初一數(shù)學(xué)絕對值難題解析修訂版

1、集團(tuán)標(biāo)準(zhǔn)化小組：VVOPPTJOPP28JPPTL98-LoPPNN初一數(shù)學(xué)絕對值難題解析絕對值是初一數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識點(diǎn)，它的概念本身不難，但卻經(jīng)常拿來出一 些難題，考驗(yàn)的是學(xué)生對基本概念的理解程度和基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力。 絕對值有兩個(gè)意義：（1）代數(shù)意義：非負(fù)數(shù)（包括零）的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相 反數(shù)。即 a=a （當(dāng) d$0）, a =-a （當(dāng) a<0）（2）兒何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值等于數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。靈活應(yīng)用絕對值的基本性質(zhì)：(1) a0;(2) ab = a b;(3)I a/b = a b (b0)(4)a, I b I a÷b I

2、a + bi；(5)a bW a-b j I a I ÷b ； 思考:Ia+b = a + b,在什么條件下成立？ab I = a b j,在什么條件下成立？常用解題方法：（1）化簡絕對值：分類討論思想（即取絕對值的數(shù)為非負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況）（2）運(yùn)用絕對值的兒何意義：數(shù)形結(jié)合思想，如絕對值最值問題等。（3）零點(diǎn)分段法：求零點(diǎn)、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合。例題解析: 第一類：考察對絕對值代數(shù)意義的理解和分類討論思想的運(yùn)用K在數(shù)軸上表示 b兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)如圖所示，并且己知表示C的點(diǎn)在原點(diǎn)左 側(cè)，請化簡下列式子:尹 0屮如(1) |ab |cb解：Va<0, b>0 a-b<0

3、c<0, b>0 c-b<O故，原式=(b-a) (bc) =C-a(2) |ac a÷c解：Va<0, c<0 Aa-C 要分類討論，a+c<0'p aC土0 時(shí)，ac,原式=(aC) + (a+c) =2a 當(dāng) aCVo 時(shí),ac,原式=(C a) + (a+c) =2c2、設(shè)XV-1,化簡 2|2|x2。解：Vx<-1 -2<0原式=212 (2X) I =2x=2+x3、設(shè) 3V&V4,化簡|a3 + a-6| »解：V3<a<4 a-3>0, a-6<0原式=(a-3) (a6

4、) =34、已知a-b=a÷b,則以下說法：(l)a 定不是負(fù)數(shù)；(2)b可能是負(fù) 數(shù)；哪個(gè)是正確的？答：'" db$0 時(shí)，ab, ab =ab, IlI 已知 ab =a+b,得 &b = a +b,解得b = 0,這時(shí)aO；當(dāng) db<0 時(shí)，a<b, ab=ba> 由已知Iab=a+b,得 b a a+b» 解得a=0,這時(shí)b>0； 綜上所述，(1)是正確的。第二類：考察對絕對值基本性質(zhì)的運(yùn)用5、已知 2011-l÷2012y+l=0,求 x÷y+2012 的值？解：VlX-Il 0, y+l I

5、092011 X-11 +2012 y+l | 0乂已知 2011 x-1 +2012 y+1 =0, .,. xl =0,y+1 =0.x = l, y= 1,原式=1 1÷2012 = 20126、設(shè)a、b同時(shí)滿足：(1) I a2b I + Ib11 b1(2) a-4=0那么ab等于多少？解：V Ia2bM0, Ib 10?/. a2b + b 11 b1 0(1)式=a2b+b1 b 1 ,得 a2bI 0,即 a=2bY a-4=0 a-4 = 0, a=4,. a=2b?A b = 2 , ab=4×2 = 87、設(shè) a、b、C 為非零有理數(shù)，且 a÷

6、;a=0, ab=ab, ICl-C=0, 請化簡： b I a÷b I ! C-b I ÷ ac I。解:Vlal+a=0, a0 a<0VlabI=abO , b0, a<09b<0, a+b<O*.* ICic = 0, c0 °c>0 , Cb>0, aCVo°原式=b+ (a÷b) (cb) ÷c-a=b8、滿足a+ab=l的非負(fù)整數(shù)(a, b)共有幾對？解：Ta, b都是非負(fù)整數(shù)a-b也是非負(fù)整數(shù)，ab也是非負(fù)整數(shù)°要滿足|ab +ab=l,必須|ab =1, ab=O 或者|

7、ab =0, ab = l 分類討論：當(dāng),ab =1, ab = O 時(shí)，d = 0, b = l 或者 a=l, b = 0 有兩對(d, b)的取 值；當(dāng) a-b =0, ab = l 時(shí)，a=l, b = l 有一對(a, b)的取值； 綜上所述，(a, b)共有3對取值滿足題意。9、已知 a、b、c、d 是有理數(shù)，|abW9, |cdW16,且|abc + d = 25,求|ba |dc I 的值？分析：此題咋一看無從下手，但是如果把a(bǔ)-b和c d分別看作一個(gè)整體，并 且運(yùn)用絕對值基本性質(zhì)：-yWx + y即可快速解出。角軍：設(shè) x=a-b, y=c d,貝IJ ab c÷d

8、 = -y x ÷ yV xI 9> y 16 x ÷ y 25 , I-yI IxI + yI 25VB知|x-y|=25? xi=9, Iyl=I6/. b-a - I dCI = I XI I y I = x y=9-16= 7第三類：多個(gè)絕對值化簡，運(yùn)用零點(diǎn)分段法，分類討論以上這種分類討論化簡方法就叫做零點(diǎn)分段法，其步驟是：求零點(diǎn)、分段、區(qū) 段內(nèi)化簡、綜合。根據(jù)以上材料解決下列問題：(1) 化簡：2-2| x+4(2) 求-l I 4x+l I 的最大值。解：(1)令x2 = 0, x+4 = 0,分別求得零點(diǎn)值：x=2, x=-4,分區(qū)段討 論：當(dāng) x-4

9、時(shí)，原式=一2 (x 2) + (x+4) =-÷8當(dāng)-4<x2 時(shí)，原式=一2 (x 2) (x+4) =一3X當(dāng) x>2 時(shí)，原式=2 (-2) 一 (x+4) =-8綜上討論，原式=(略)(2)使用“零點(diǎn)分段法”將代數(shù)式簡化，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出最大 值，再加以比較，從中選出最大值。令-l = 0, x+l = 0,分別求得零點(diǎn)值：x=l, x=-l,分區(qū)段討論：當(dāng)XW-I時(shí)，原式=一 (X-I) +4 (x+l) =3x+5 ,當(dāng)X二-1時(shí)，取到最大 值等于2；當(dāng)-IVXW1時(shí)，原式=(-1) 4 (x÷l) =5-3,此時(shí)無最大值;當(dāng)x>l時(shí)

10、，原式=(X-I) -4 (x+l) =-3x+3,此時(shí)無最大值。 綜上討論，當(dāng)X二-1時(shí)，原式可以取到最大值等于2。11、若2x+4-5x + l-3x+4的值恒為常數(shù)，則此常數(shù)的值為多少？解：我們知道，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的絕對值相等，利用這條性質(zhì)，可 以把絕對值內(nèi)帶X的項(xiàng)的符號由負(fù)號都變成正號，以便于區(qū)段內(nèi)判斷正負(fù)關(guān) 系。即原式=2x+ 15x41 + 13x 11 +4令5-4=0, 3-l = 0,分別求得零點(diǎn)值：X=4/5 , x=l3,分區(qū)段討論： 當(dāng) xl3 時(shí)，原式= 2- (5-4) 一 (3-l) +4=-6x+9,此時(shí)不是恒 值；T l3<xW45 時(shí)，原式=

11、 2-(OX-4) + (3-l) +4 = 7,此時(shí)恒為常數(shù) 7；當(dāng) x>45 時(shí)，原式= 2x+ (5-4) + (3-l) +4 = 10-l,此時(shí)也不是恒 值。綜上所述，若原式恒為常數(shù)，則此常數(shù)等于7。12、若 Ia =a+l, x=2ax,且 x+l | + |x5+2-m 的最小值是 7,則 In等于多少？解：J當(dāng) 時(shí)，a=a=a+l,得到 0 = 1 矛盾9a<0, a=-a=a+l, 解得 a= l2oVlXI=2ax=x,即X的絕對值等于它的相反數(shù)x0令 x+l = 0, X5 = 0, X-In=0,分別求得零點(diǎn)值：x=l, x = 5, X=InW0要對m進(jìn)行

12、分類討論，以確定分段區(qū)間：(1)若m$0,則X取值范圍分成XW-1和一l<x0當(dāng) x-1, 原式= (x+1) (x5) 2 (X-In) =4x+4 + 2m, X= 1時(shí)取到最小值8 + 2m當(dāng)一l<xO,原式=(x÷l) (X-5) 2(Xm) =2x+6+2m, X = O時(shí)取到最小值6 + 2In所以當(dāng)m20時(shí)，最小值是6 + 2m,令6÷2m=7,得In=0.5,符合題意(2) 若一IWnI<0,則X取值范圍分成xW 1和一1VXWm和mVxWO'p x-1, 原式= (x+l) (-5) 2 (-m) =4x+4 + 2m, x= 1

13、時(shí)取到最小值8÷2m,因?yàn)橐籰m<0,所以最小值$6'勺一IVxWm,原式=(x+l) (X 5) 2 (Xm) 2x+6 + 2m, xm 時(shí)取到最小值6 所以.'1I-lm<0時(shí)，最小值是6,和題意不符。(3) 若m< 1,則X取值范圍分成XWnI和m<xW 1和一l<x0 當(dāng) xWm,原式=(x÷l) (X5) 2 (-m) = 4x÷4÷2m, x=m 時(shí) 取到最小值4一2In當(dāng) m<x-1,原式=(x+l) (-5) +2 (-m) =4 2m,這時(shí)為恒 值 4 2 In當(dāng)一IVxWO,原式=

14、(x+l) (X 5) +2 (Xm) =2X 2m+6,無最小值 所以當(dāng)m<-l時(shí)，最小值是4 2m,令42m =7,得m= 1.5,符合題意 綜上所述，In=O.5或一 1.5 o第四類：運(yùn)用絕對值的幾何意義解題1、X的絕對值的兒何意義是在數(shù)軸上表示X的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即 x = x-0x-ll的兒何意義是在數(shù)軸上表示X的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)的距離， x÷2的兒何意義是在數(shù)軸上表示X的點(diǎn)到表示一2的點(diǎn)的距離， a-b的兒何意義是在數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到表示b的點(diǎn)的距離。2、設(shè)A和B是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，X是數(shù)軸上一個(gè)動點(diǎn)，我們研究下，當(dāng)X在什 么位置時(shí)，X到A點(diǎn)和B點(diǎn)的距離之和最??？很顯然，當(dāng)X點(diǎn)在A點(diǎn)和B點(diǎn)之 間時(shí)，X點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，最小值即為A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離。、勺再增 加一個(gè)C點(diǎn)時(shí)，如何求