線性代數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)及典型例題問題詳解

1、實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章行列式二三階行列式n階 行 列 式 ： 行 列 式 中 所 有 不 同 行 、 不 同 列 的n個(gè) 元 素 的 乘 積 的 和nnnnjjjjjjjjjnijaaaa.) 1(21212121).(（奇偶）排列、逆序數(shù)、對換行列式的性質(zhì)： 行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式tdd） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù) k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分

2、行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式ijm、代數(shù)余子式ijjiijma) 1(定理 ：行列式中某一行的元素與另一行元素對應(yīng)余子式乘積之和為零?？巳R姆法則：非齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式0d時(shí)，有唯一解：)21(njddxjj、齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式01d時(shí)，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則d等于零特殊行列式：轉(zhuǎn)置行列式：332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa對稱行列式 :jiijaa反對稱行列式:jiijaa奇數(shù)階的反對稱行列式值為零三線性行列式:33

3、31222113121100aaaaaaa方法：用221ak把21a化為零，。 。化為三角形行列式上（下）三角形行列式: 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念：nma*（零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n 階方陣、相等矩陣) 矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)合律數(shù)乘nmijkaka*)(-分配、結(jié)合律乘法nmlkjiknlkjlmikbababa*1*)()(*)(*注意什么時(shí)候有意義一般 ab=ba ，不滿足消去律；由ab=0 ，不能得a=0或 b=0 轉(zhuǎn)置aatt)(t

4、ttbaba)(ttkaka)(tttabab)( 反序定理 ) 方冪：2121kkkkaaa2121)(kkkkaa幾種特殊的矩陣：對角矩陣：若ab 都是n 階對角陣，k 是數(shù)，則ka、 a+b、ab都是 n 階對角陣數(shù)量矩陣： 相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若）單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若）對稱矩陣反對稱矩陣階梯型矩陣 ：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方都是 0 分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置注： 把分出來的小塊矩陣看成是元素逆矩陣：設(shè)a 是n 階方陣，若存在n 階矩陣b 的ab=ba=i 則稱a 是可逆的，ba1( 非奇異矩陣、奇異矩陣|a|=0 、伴隨

5、矩陣 ) 初等變換1、交換兩行（列）2. 、非零k 乘某一行（列）3、將某行（列）的k 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的（對換陣倍乘陣倍加陣）等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣oooidrr實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案矩陣的秩r(a) ：滿秩矩陣降秩矩陣若 a可逆，則滿秩若 a是非奇異矩陣，則r（ab ） =r（b）初等變換不改變矩陣的秩求法： 1 定義 2 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表 ；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣 ；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就 相 等 ， 矩 陣 是 一 個(gè) 數(shù) 表 ， 對 應(yīng) 元 素 相 等 才 相

6、等 ； 矩 陣nijnijakka)()(， 行 列 式nijnnijakka逆矩陣注 ：ab=ba=i則 a與 b一定是方陣ba=ab=i則 a與 b一定互逆；不是所有的方陣都存在逆矩陣；若a可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律 ： 1、可逆矩陣a的逆矩陣也是可逆的，且aa11)( 2、可逆矩陣a的數(shù)乘矩陣ka也是可逆的，且111)(akka 3、可逆矩陣a的轉(zhuǎn)置ta也是可逆的，且ttaa)()(11 4、兩個(gè)可逆矩陣a與 b的乘積 ab也是可逆的，且111)(abab但是兩個(gè)可逆矩陣a與 b的和 a+b不一定可逆，即使可逆，但11)(babaa為 n階方陣，若 |a|=0 ，

7、則稱 a為奇異矩陣 ，否則為 非奇異矩陣 。 5、若 a可逆，則11aa伴隨矩陣： a為 n階方陣，伴隨矩陣：22211211*aaaaa（代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣： （對 1 和 2，前提是每個(gè)矩陣都可逆） 1、分塊矩陣cobad則11111cobcaad 2、 準(zhǔn)對角矩陣4321aaaaa， 則141312111aaaaa 3、iaaaaa* 4、1*aaa（ a可逆）實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案 5、1*naa 6、aaaa1*11*（a可逆） 7、*ttaa 8、*abab判斷矩陣是否可逆：充要條件是0a，此時(shí)*11aaa求逆矩陣的方法：定義法iaa1伴隨矩陣法aaa*1初等變換法1|aiia

8、nn只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè)nmijaa*是 m*n 階矩陣，則對a的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以a ：對 a的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n 階初等矩陣右乘以a （行變左乘，列變右乘）第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組：增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(ab)=r(b)=r 當(dāng) r=n 時(shí)，有唯一解；當(dāng)nr時(shí)，有無窮多解 r(ab)r(b) ，無解齊次線性方程組：僅有零解充要r(a)=n有非零解充要r(a)n 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|a|=0 齊次線性方程組若

9、有零解，一定是無窮多個(gè)n維向量：由n 個(gè)實(shí)數(shù)組成的n 元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系: 線性組合或線性表示向量組間的線性相關(guān)（無）：定義179p向量組的秩： 極大無關(guān)組（定義p188）定理 ：如果rjjj,.,21是向量組s,.,21的線性無關(guān)的部分組，則它是極大無關(guān)組的充要條件是：s,.,21中的每一個(gè)向量都可由rjjj,.,21線性表出。實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案秩: 極大無關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理 ：設(shè) a為 m*n 矩陣，則rar)(的充要條件是：a的列（行）秩為r ?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性

10、組合或線性表示注：兩個(gè)向量，若k則是線性組合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注： n 個(gè) n 維單位向量組 一定是線性無關(guān)一個(gè)非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān)含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量可由n,.,21線性表示的充要條件是).().(2121ttntttnttrr判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)nkkk.21，求nkkk.21（適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法183p：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、分量法（ n 個(gè) m維向量組）1

11、80p：線性相關(guān)（充要）nrtntt).(21線性無關(guān)（充要）nrtntt).(21推論當(dāng) m=n時(shí)，相關(guān)，則0321ttt；無關(guān)，則0321ttt當(dāng) m向量維數(shù)時(shí) , 向量組必線性相關(guān)；5) 部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部分必?zé)o關(guān)）. 6) 若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；7) 向量組線性無關(guān)向量組的秩所含向量的個(gè)數(shù)，向量組線性相關(guān)向量組的秩 所含向量的個(gè)數(shù); 8) 向量組12,n線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組11220nnxxx有（沒有）非零解. 例 7. 設(shè)n維向量組12,(2)mm線性無關(guān) , 則實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案a.組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)b.

12、組中增加任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)c.存在不全為零的數(shù)12,mk kk, 使10miiikd.組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出解析因?yàn)槿粝蛄拷M線性相關(guān)，則增加任何一個(gè)向量后仍線性相關(guān)，其等價(jià)的定理是向量組相性無關(guān)，則組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)答案 a 例 8 設(shè)向量111122221111122222(,),(,),(,),(,)a b cab ca b c da bcd，下列命題中正確的是（）a若12,線性相關(guān)，則必有12,線性相關(guān)b若12,線性無關(guān)，則必有12,線性無關(guān)c若12,線性相關(guān)，則必有12,線性無關(guān)d若12,線性無關(guān)，則必有12,線性相關(guān)答案 b 例 9. 設(shè)向量組1

13、23,線性無關(guān) , 而向量組234,線性相關(guān) . 證明 : 向量4必可表為123,的線性組合. 測試點(diǎn)關(guān)于線性相關(guān)性的幾個(gè)定理證 1 因?yàn)?34,線性相關(guān)，故1234,線性相關(guān)，又因?yàn)?23,線性無關(guān) , 所以4必可表為123,的線性組合 . 證畢 . 證 2 因?yàn)?23,線性無關(guān) ,故23,必線性無關(guān) ,又因?yàn)?34,線性相關(guān)故4必能由23,線性表示 ,當(dāng)然可表為123,的線性組合 . 證畢 . 三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1極大無關(guān)組的定義：設(shè)12,r是向量組t的一個(gè)部分組. 如果（ 1）12,r線性無關(guān)； （ 2）任給t，都有12,r線性相關(guān)，則稱12,r是向量組t的一個(gè)極大無關(guān)組

14、. 2向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組, 并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法例 10101316a的行向量組的秩 _. 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案測試點(diǎn)矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系; 答案2例 11 設(shè)1234,是一個(gè) 4 維向量組，若已知4可以表為123,的線性組合，且表示法惟一，則向量組1234,的秩為（）a 1 b2 c 3 d4 測試點(diǎn)（1）向量組的秩的概念；（ 2）向量由向量組線性表示的概念（3）向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念解因?yàn)?可以表為123,的線性組合，且表示法惟一，必有123,線性無關(guān) , 因?yàn)樵O(shè)1122330，由4可以表為123,的線性組合，即411

15、2233kkk故441122331122330kkk111222333()()()kkk由表示法惟一，有111222333,kk kkkk于是有1230，故123,線性無關(guān)，又4可以表為123,的線性組合，所以123,為向量組1234,的一個(gè)極大無關(guān)組，故向量組1234,的秩為 3. 答案 c 例 12 設(shè)向量組1234(1, 1,2,1) ,(2,2,4, 2) ,(3,0,6,1) ,(0,3,0, 4)tttt（1）求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合. 測試點(diǎn)求向量組的極大無關(guān)組, 并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法解(2)(1)(3

16、)( 2)(1)(4)( 1)(1)123412301230120300332460000012140444a(1) ( 3)(3)(1) ( 2)(2)(2)( 1)(3)123012030111010200110011000000001001010200110000實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案所以原向量組的秩為3，123,為所求的極大無關(guān)組.41232四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo)1. n維向量空間的定義：n維實(shí)向量的全體構(gòu)成的集合稱為n維向量空間，記為nr. 2.子空間的定義：設(shè)v是nr的一個(gè)非空子集，且滿足對加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算封閉，則稱v是nr的一個(gè)子空間 , 簡稱為向量空間v.

17、 3. 生成子空間的定義：設(shè)12,nmr則由它們的所有線性組合構(gòu)成nr的一個(gè)子空間，稱它為由12,m生成的子空間. 例 13 設(shè)1123123(,0),vxx xxxxxr2123123(,1),vxx xxx xxr31212(,)0nnvxx xxxxx，說明哪個(gè)是子空間，那個(gè)不是. 解析在1v中，任取1231231(,0),(,0),xxxyyyv k為任意數(shù)，都有1122331(,0),xyxyxyv1231(,0)kkx kxkxv所以1v是子空間 . 類似地，可以證明31212(,)0nnvxx xxxxx也是子空間 . 但對2123123(,1),vxx xxx xxr，取(1,

18、0,0,1),(0,1,0,1)都屬于2,v而2(1,1,0,2).v這表明2v對加法運(yùn)算不封閉，故2v不是子空間 . 4.向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間v的一個(gè)向量組12,r線性無關(guān)，且v中每個(gè)向量都能由它線性表示，則稱它為向量空間的一個(gè)基 . 零空間0沒有基，定義它為0 維，否則，稱向量空間的基所含向量個(gè)數(shù)r為該空間的維數(shù). 設(shè)1122rrxxx稱12(,)rxxx為在這組基下的坐標(biāo). 例 14 向量空間1212(,0),vxx xxx為實(shí)數(shù) 的維數(shù)為 _. 測試點(diǎn)向量空間維數(shù)的概念解 容易看出(1,0,0),(0,1,0)是v的一個(gè)基。答案2例 15 證明向量組123(1,1,1),(

19、1,2,0),(3,0,0)是3r的一組基， 則向量(8,7,3)在這組基下的坐標(biāo)是 _. 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案測試點(diǎn)向量在一組基下的坐標(biāo)解因?yàn)?2311331112002160100001ttt故123,線性無關(guān)，所以它是3r的一組基 . 考慮112233ttttxxx該線性方程組的增廣矩陣為123113811381207013110030135tttta113811380131013100660011得1233,2,1.xxx所以(8,7,3)在這組基下的坐標(biāo)是(3,2,1)（即12332）答案(3,2,1). 例 16 求由向量組123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)生成的子空

20、間的一個(gè)基，并說明該生成子空間的維數(shù) . 解析顯然12(1,1,1),(1,2,0)是123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)的一個(gè)極大無關(guān)組，故是由向量組123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)生成的子空間的一個(gè)基，所以該子空間的維數(shù)等于2.第四章線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1.11 11221121 1212221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb2.axb，其中1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxabxaaabx. 31122nnxxxb實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案其中12(1,2

21、, )jjjmjaajna二、齊次線性方程組1齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組0ax有非零解的充分必要條件是()r a未知數(shù)的個(gè)數(shù)（即矩陣a的列數(shù)） . 2）n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組0ax有非零解的充分必要條件是0a. 3) 設(shè)a是mn階矩陣 . 若mn，則齊次方程組0ax必有非零解 .( 這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要 ) 例 1設(shè)a為mn矩陣，齊次線性方程組0ax有非零解的充分必要條件是（）aa的列向量組線性相關(guān)ba的列向量組線性無關(guān)ca的行向量組線性相關(guān)da的行向量組線性無關(guān)測試點(diǎn)齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系. 答案 a 例 2.設(shè)a是 43 矩陣，若

22、齊次線性方程組0ax只有零解，則矩陣a的秩()r a _. 測試點(diǎn) 1.齊次方程組只有零解的充分必要條件;2 根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù), 確定方程的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù). 解析線性方程組axb的系數(shù)矩陣a的行數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)因?yàn)閍是 43 矩陣，故方程組0ax的未知數(shù)的個(gè)數(shù)3n，故方程組0ax只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣a的秩3.n答案()3r a例 3. 齊次線性方程組1231231230020 xxxxxxxxx有非零解 ,則 . 解析1231231230020 xxxxxxxxx有非零解11110211而(2)(1)(3)( 1)(1)111111110(1)(4)2112

23、20故因?yàn)?231231230020 xxxxxxxxx有非零解，則1或4.答案1或4.實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案2. 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組解的性質(zhì)設(shè),都是0ax的解，則12cc也是0ax的解 (c1，c2為任意常數(shù) ) 2）齊次方程組0ax的基礎(chǔ)解系的概念設(shè)12,s是齊次方程組0ax的一組解 . 如果它滿足：（ 1）12,s線性無關(guān)； （2）0ax的任何一個(gè)解都可以表示為12,s的線性組合，則稱12,s為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系. 如果齊次方程組有非零解（即()r an） ，則它有基礎(chǔ)解系. 重要結(jié)論 : 齊次方程組0ax的基礎(chǔ)解系含()nr a個(gè)線性無關(guān)的解；齊次方程組0ax的任意()nr

24、 a個(gè)線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；3）齊次方程組0ax的基礎(chǔ)解系的求法例 4 3 元齊次方程組1223 =00 xxxx的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為 . 測試點(diǎn)齊次方程組的基礎(chǔ)解系 ( 定義 ; 含幾個(gè)解向量; 求法 ) 解因?yàn)辇R次方程組的系數(shù)矩陣為110011的秩為2, 未知數(shù)的個(gè)數(shù)為3, 所以其基礎(chǔ)解系含321個(gè)解 . 答案1例 5 已知1234,是齊次方程組0ax的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選用a. 12233441,b.12233441,c.與1234,等秩的向量組1234,d. 與1234,等價(jià)的向量組1234,測試點(diǎn) 1.齊次方程組的基礎(chǔ)解系特別是若齊

25、次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系含4 個(gè)解 , 則它的任意4 個(gè)線性無關(guān)的解都是它的基礎(chǔ)解系;2. 判斷向量組線性無關(guān)的方法;3. 等價(jià)的向量組有相等的秩; 等價(jià)與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質(zhì). 解因?yàn)?234,是齊次方程組0ax的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 故1234,都是齊次方程組0ax的解 ,因?yàn)?234,與1234,等價(jià) , 故1234,能由1234,線性表示, 故1234,也都是0ax的解 . 又因?yàn)?234,線性無關(guān) , 所以該向量組的秩=4, 又因?yàn)榈葍r(jià)的向量組有相等的秩, 所以1234,的秩也等于4, 所以1234,也線性無關(guān) .故1234,也是0ax的基礎(chǔ)解系 . 所以 d實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案正確

26、 . 答案 d例 6. 設(shè)mn矩陣a的秩()3(3)r ann，,是齊次線性方程組0ax的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組0ax的基礎(chǔ)解系為（）a,b,c,d,知識(shí)點(diǎn)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及所含解向量的個(gè)數(shù); 向量組線性相關(guān)性的判別解顯然 a,b,c 選項(xiàng)中的三個(gè)向量都是線性相關(guān)的, 而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)由線性無關(guān)的向量組組成. 答案d 3 ） 齊 次 方 程 組0ax的 通 解 公 式如 果12,n r是0ax基 礎(chǔ) 解 系 ， 則 它 的 通 解 為1 122n rn rxccc，其中12,n rc cc為任意數(shù) . 例 6 求齊次線性方程組125123345000 xxxxxxx

27、xx的基礎(chǔ)解系及通解. 測試點(diǎn)求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法解110011100111001111000010100101001110011100010a取134,x xx為約束未知數(shù) ,25,xx 為自由未知數(shù) , 取121110,010001為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系, 該齊次方程組的通解為12121110(,010001xkkk k為任意數(shù) ) 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案三非齊次方程組1非齊次方程組解的性質(zhì)1）設(shè)12,都是axb的解，則12是它的導(dǎo)出組0ax的解 . 2）設(shè)12,都是axb的解，則當(dāng)121kk時(shí)，1122kk也是axb的解 . 3）設(shè)是axb的一個(gè)解，是它的導(dǎo)出組0ax的解 ,

28、則是axb的解 . 例 7 已知12(1,0, 1) ,(3,4,5)ttxx是 3 元非齊次線性方程組axb的兩個(gè)解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組0ax有一個(gè)非零解向量_. 測試點(diǎn)線性非齊次方程組解的性質(zhì)解21(2,4,6)txx答案(2, 4,6)t例 8 設(shè)齊次線性方程0ax有解，而非齊次線性方程且axb有解, 則是方程組 _的解。測試點(diǎn)線性方程組解的性質(zhì)答案axb2關(guān)于非齊次方程組解的討論定理n個(gè)未知數(shù)，m個(gè)方程的線性方程組axb中， （系數(shù)矩陣a是mn階矩陣）aab是增廣矩陣 .則1）當(dāng)且僅當(dāng)r ar an()()（未知數(shù)的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組axb有惟一解；2）當(dāng)且僅當(dāng)()()r ar a

29、n（未知數(shù)的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組axb有無窮多解；3）當(dāng)且僅當(dāng)()()r ar a時(shí)，方程組axb無解 . 從以上定理可見1）線性方程組axb有解的充分必要條件是()()r ar a. 2）當(dāng)線性方程組axb，方程的個(gè)數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式0a. 例 9已知某個(gè) 3元非齊次線性方程組axb的增廣矩陣a經(jīng)初等行變換化為：1)1(0021201321aaaa，若方程組無解，則a的取值為 _. 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案測試點(diǎn) 1.增廣矩陣a經(jīng)初等行變換變成b, 則以b為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解; 2. 非齊次方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩解

30、當(dāng)0a時(shí),()2, ()3r ar a, 故方程組無解. 答案0a. 例10 如 果 非 齊 次 線 性 方 程 組axb有 解 , 則 它 有 惟 一 解 的 充 分 必 要 條 件 是 其 導(dǎo) 出 組0ax . 解非齊次線性方程組axb有惟一解的充分必要條件是()()r ar a未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而它恰是其導(dǎo)出組0ax只有零解 , 沒有非零解的充要條件. 答案只有零解 . 3. 非齊次方程組axb的通解的結(jié)構(gòu)1122n rnrxccc其中是方程axb的一個(gè)特解，()rr a為系數(shù)矩陣的秩，12,n r為它的導(dǎo)出組（與它對應(yīng)的）齊次方程組0ax的基礎(chǔ)解系 . 例 10設(shè) 3元非齊次線性方程組ax

31、b的兩個(gè)解為(1,0,2) ,(1, 1,3)tt， 且系數(shù)矩陣a的秩()2r a，則對于任意常數(shù)12,k k k方程組的通解可表為（）12a. (1,0,2)(1, 1,3) b. (1,0, 2)(1, 1,3)ttttkkkc. (1,0, 2)(0,1, 1) d. (1,0, 2)(2,1,5)ttttkk測試點(diǎn)1. 非齊次線性方程組的通解的公式; 2. 非齊次方程組解的性質(zhì)3. 齊次方程組的基礎(chǔ)解系的概念解因?yàn)?1,0,2) ,(1, 1,3)tt都是非齊次方程組axb的解，故(0,1, 1)t是它的導(dǎo)出組0ax的解，又因?yàn)?ax為 3 元方程組，()2r a，故它的基礎(chǔ)解系含一個(gè)

32、解，即它的任何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系，故(0,1, 1)t就是它的基礎(chǔ)解系，又(1,0,2)t是非齊次方程組axb的解，所以 (1,0,2)(0,1, 1)ttk為axb的通解 . 答案 c 例 11 設(shè) 3 元非齊次線性方程組12123231232 =34710234xxxxxxxbxxax實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案(1) 試判定當(dāng),a b為何值時(shí) , 方程組有無窮多個(gè)解? (2) 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí), 求出其通解 ( 要求用它的一個(gè)特解和它導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示). 測試點(diǎn)線性方程組的討論解(2)( 4)(1)(4)( 2)(1)120312031203471100112011201101100

33、022340120010abbbaaa1203011200100002ab所以當(dāng)2,b即20b時(shí), 方程組無解 ; 當(dāng)2,1,ba即20,10ba時(shí)方程組有惟一解; 當(dāng)2,1ba即20,10ba時(shí), 方程組有無窮多解. 這時(shí)取12,x x為約束未知數(shù) ,3x為自由未知數(shù) , 取12,0為方程組的特解, 211為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系. 故方程組的通解為122101xcc. 例 12 設(shè)向量(2,1, )b可以由向量組12(1,1,1),(2,3,)a線性表示 , 則數(shù),a b應(yīng)滿足的條件是a.4ab b.0ab c.4ab d.0ab解析考察方程1122tttxx, 其增廣矩陣為121221221

34、310111022tttabab1221220110110022004baab故方程組有解時(shí), 必有4ab答案 c 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案第五章特征值與特征向量一、特征值與特征向量1特征值與特征向量的定義要點(diǎn)：是n階方陣a的特征值，是指存在非零列向量，使得a. 這時(shí)，稱為矩陣a屬于特征值的特征向量 .由此知，是n階方陣a的特征值0ea，這時(shí)，齊次方程組()0ea x的非零解都是矩陣a屬于特征值的特征向量 . 例 1 設(shè)a為 3 階矩陣 ,e為 3 階單位陣 , 若行列式230ea, 則a的一個(gè)特征值為【】a.32 b.23 c. 23 d. 32測試點(diǎn)為a的特征值的充分必要條件是0ea. 解因?yàn)?3

35、0ea, 故20,3ea所以a必有一個(gè)特征值為23. 答案 b 例 2 已知矩陣10101010ax的一個(gè)特征值為0，則x _. 測試點(diǎn)為a的特征值的充分必要條件是0ea. 解0為矩陣10101010ax的一個(gè)特征值1011101010110axxx故1x. 答案1例 3 設(shè) 3 階矩陣a的每行元素之和均為2, 則a必有一個(gè)特征值為 . 測試點(diǎn) 1. 特征值的定義 2.111213111213212223212223313233313233111aaaaaaaaaaaaaaaaaa解因?yàn)?3階矩陣a的每行元素之和均為2, 111213111213212223212223313233313233

36、121122 12 .121aaaaaaaxaaaaaaxaaaaaa所以a必有一個(gè)特征值為2. 答案2實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案例 4 設(shè)矩陣1111021100310003a，則a的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（）a1b2c3d4解a的特征值為12341,2,3，當(dāng)343時(shí)，3111121110321101113003310001000330000ea所以(3)3rea，故(3)0ea x的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解，這表明a只有一個(gè)屬于特征值3的線性無關(guān)的特征向量，故a的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是3. 答案 c 2關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1）ta與a有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)12,都

37、是矩陣a屬于特征值的特征向量，12,k k是數(shù)，只要11220kk，則1122kk也是矩陣a屬于特征值的特征向量；3) 設(shè)n階方陣a的n個(gè)特征值為12,n, 則121122(1);nnntraaaa(2)12na. 4）矩陣a屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān); 5）設(shè)是矩陣a屬于特征值的特征向量，則是矩陣()fa屬于特征值( )f的特征向量，其中101( )kkkf xa xa xa. 6) 設(shè)是可逆矩陣a的特征值 . 則0，且1是矩陣1a的特征值 . 3特征值、特征向量的求法例 5 設(shè)n階矩陣a有一個(gè)特征值為2, 對于n階單位矩陣e, 矩陣2ae必有一個(gè)特征值為 . 解()2f aae, 則

38、( )2f xx, 因 為a有 一 個(gè) 特 征 值 為2, 故2ae必 有 一 個(gè) 特 征 值 為(2 )224f例 6 設(shè)a為n階可逆矩陣，已知a有一個(gè)特征值為2，則1(2)a必有一個(gè)特征值為_. 測試點(diǎn)若為可逆矩陣a的一個(gè)特征值，則1為矩陣1a的特征值 . 解因?yàn)閍有一個(gè)特征值為2，故2a有一個(gè)特征值為4, 所以1(2)a必有一個(gè)特征值為14. 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案答案14. 例 7 已知a是n階矩陣，且滿足方程22aao, 證明a的特征值只能是0或2. 測試點(diǎn)設(shè)為a的特征值，110( )mmmmf aa aaaa e，則()f為矩陣()f a的特征值 .o矩陣的所有特征值均為0. 證設(shè)為a的

39、特征值，則22必為22aa的特征值，又因?yàn)?2aao，故220，故必有0或2. 證畢二、相似矩陣1. 相似矩陣的定義設(shè),a b都是n階方陣，如果存在可逆陣,p使得1bpap，則稱a與b相似 .2. 相似矩陣的性質(zhì)1) 反身性，對稱性，傳遞性；2） 若方陣a與b相似，則a與b有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進(jìn)而12,nab，且12ntratrb, 其中tra表示矩陣a的跡，即1122nntraaaa,12,n為方陣a的 n 個(gè)特征值；注意：反之，若a與b有相同的特征值，a與b不一定相似；例如1011,0101ab有相同的特征值，但a與b不相似 . 例 8 設(shè) 3 階矩陣a與b相似 ,

40、 且已知a的特征值為0,1,2,則矩陣b的跡( )tr b【】a. 3 b. 2 c.1 d.0 測試點(diǎn)1. 相似矩陣的特征值相同; 從而其跡和行列式也相同；2. 矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系. 解由已知b的特征值也為0,1,2,故b的跡()0123tr b答案 a 例 9 設(shè) 3 階矩陣a與b相似，且已知a的特征值為2,2,3. 則1b=（）a121b71c7 d 12 測試點(diǎn)(1) 相似矩陣的特征值相同; 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案(2) 設(shè)為矩陣a的一個(gè)特征值, 則()f為矩陣( )fa的特征值 ;1為矩陣1a的特征值 . (3) 矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系. 解因?yàn)?3階矩

41、陣a與b相似 , 所以b與a有相同的特征值, 所以b的特征值為2,2,3, 故1b的特征值為1 1 1,.2 2 3從而11 1 11.2 2 312b答案 a 例 10 若 2階矩陣a相似于矩陣2023b，e為 2 階單位矩陣，則與矩陣ea相似的矩陣是 （）a1014 b1014c1024d1024測試點(diǎn)相似矩陣的概念；相似矩陣的性質(zhì)（若a與b相似，則()f a與()f b相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解 1 102010012324eb，故eb的特征值為121,4. 因?yàn)閍與b相似，故ea與eb相似，所以，凡與矩陣ea相似的矩陣的特征值都是1,4，故在 a,b,c,d

42、 四個(gè)選項(xiàng)中，正確的只能是c. 解 2 因?yàn)槎A方陣ea有兩個(gè)不同的特征值，故ea與對角陣1004相似，同理1024也與對角陣1004相似，故ea與1024相似 . 答案 c 3. 方陣a的對角化問題1)n 階方陣a能與對角陣相似的充分必要條件是a有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；設(shè)12,n是方陣a的n 個(gè)特征值，12,nppp依次是方陣a的屬于特征值12,n的n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 若令12npppp，則實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案121000000np ap. 2）若方陣a有 n 個(gè)不同的特征值（即特征方程無重根），則a必能與對角陣相似. （這是a能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）例 11 n階

43、矩陣a與對角陣相似的充分必要條件是（）a 矩陣a有n個(gè)特征值 b 矩陣a有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量c 0a d 矩陣a的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根答案 b 例12判斷1101a能否與對角陣相似. 解析1 11010101 10000ea故()0ea x的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解，即1101a只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故1101a不能與對角陣相似. 例 13a為三階矩陣，0, 1,1為它的三個(gè)特征值, 其對應(yīng)的特征向量為123,ppp。設(shè)123pppp，則下列等式錯(cuò)誤的是（）a.1000010001pap b.1000010001appc.1000010001pap d.10a解析因?yàn)?23,ppp依次是矩陣

44、a屬于特征值0, 1,1的特征向量，故1000010001pap, 所以1000010.001pap答案 c 例 14 設(shè)矩陣4100130600a，求可逆矩陣p及對角矩陣d，使得1p apd. 解(1) 求a的特征值和線性無關(guān)的特征向量實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案24100130(2)(2)(1)60ea. 所以a的特征值為1230,2,1. (2) 當(dāng)10時(shí)4100100100100130250050010600130030000ea取12,x x為約束未知數(shù), 取3x為自由未知數(shù), 得1001p為齊次方程組(0)0ea x的基礎(chǔ)解系 . 故為a屬于特征值10的特征向量 . 當(dāng)22時(shí)210015015

45、015000001516020151000ea取12,x x為約束未知數(shù) , 取3x為自由未知數(shù), 得25115p當(dāng)31時(shí)51001201201201200121601601000ea取12,x x為約束未知數(shù) , 取3x為自由未知數(shù), 得32112p取123052000011 ,02011512001ppppd, 則有1.papd. 驗(yàn)算只要檢查410005201021300110216001151203012ap實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案05200001020110200211151200103012pd所以appd，從而1p apd例15設(shè)3階 矩 陣a的 特 征 值 為 :1231,2,且 已

46、知a屬 于 特 征 值11的 特 征 向 量 為1( 0 ,1,1);ta屬于特征值232的特征向量為23(1,0,0),(0,1,1)tt. 求矩陣a. 測試點(diǎn)關(guān)于n階方陣a與對角陣相似的公式: 設(shè)123,為三階方陣a的三個(gè)特征值,123,依次為a屬于特征值123,的線性無關(guān)的特征向量, 則令123p有1123000000pap故1123000000app解 令123010100101 ,020 .101002p為求a, 需先求1p. 010100101010101010010100101001101001pe11100010101010101022010100010100010100002

47、0111111001000102222所以11102210011022p實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案故1111120000010100020222231101020100102100022101002111021113000222222app例 16 已知2 階矩陣a的特征值為1與2，對應(yīng)的特征向量分別為12(1,0) ,( 1,1) .tt求： （1）a；（2）5a知識(shí)點(diǎn)利用矩陣與對角陣形似將計(jì)算5a轉(zhuǎn)化為計(jì)算551515220000解因 為2 階 矩 陣a的 特 征 值 為1與2， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 分 別 為12(1,0) ,( 1,1) .tt取121101p，則11002pap, 所以

48、110111011130201020102app. 551 511111010101010()0202020202apppppppppp1110111330103201032例 17 設(shè)矩陣1250,4321ab，存在12(1,2) ,( 1,1)tt，使得115a22a；存在12(3,1) ,(0,1) ,tt使得11225,bb. 試求可逆矩陣p，使得1p apb. 測試點(diǎn)方陣的特征值和特征向量的定義；方陣能與對角陣相似的充分必要條件及其相應(yīng)的等式解因?yàn)?15a，22a，令1121121q有1115001qaq同理，取2123011q，有1225001qbq，故1112221125001b

49、qqq qaqq故取1121110231121131333pq q，則1p apb. 三. 向量的內(nèi)積和正交矩陣實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案1. 向量內(nèi)積的定義:設(shè)11221 122,(,)tnnnnababa ba ba bab2向量的長度22212( ,)naaa3單位化向量04正交向量組的定義及其性質(zhì)定義如果一個(gè)向量組不含零向量，且其中任意兩個(gè)向量都正交（簡稱兩兩正交） ，則稱該向量組為正交向量組. 主要性質(zhì)正交向量組必線性無關(guān)5 施密特正交化手續(xù)例 18 已知 3 維向量(1, 3,2) ,( 1,2,0) ,tt則內(nèi)積(,)_. 測試點(diǎn)內(nèi)積的定義解1(,)(1, 3,2)270答案7例 19 求

50、一個(gè)單位向量,使得與12111 ,213都正交 . 解設(shè)123xxx與12,都正交 , 則1231230230 xxxxxx可取121, 單位化得162616即為所求 . 例 20 利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組: 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案11100，21010. 測試點(diǎn)施密特正交化手續(xù)解 取2111222112111111121011(,)1,2010(,)210000k則121212116211,6220600為所求的單位正交向量組. 驗(yàn)算6. 正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果n階方陣a滿足taae，則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)方陣a為正交陣，則1;aa必可逆，且1

51、taa；如果,a b都是n階正交陣， 則ab也是正交陣；a是正交陣的充分必要條件是a的列（行）向量組構(gòu)成nr的標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 四實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形1實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)；2實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3實(shí)對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣p，使得1p ap為對角形 . 4任給實(shí)對稱陣a，如何求出正交陣p，使得1p ap為對角形 . 例 21 設(shè) 3 階實(shí)對稱矩陣a的特征值為1230,2，則秩()a=（）a0b1c2d3測試點(diǎn)1. 相似矩陣與等價(jià)矩陣的概念; 實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案2. 等價(jià)矩陣有相等的秩; 3. 階梯形矩陣的秩解因?yàn)?3 階實(shí)對稱矩陣a的特征值為1230,2, 故矩陣a必與對角陣200000000相似 , 所以a必與對角陣200000000等價(jià) , 所以秩()1a. 答案 b 例 22 設(shè)矩陣1221a，求正交矩陣p，使1p ap為對角矩陣 . 解(1) 2212(1)2(1)(3)21ea所以a的所有特征值為121,3. (2) 當(dāng)11時(shí),22112200eaea取1x為約束未知數(shù),2x為自由未知數(shù),111p為齊次方程組()0ea x的基礎(chǔ)解系. 故111p為a屬于特征值11的特征向量 .