求向量組的極大無關(guān)組向量組極大無關(guān)組例題學習教案

1、會計學1求向量組的極大求向量組的極大(j d)無關(guān)組向量組極大無關(guān)組向量組極大(j d)無關(guān)組例題無關(guān)組例題第一頁，共20頁。思路(sl)之一: 定義法.(2) 向量組 中含向量個數(shù)最多的線性無關(guān)部分組都是向量組的極大無關(guān)組;12,m (1) 假定 是某向量組中的 r 個向量, 如果 線性無關(guān), 且向量組中任一向量都可由 線性表示, 則 是向量組的一個極大無關(guān)組;12,r 12,r 12,r 12,r 此方法比較(bjio)煩瑣, 較少用求向量組的極大無關(guān)(wgun)組的方法總結(jié)第1頁/共19頁第二頁，共20頁。思路(sl)之二: 初等行變換法.(1) 將向量組中的各向量作為(zuwi)矩陣A

2、的各列;(2) 對A施行初等(chdng)行變換(注意僅限初等(chdng)行變換);(3) 化A為階梯形, 在每一階梯中取一列為代表, 則所得向量組即為原向量組得一個極大無關(guān)組.用初等行變換求極大無關(guān)組是最基本的方法.第2頁/共19頁第三頁，共20頁。思路之三: 利用(lyng)等價性.設 為某向量組的一個極大無關(guān)組, 則任意 r 個線性無關(guān)的部分組均為極大無關(guān)組.12,r 第3頁/共19頁第四頁，共20頁。例1 求下列向量組的一個(y )極大無關(guān)組1(2,1,3, 1), 3(4,2,6, 2), 4(4, 3,1,1). 2(3, 1,2,0), 分析(fnx): 按定義向量個數(shù)最多的線

3、性無關(guān)部分組都是向量組的極大無關(guān)組.第4頁/共19頁第五頁，共20頁。思想(sxing):(i) 通過觀察找出一個(y )無關(guān)組;(ii) 往前面找出的無關(guān)組中增加一個向量(xingling), 若得到新的向量(xingling)組仍然線性無關(guān), 則得到了新的線性無關(guān)組, 否則, 繼續(xù)考慮下一個向量(xingling)(iii) 重復步驟(ii)直到考慮完所有的向量為止, 這樣最后得到的線性無關(guān)組便是原向量組的一個最大無關(guān)組.第5頁/共19頁第六頁，共20頁。解:1(2,1,3, 1)0, 1 線性無關(guān).1)2)因為 的對應分量不成比例, 12, 所以 線性無關(guān). 12, 3)下面考慮向量組1

4、23,. 3112220, 123, 線性相關(guān).4)下面考慮向量組124,. 設存在一組數(shù) 使得124,k k k1122440.kkk 即124(2,1,3, 1)(3, 1,2,0)(4, 3,1,1)(0,0,0,0).kkk 第6頁/共19頁第七頁，共20頁。從而(cng r)124124124142340,30,320,0,kkkkkkkkkkk 解得1231,2,1.kkk 即12420, 也即4122. 所以 是向量組 的一個極大無關(guān)組.12, 1234, 第7頁/共19頁第八頁，共20頁。例2考慮(kol)向量組112,12 52243 210,31 321,01 421,22

5、 求此向量組的一個極大線性無關(guān)組, 并把其余(qy)向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.第8頁/共19頁第九頁，共20頁。解:用這些向量作為(zuwi)矩陣A的列向量，并對矩陣A作初等行變換11222201121302421123A 11222025320224201321第9頁/共19頁第十頁，共20頁。1122201321001100088011222013210011000000可見, 為一個極大無關(guān)組.123, 135,; 124,; 145,. 事實上,均為極大(j d)無關(guān)組.第10頁/共19頁第十一頁，共20頁。進一步有11002010110011000000A10011010110

6、011000000 所以(suy)有4123, 51230. 注: 這里用到初等(chdng)行變換不改變列向量之間的線性關(guān)系.第11頁/共19頁第十二頁，共20頁。分析(fnx): 若能證明向量組 例3 試證: 若 n 維單位向量 可以由 n 維向量 線性表示, 則 線性無關(guān).12,n 12,n 12,n 12,n I:12,n II:等價, 則 又 從而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因此, 線性無關(guān). 12,n 第12頁/共19頁第十三頁，共20頁。證明(zhngmng):由于 n 維單位向量 可以由12,n 故向量(xingling)組n 維向量 線性表示,12,n

7、 又顯然(xinrn)有 n 維向量 可以由 n 維單位向量12,n 12,n 線性表示,12,n I:12,n II:等價, 則 又 從而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因此, 線性無關(guān). 12,n 第13頁/共19頁第十四頁，共20頁。 例4 設 為齊次線性方程組 的基礎解系, 試判別下述向量組是否仍是的基礎解系.123, 0Ax 11232123323(1)3,3,;112321233123(2),2,23.分析: 本題實際上已知 為 的解空間的極大無關(guān)組, 要求證明 是否仍是 的解空間的極大無關(guān)組. 由于已知極大無關(guān)組為三個向量, 所以任意三個線性無關(guān)向量均為極大無

8、關(guān)組, 這只要證明 與 是否等價即可. 注意: 作為基礎解系, 應說明 為解向量. 123,123, 0Ax 0Ax 123, 123,123,第14頁/共19頁第十五頁，共20頁。解:只需證明 線性無關(guān)即可, 123,顯然 均為 的解, 0Ax 123,而這又轉(zhuǎn)化為證明 與 等價.123, 123,(1)由112321233233,3,. 知123123110(,)(,)131 .311 記為A第15頁/共19頁第十六頁，共20頁。又1101310,311A 從而(cng r)()2,R A 因此秩123,2. (注: )()min ( ),( ).R ABR A R B 即 線性相關(guān), 故

9、 不是 的基礎解系.0Ax 123,123,第16頁/共19頁第十七頁，共20頁。(2)由112321233123,2,23. 知123123112(,)(,) 111 .123 記為B又11211110,123B 從而(cng r)()3,R B 所以(suy)矩陣B可逆, 且第17頁/共19頁第十八頁，共20頁。所以 線性無關(guān), 123,1123123112(,)(,) 111.123 故向量組 與 可以相互線性表示,123,123, 即向量組 與 等價.123,123, 從而秩 秩123, 123,3. 故 為 的基礎解系.123,0Ax 第18頁/共19頁第十九頁，共20頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學。思路(sl)之一: 定義法.。求向量組的極大無關(guān)