概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的密函數(shù)第一頁，共38頁。2( )YFy根據(jù)分布函數(shù)的定義P Yy ()P g Xy一.一維隨機(jī)變量(su j bin lin)函數(shù)的密度函數(shù)( )( ).YYfyFy( )P Xx g xy目標(biāo):設(shè)X 為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)(分段嚴(yán)格單調(diào))，求隨機(jī)變量Y=g(X)的密度函數(shù) .( )Yfy基本方法(分布(fnb)函數(shù)求導(dǎo)法),分2個(gè)步驟:(1) 求Y的分布函數(shù)( )YFy(2) 對 求導(dǎo)，( )YFy( )( ).x g xyf

2、 x dx第1頁/共37頁第二頁，共38頁。3( )yg x1. 是嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù).1). 定理3.1. 設(shè) 而 是嚴(yán)格單調(diào)且且處處可導(dǎo)的, 設(shè) 是g的反函數(shù),則 是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為( ),XXfx( )yg x( )xh y()Yg X( ( )|( )|,( )0,XYfaybfyotherwiseh yh y其中min(|( ) |),max(|( ) |).ag xbg x其實(shí)(qsh)就是變限積分求導(dǎo)第2頁/共37頁第三頁，共38頁。4證明(zhngmng)第3頁/共37頁第四頁，共38頁。5推論(tuln). 如果Y=aX+b,則Y 的密度函數(shù)為1| |,y ba

3、Xaf特別的, 對于正態(tài)分布 , 設(shè)2(),XN ,XY我們有 更一般的, 則0().,1YN,ZaXb22,().bZaN a第4頁/共37頁第五頁，共38頁。6解先求分布(fnb)函數(shù) FY (y)。( )YFyP YyP aXby設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 求YaXb的概率密度。2,N 當(dāng) 時(shí)，0a ( )YXybybFyP XFaa所以(suy)， 222()11( )()2y b aaYybfyfeaaa 請同學(xué)自己用分布函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)法證明!第5頁/共37頁第六頁，共38頁。7當(dāng) 時(shí)，0a ( )()YybFyP Xa222()11( )()2y b aaYybfyfeaaa

4、( )1YybybFyP XP Xaa 1()XybFa 所以(suy)， 2,()YN aba第6頁/共37頁第七頁，共38頁。8解 體積 的分布函數(shù)為343YX例 設(shè)球的半徑X的概率密度為 6 (1), (0,1)( )0, xxxf xotherwise試求體積的概率密度。333433( )344YXyyFyPXyP XF所以(suy)體積的概率密度為 2 3331334344Xyyf3333( )44YXyyfyf 嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)343yx第7頁/共37頁第八頁，共38頁。9所以(suy)體積的概率密度為 2 3331334344Xyyf3333( )44YXyyfyf 即 3344

5、1 , 0,( )2330, .Yyfyyotherwise代入f(x).第8頁/共37頁第九頁，共38頁。10練習(xí) 設(shè)圓的半徑X服從區(qū)間(q jin)(1,2)上的均勻分布，求圓面積的分布密度函數(shù)。 答案(d n)：1, 4 ,2( )0, ,Syyfyotherwise第9頁/共37頁第十頁，共38頁。11例題(lt)1,此類問題的基本做法:先確定Y的取值范圍,其密度函數(shù)在此范圍外的取值為零,對此范圍內(nèi)用公式(gngsh)法或者分布函數(shù)求導(dǎo)法,最后寫出函數(shù).以下(yxi)練習(xí):第10頁/共37頁第十一頁，共38頁。12練習(xí)題:第11頁/共37頁第十二頁，共38頁。131( )( ( )(

6、).kYXiiifyfh yhy定理(dngl)3.2 若隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y=g(X)的密度函數(shù)分別為f X (x), fY (y), 當(dāng)g(x)在不相重疊的區(qū)間 I1， I2，,Ik上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)且可導(dǎo)，則其中(qzhng) 為 在Ii上的反函數(shù)( )ixG y( )iyg x2.分段嚴(yán)格單調(diào)(dndio)可導(dǎo)函數(shù)最好不要套用定理,還是由”分布函數(shù)求導(dǎo)法”來求解!第12頁/共37頁第十三頁，共38頁。14例 設(shè)X N（0，1），其概率密度為： 221,2xf xex2XY 11222,00,0yYyeyfyy則概率密度函數(shù)為：此時(shí)稱Y 服從自由度為1的 -分布,記作 2 21Y結(jié)論：若

7、 ,則0,1XN 221 .X第13頁/共37頁第十四頁，共38頁。15解因此對于首先注意到2,yx則0y 0,y 有( )0.Yfy 對20,yyx不是單調(diào)的，但卻是分段單調(diào)的。1:(,0Ix 2yx是單調(diào)下降的，1( )xh yy 2:(0,)Ix2yx是單調(diào)上升的，2( )xhyy22112211()()111222221122()()()()() () ()YXXXXyyyyyfyfhyhyfhyhyfyyfyyeee1).公式(gngsh)法 (自己看)第14頁/共37頁第十五頁，共38頁。162).分布(fnb)函數(shù)求導(dǎo)法:因此(ync)對首先(shuxin)20,YX0,y 當(dāng)

8、時(shí),0y 有( )0.Yfy 222201()( )2,tYyyyyP YyPXyPyXyFft dtedt對其求導(dǎo),22112221,(2)yyYyyfeey2210,()0,0.yyYyyfye所以,第15頁/共37頁第十六頁，共38頁。17,YX若 結(jié)果怎樣?2220,()0,0,.yYyyfye第16頁/共37頁第十七頁，共38頁。18例3.15(3). 設(shè)X的密度函數(shù)29822,()0(),xxotherw sxifesinYX求 的密度函數(shù).解. 因?yàn)?所以只要考慮,11Y .11y 當(dāng) 時(shí),01y 22arcsin829/2( )sinarcsin (),YyFyP YyPXyP

9、Xyxdx求導(dǎo), 得2281291( )(arcsin).Yyfyx第17頁/共37頁第十八頁，共38頁。19當(dāng) 時(shí),01y222arcsin882299/2arcsin( )sinarcsin arcsin()(),YyyFyP YyPXyPXyPYXxdxxdx求導(dǎo), 得222831229116191( )(arcsin)(arcsin ).Yyyfyxx2221619181291,01,( )(arcsin),10,| 1.0,yYyyfyxyy 故第18頁/共37頁第十九頁，共38頁。20解題(ji t)步驟:第19頁/共37頁第二十頁，共38頁。21設(shè)(, )X Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變

10、量,其聯(lián)合分布密度為(, )Zg X Y則 是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量? 其分布(fnb)函數(shù)為 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度(md)函數(shù)為 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy二.多維隨機(jī)變量(su j bin lin)函數(shù)的密度函數(shù)基本步驟(分布函數(shù)求導(dǎo)法)第20頁/共37頁第二十一頁，共38頁。221).如果(X, Y)的聯(lián)合分布密度(md)函數(shù)為f(x,y)，則Z=X+Y的分布密度(md)函數(shù)為 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, ).Zfzf zy y dy

11、或 特別(tbi)地，當(dāng)X, Y 相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或 ( )()( ).ZXYfzfzy fy dy第21頁/共37頁第二十二頁，共38頁。23證明(zhngmng). 設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y), 則Z=X+Y的分布函數(shù)為( , )( ), )z xx yZzFf x y dxdyzP Zdxf x y dyzP XYz( ,)( ,),zzdxf x tx dtf x tx dx dt( )( ,)Zfzf x zx dx所以(suy), 對z求導(dǎo),tyx令對f(x,y)沿著(yn zhe)x+y=z積分對于相互獨(dú)立的X,Y,

12、則( , )( )( ),XYf x yfx fy( )( )()( ).ZXYXYfzfx fzx dxffz第22頁/共37頁第二十三頁，共38頁。24211221212222(,)(,).(,)XNXYNYN 例3.16 如果(rgu)X與Y相互獨(dú)立記住結(jié)論,證明過程(guchng)感興趣自己看.2(,)iiiXN 21112(,).iiiinniniiiiaNaaX 進(jìn)一步,第23頁/共37頁第二十四頁，共38頁。25例3.17如果 在小于0上取0值,則積分都是類似的,卷積的積分限限制到(0, z).,XYff第24頁/共37頁第二十五頁，共38頁。262()0220( )()( ),

13、zxz xZXYzzzx fzx dxdxdfzfeeeezx 當(dāng) 時(shí),0z 解當(dāng) 時(shí),0z ( )0,Zfz 所以2,0,( )0,0.zZezzfzz 練習(xí)題. X,Y相互獨(dú)立,且都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 求Z=X+Y的密度函數(shù). 第25頁/共37頁第二十六頁，共38頁。27第26頁/共37頁第二十七頁，共38頁。28第27頁/共37頁第二十八頁，共38頁。292.22ZYX 例3.18 設(shè)X, Y 相互獨(dú)立, N(0,1), 求Z 的密度(md)函數(shù).例3.14 自由度為1的 分布,例3.18自由度為2的 分布. 如果隨機(jī)變量是n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和, 則其是自由度為n的

14、分布.2 2 2 第28頁/共37頁第二十九頁，共38頁。303./ZYX 若(X, Y)的密度(md)函數(shù)為f(x,y), 則Z的密度(md)函數(shù)為(, )( )|.Zf yz y dyfzy 沿著(yn zhe)yz=x, 對y積分.第29頁/共37頁第三十頁，共38頁。314. 極大值和極小值的分布(fnb)12,.,nXXX設(shè) 相互獨(dú)立, 令(1)12( )12min,.,max,. ,.nnnXXXXXXXX 希望得到 的分布.(1)( ),nXX( )11*1( ),.,( ),nnnnkkkkyXyFyPPyyXXF (1)(1)(1)1111*( )111,.,1(1)1(1(

15、 ),nnknknkkkkFyPyyyXyyP XyFXP XP XP Xy 第30頁/共37頁第三十一頁，共38頁。32若為(ru wi)同分布, 則*( )( )( ),nnFyyF 而*1( )( )( )( ),nnFfynf yy *(1)( )1( ) ,(1nyFFy 而1(1)*( )( )(1.)(nFfynf yy 第31頁/共37頁第三十二頁，共38頁。33兩個(gè)非同分布獨(dú)立(dl)隨機(jī)變量情形:第32頁/共37頁第三十三頁，共38頁。34其它(qt)類型第33頁/共37頁第三十四頁，共38頁。35例 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為(2 )2,0,0,( , )0,xyexyf x yotherwise求隨機(jī)變量 Z=X+2Y 的密度函數(shù).解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy0,0,( )1,0,ZzzzFzezez所求分布(fnb)函數(shù)為 分布(fnb)密度函數(shù)為 0,0,( ),0.Zzzfzzez第34頁/共37頁第三十五頁，共38頁。36練習(xí)題第35頁/共37頁第三十六頁，共38頁。37第36頁/共37頁第三十