yè)/共128頁(yè)第七十頁(yè)，

38、共129頁(yè)。xxycos1sin2解： 因?yàn)?yn wi)xxycos1sin2xxxcos1cos1cos12 所以(suy)xysin11lnxxy解：因?yàn)?yn wi)11lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）第70頁(yè)/共128頁(yè)第七十一頁(yè)，共129頁(yè)。練習(xí)練習(xí) 求下列求下列(xili)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xeyx3sin.1221.2xxeey)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xx

39、xexe22112xxxeex第71頁(yè)/共128頁(yè)第七十二頁(yè)，共129頁(yè)。xxy2cos12sin. 4xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1) 1(. 32xxy) 1)(1(1) 1(22xxxxy解：12 x) 1() 1(21) 1(2212xxx12 xxxx2) 1)(1(212121) 1(122xxxx11222xxx第72頁(yè)/共128頁(yè)第七十三頁(yè)，共129頁(yè)。chxshx )(shxchx )(xchthx21)( 211)(xarthx 211)(xarshx 11)(2 xarchx第73頁(yè)/共128頁(yè)第七十四頁(yè)，共12

40、9頁(yè)。)11(1122xxxx 211x )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar只證明只證明(zhngmng)其中一個(gè)公式其中一個(gè)公式第74頁(yè)/共128頁(yè)第七十五頁(yè)，共129頁(yè)。例例1616.)arctan(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)shxy 解解)(112 shxxshychxxsh 211xshchx21 第75頁(yè)/共128頁(yè)第七十六頁(yè)，共129頁(yè)。xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1 常數(shù)和基本初等函數(shù)常數(shù)和基本初等函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)公式的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsi

41、n)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 五五 小結(jié)小結(jié)(xioji)第76頁(yè)/共128頁(yè)第七十七頁(yè)，共129頁(yè)。2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的和、差、積、商的求導(dǎo)法的和、差、積、商的求導(dǎo)法則則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 第77頁(yè)/共128頁(yè)第七十八頁(yè)，共129頁(yè)。3 復(fù)合復(fù)合(fh)

42、函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則利用上述公式及法則(fz)初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決解決.第78頁(yè)/共128頁(yè)第七十九頁(yè)，共129頁(yè)。(1)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵，在于首先把復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù)或、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵，在于首先把復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的和、差、積、商，然后運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的和、差、積、商，然后運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和適當(dāng)適當(dāng)(shdng)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。求導(dǎo)之后應(yīng)該把引進(jìn)的中間變

43、的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。求導(dǎo)之后應(yīng)該把引進(jìn)的中間變量代換成原來(lái)的自變量。量代換成原來(lái)的自變量。(2)、 熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，可不寫(xiě)出中間熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，可不寫(xiě)出中間(zhngjin)變量，直接由外及里、逐層處理復(fù)合關(guān)系進(jìn)行求變量，直接由外及里、逐層處理復(fù)合關(guān)系進(jìn)行求導(dǎo)。導(dǎo)。 (3)、有些、有些(yuxi)函數(shù)可先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)函數(shù)可先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)。 u 作業(yè)作業(yè) p102 2：(1) (12) 3: (1) (26)第79頁(yè)/共128頁(yè)第八十頁(yè)，共129頁(yè)。六六 思考思考(sko)判判斷題斷題1 冪函數(shù)在其定義域內(nèi)一定冪函數(shù)在其定義域內(nèi)一定(ydng)可導(dǎo)?？蓪?dǎo)。 2 任何初等函數(shù)的

44、導(dǎo)數(shù)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)都可以按常數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出出.3 3 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).第80頁(yè)/共128頁(yè)第八十一頁(yè)，共129頁(yè)。.)()()()(4000點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)在在則則點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在點(diǎn)可導(dǎo)，點(diǎn)可導(dǎo)，在在、若、若xxgxfxxgxxf .)()()()(5000點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在則則點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在點(diǎn)可導(dǎo)，點(diǎn)可導(dǎo)，在在、若、若xxgxfxxgxxf.)()()()(6000點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在則則點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在、若

45、、若xxgxfxxgxxf 第81頁(yè)/共128頁(yè)第八十二頁(yè)，共129頁(yè)。3 參變量函數(shù)參變量函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)第82頁(yè)/共128頁(yè)第八十三頁(yè)，共129頁(yè)。.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx xy2 消參數(shù)消參數(shù)(cnsh)法法 消參困難或無(wú)法消參困難或無(wú)法(wf)(wf)消參的求導(dǎo)可用復(fù)合函數(shù)消參的求導(dǎo)可用復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法1 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的定義由參數(shù)方程確定的函數(shù)的定義2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)的方法由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)的方法2xy 例如例如 t

46、ttyt tx2114第83頁(yè)/共128頁(yè)第八十四頁(yè)，共129頁(yè)。),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)由復(fù)合函數(shù)(hnsh)及反函數(shù)及反函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則得得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故第84頁(yè)/共128頁(yè)第八十五頁(yè)，共129頁(yè)。,)()( 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)同樣得到函數(shù)同樣得到函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(

47、1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故第85頁(yè)/共128頁(yè)第八十六頁(yè)，共129頁(yè)。例例1 1解解:先求運(yùn)動(dòng)先求運(yùn)動(dòng)(yndng)的方向的方向。的運(yùn)動(dòng)方向和速度大小的運(yùn)動(dòng)方向和速度大小拋射體在時(shí)刻拋射體在時(shí)刻求求設(shè)拋射體的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)拋射體的運(yùn)動(dòng)方程為tgttvytvx ,21,221xyovxvyv0v.,可由切線(xiàn)的斜率來(lái)反映可由切線(xiàn)的斜率來(lái)反映軌道的切線(xiàn)方向軌道的切線(xiàn)方向時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向，即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向，即在在t第86頁(yè)/共128頁(yè)第八十七頁(yè)，共129頁(yè)。)()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度為為1

48、vdtdxvx gtvdtdyvy 2時(shí)時(shí)刻刻拋拋射射體體的的速速度度為為故故在在t22yxvvv 2221)(gtvv ，則則設(shè)設(shè)切切線(xiàn)線(xiàn)的的傾傾角角為為 再求速度再求速度(sd)的大小的大小鉛鉛直直分分速速度度為為第87頁(yè)/共128頁(yè)第八十八頁(yè)，共129頁(yè)。例例2 2解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程處的切線(xiàn)處的切線(xiàn)在在求橢圓求橢圓4sincos ttbytax.22,22,4byaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線(xiàn)所求切線(xiàn)(qixin)方程方程為為)22(22axabby abbxay2 即即第88頁(yè)/共128頁(yè)第八十九頁(yè)，共129頁(yè)。例例3 3 解解

49、.arctan)1ln(2表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 ttytxdtdxdtdydxdy tttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 第89頁(yè)/共128頁(yè)第九十頁(yè)，共129頁(yè)。., ,)()( 變變化化率率稱(chēng)稱(chēng)為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個(gè)個(gè)相相互互依依賴(lài)賴(lài)的的之之間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量都都是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)定定義義：相相關(guān)關(guān)變變化化率率dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率解決相關(guān)變化率解決(jiju)(

50、jiju)的的問(wèn)題問(wèn)題: :已知其中已知其中(qzhng)一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率率第90頁(yè)/共128頁(yè)第九十一頁(yè)，共129頁(yè)。例例4 4解解?,500./140,500率是多少率是多少觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角增加觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角增加米時(shí)米時(shí)當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為上升上升米處離地面鉛直米處離地面鉛直一汽球從離開(kāi)觀(guān)察員一汽球從離開(kāi)觀(guān)察員則則的仰角為的仰角為觀(guān)察員視線(xiàn)觀(guān)察員視線(xiàn)其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5

51、002 米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 米米500米米500第91頁(yè)/共128頁(yè)第九十二頁(yè)，共129頁(yè)。例例5 5解解大大速速率率。厘厘米米時(shí)時(shí)，氣氣體體體體積積的的增增求求在在半半徑徑為為秒秒的的速速度度增增大大，厘厘米米已已知知一一氣氣球球半半徑徑以以 10 /103334rVVr ，則則，體體積積為為設(shè)設(shè)氣氣球球的的半半徑徑為為dtdrrdtdv24 于于是是有有240,10rdtdVscmdtdr 則則已已知知scmdtdVcmr324000104010 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)?shù)?2頁(yè)/共128頁(yè)第九十三頁(yè)，共129頁(yè)。隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: : 直接直接(zhji)(

52、zhji)對(duì)方程兩邊求導(dǎo)對(duì)方程兩邊求導(dǎo); ;對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)(du sh)(du sh)求導(dǎo)法求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)(du sh),(du sh),按按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo); ;參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴(lài)的變化率通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴(lài)的變化率; ; 由其中一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率由其中一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率第93頁(yè)/共128頁(yè)第九十四頁(yè)，共129頁(yè)。思考題思考題1,2,2222 tdxydtttdxdytytx設(shè)設(shè)下面的計(jì)算是否

53、正確下面的計(jì)算是否正確第94頁(yè)/共128頁(yè)第九十五頁(yè)，共129頁(yè)。4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)第95頁(yè)/共128頁(yè)第九十六頁(yè)，共129頁(yè)。變速變速(bin s)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度問(wèn)題直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度問(wèn)題 ),(tss 設(shè)設(shè)dtdststv )()(則速度為則速度為的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度而而加加速速度度tva).( )()()(tststvta 故故 即加速度是位移(wiy)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第96頁(yè)/共128頁(yè)第九十七頁(yè)，共129頁(yè)。.)() )(, )( )( 處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfx

54、fxxfxf 記作記作2222)(),(,dxxfddxydxfy或或 )()( 22dxdydxddxydyy 或或即即類(lèi)似類(lèi)似(li s)地，地，二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)(do sh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)稱(chēng)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)(do sh),記作記作3333)(),(,dxxfddxydxfy或或 第97頁(yè)/共128頁(yè)第九十八頁(yè)，共129頁(yè)。記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)(do sh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)稱(chēng)為四階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為四

55、階導(dǎo)數(shù)(do sh), 二階和二階以上二階和二階以上(yshng)的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).)(;)(稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為零階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為零階導(dǎo)數(shù)xfxf 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)的定義的定義第98頁(yè)/共128頁(yè)第九十九頁(yè)，共129頁(yè)。例例1 1.,arctanyyxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 1 1 直接直接(zhji)(zhji)法法求高階導(dǎo)數(shù)就是求高階導(dǎo)數(shù)就是(jish)多次接連地求導(dǎo)數(shù)多次接連地求導(dǎo)數(shù).例例2 2ybaxy 求求設(shè)設(shè),0, yay第99頁(yè)/共128頁(yè)第一百頁(yè)，共

56、129頁(yè)。例例3 3. 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式求求冪冪函函數(shù)數(shù)的的 n解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 )(Rxy 設(shè)設(shè)第100頁(yè)/共128頁(yè)第一百零一頁(yè)，共129頁(yè)。例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn2 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明(zhngmng)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)第101頁(yè)/共128頁(yè)第一百零二頁(yè)，共

57、129頁(yè)。例例5 5.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得第102頁(yè)/共128頁(yè)第一百零三頁(yè)，共129頁(yè)。3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)的運(yùn)算的運(yùn)算法則法則則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukk

58、nnnvunnvnuvuvu 公式公式(gngsh)（3）稱(chēng)為萊布尼）稱(chēng)為萊布尼茲公式茲公式(gngsh)第103頁(yè)/共128頁(yè)第一百零四頁(yè)，共129頁(yè)。例例6 6.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第104頁(yè)/共128頁(yè)第一百零五頁(yè)，共129頁(yè)。3 3 間接間接(jin (jin ji)ji)法法幾個(gè)幾個(gè)(j )初等函數(shù)的高

59、階導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(gngsh), 通通過(guò)四則過(guò)四則1)(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).第105頁(yè)/共128頁(yè)第一百零六頁(yè)，共129頁(yè)。例例7 7.,11)50(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(!50)1(!

60、50215151)50( xxy第106頁(yè)/共128頁(yè)第一百零七頁(yè)，共129頁(yè)。高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)的定義的定義;高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)的的運(yùn)算法則運(yùn)算法則;n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).第107頁(yè)/共128頁(yè)第一百零八頁(yè)，共129頁(yè)。思考思考(sko)判斷題判斷題322)(,1yydyxdydydx 則則設(shè)設(shè)第108頁(yè)/共128頁(yè)第一百零九頁(yè)，共129頁(yè)。5 微分微分(wi fn)第109頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十頁(yè)，共129頁(yè)。20 xA 0 x0 x, 00 xxx 變到變到如果邊長(zhǎng)由如果邊長(zhǎng)由則正方形面積改變量為則正方形面積改