平面向量基本定理公開課用（課堂PPT）

1、1必修系列必修系列數學數學4 f fGP2ABADAC ABBCAC （1 1）小明從）小明從A A到到B B，再從，再從B B到到C C，則他兩次的位移之和是：，則他兩次的位移之和是：ABCD三角形法則三角形法則平行四邊形法則平行四邊形法則首尾相接，由首至尾首尾相接，由首至尾共起點共起點 連對角連對角3復習復習: :共線向量基本定理：共線向量基本定理： 向量向量 與向量與向量 共線共線當且僅當有唯一一個實數當且僅當有唯一一個實數 使得使得(0)a a bab4(2)證明三點共線的問題證明三點共線的問題:定理的應用定理的應用:(1)有關向量共線問題有關向量共線問題: / CDABCDABCDA

2、BCDAB直線直線不在同一直線上與(3)證明兩直線平行的問題證明兩直線平行的問題: )0(三點共線、CBABCBCAB52011年11月3日1時43分，神舟八號與天宮一號第一次交會對接圓滿成功，中國成為世界第三個獨立掌握無人和載人空間對接技術的國家。承擔“神舟八號”飛船和“天宮一號”目標飛行器發(fā)射任務的是“長征二號長征二號F”運載火箭運載火箭 。 vv1v2v21vvv6依照速度的分解，平面內任一向量依照速度的分解，平面內任一向量a可可作怎樣的分解呢？作怎樣的分解呢？平行四邊形法則平行四邊形法則給定平面內兩個不共線的向量給定平面內兩個不共線的向量e1, , e2, ,可可表示平面內任一向量表示

3、平面內任一向量a嗎？嗎？1e2ea21eea1e2ea71e2e OCABMN OCOMON 如圖111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a1e2e a給定平面內兩個不共線的向量給定平面內兩個不共線的向量e1, , e2, ,可表示該平面內任一向量可表示該平面內任一向量a嗎？嗎？81e2e OCABMNa OCOMON 如圖111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1e2e a給定平面內兩個不共線的向量給定平面內兩個不共線的向量e1, , e2, ,可表示該平面內任一向量可表示該平面內任一向量a嗎？嗎？9？來表示呢任意一個向

4、量都可以用后，是否平面內，確定一對不共線向量 221121eeee想一想想一想1e2e1e2e12 . aee 當 與 或 共線時aa1220aee 1 120aee 10？怎怎樣樣構構造造平平行行四四邊邊形形況況時時，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 aa1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee 11（3 3）1e2eaAOBNMC C1 12212(0,0)aee 再改變成如下情況，怎樣構造平行四邊形？再改變成如下情況，怎樣構造平行四邊形？12取取,021使使22110ee1e若若a與與 共線，則共線，則02使

5、使2211eea若若, 0a)(2e),0(11e2e aa重要結論若若02211ee則則,02113（）平面向量基本定理（）平面向量基本定理存在性存在性唯一性唯一性存在存在如果如果是同一平面內兩個是同一平面內兩個不共線不共線向量，向量，那么對于這一平面的任意向量那么對于這一平面的任意向量一對實數，一對實數，使使,1e,2e, a,2,12211eea有且只有有且只有思考：思考： 上述表達式中的上述表達式中的2,1是否唯一是否唯一？（ 2 ）基底：基底：把把不共線不共線的向量的向量叫做這一平面內叫做這一平面內,1e2e所有向量的所有向量的一組一組基底基底一個平面向量用一組基底一個平面向量用一組

6、基底 ( 3 )正交分解：正交分解：,1e,2e表示成：表示成：2211eea稱它為向量的分解稱它為向量的分解當當互相垂直時，稱為向量的互相垂直時，稱為向量的正交分解正交分解,1e,2e14一維直線一維直線平面向量基本定理1 122a =eea =e二維平面二維平面思想有多遠，就能走多遠！思想有多遠，就能走多遠！重要結論若若02211ee則則,021152、基底不唯一，關鍵是基底不唯一，關鍵是不共線不共線.4、基底給定時，分解形式唯一基底給定時，分解形式唯一.說明：說明：1、把、把不共線不共線的的非零向量非零向量 叫做表示叫做表示這一平面內所有向量的一組這一平面內所有向量的一組基底基底.12,

7、e e 3、由定理可將任一向量由定理可將任一向量 在給出基底在給出基底 的條件下進行分解的條件下進行分解.12,e e a16練習：下列說法是否正確？練習：下列說法是否正確？1.在平面內只有一對基底在平面內只有一對基底.2.在平面內有無數對基底在平面內有無數對基底.3.零向量不可作為基底零向量不可作為基底.4.平面內不共線的任意一平面內不共線的任意一 對向量對向量,都可作為基底都可作為基底.17（1 1）一個平面內，可作為基底的向量有）一個平面內，可作為基底的向量有 對。對。無數無數(1)(3)18MABCDMDMBMAMCbabADaABBDACABCD和、表示、，試用基底，相交于點和的對角

8、線、如圖，平行四邊形例 ,M1baADABAC解：因為平行四邊形的對角線互相平分因為平行四邊形的對角線互相平分baACMC212121baMCMA2121baADABDBMB2121)(2121abMBMD2121ab 例例119 2 22 22 22 2例例3 3. .設設 ，是是平平面面內內的的一一組組基基底底，如如果果A AB B= =3 3 - -2 2 , ,B BC C= =4 4 + +, ,C CD D= =8 8 - -9 9 , ,求求證證：A A, ,B B, ,D D三三點點共共線線。CDBCABAD證明：)98()4()23(212121eeeeee211015ee

9、)23(521ee AB5.共線與ABAD.,三點共線，所以有公共的起點與又DBAAABADABCD 例例220能作為基底的是則下面的四組向量中不的一組基底，是表示平面內所有向量，、若211ee；和；和；和；和212122112212121)4(33) 3(6423)2() 1 (eeeeeeeeeeeeeee(2)ADACABBCDABC表示向量的中點，則用是中，、已知,2ABCD21.,3PQbababDAaBCBDACABCDQP表示向量試用基底不是共線向量，并且的中點，與的對角線分別是四邊形、設BQPDCAbaPQbaCBADPQBQCBPCPQDQADPAPQ21212解法一：22.

10、,3PQbababDAaBCBDACABCDQP表示向量試用基底不是共線向量，并且的中點，與的對角線分別是四邊形、設BQPDCAE23練習練習請大家在圖中確一組基底，將其它向量用這組基底請大家在圖中確一組基底，將其它向量用這組基底表示出來表示出來ANMCDB已知梯形已知梯形ABCD，AB/CD，且，且AB= 2DC，M、N分分別是別是DC，AB的中點的中點24ANMCDB解析：設解析：設AB=e1，AD=e2，則有：，則有：DC= AB = e11212BC=BD+DC=(AD- -AB)+DC=(e2- -e1)+ e1=- - e1+e21212MN=DN- -DM=(AN- -AD)-

11、- DC12= e1- -e2- - e1 1214= e1- -e2 1425二、向量的夾角二、向量的夾角:OABba兩個非零向量兩個非零向量 ， ab和和 的的夾角夾角ab夾角的范圍：夾角的范圍：180 OABab90 OAB ab注意注意:同起點同起點(0180 )AOB叫做向量叫做向量0 OABab26例例2:如圖，等邊三角形中，求如圖，等邊三角形中，求 (1)AB與與AC的夾角；的夾角； (2)AB與與BC的夾角。的夾角。ABC60C0120注意注意:同起點同起點27A AB B. 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且則則上上，在在直直線線若若點點三三點點不不共共線線，、已已

12、知知O OP P. , ),R( , ,OPOBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共線線、如如圖圖 . 3例例一個重要結論一個重要結論OBtOAtOP)1 ( 結論：結論：你發(fā)現(xiàn)了什么？你發(fā)現(xiàn)了什么？28三三、平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示思考？思考？ 在平面里直角坐標系中，每在平面里直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數（它一個點都可用一對有序實數（它的坐標）表示。對直角坐標平面的坐標）表示。對直角坐標平面內的每一個向量，如何表示呢？內的每一個向量，如何表示呢？292.2.32.2.3平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示. .向量的向量的正交分解正交分

13、解物理背景物理背景: :30三三、平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示yOxai xjy +axiy j我們把我們把(x,y)叫做向量叫做向量 的的(直角直角)坐標，記作坐標，記作 a( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x軸上的坐標，軸上的坐標，y叫做叫做 在在y軸上的坐標，軸上的坐標，(x,y)叫做向量的坐標表示叫做向量的坐標表示.aa正交單位正交單位基底基底jii,ji,j為單位向量為單位向量31OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j 當向量的起點在坐標原點時，當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標向量的坐標就是就是向量終點的坐標向量終點的坐標. .坐標坐標(x,y)

14、一一對應一一對應 兩個向量相等，利用坐標如何表示？兩個向量相等，利用坐標如何表示？2121yyxxba且向量向量a三三、平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示32. , 并求出它們的坐標、分別表示向量，如圖，用基底dcbajijiAAAAa3221解：解：(2,3)a)3 , 2(32jib)3, 2(32jic)3, 2(32jidjyxOicaA1AA2Bbd例：例：數量看投影數量看投影 符號看方向符號看方向332.3.3平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算1.已知已知a ，b ，求，求a+b，a-b，a),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=(

15、i + j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩向量相應坐標的和與差兩個向量和與差的坐標分別等于這兩向量相應坐標的和與差342.3.3平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(2211yxyx ),(1212yyxx 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減

16、去始點的坐標終點的坐標減去始點的坐標 實數與向量的積的坐標等于這個實數乘原來的實數與向量的積的坐標等于這個實數乘原來的向量的相應坐標向量的相應坐標),(yx a則若),(yxa 思思 考考1. 兩個向量共線的條件是什么兩個向量共線的條件是什么?2. 如何用坐標表示兩個共線向量如何用坐標表示兩個共線向量?.),(),(2211abyxbyxa 其其中中設設推導過程：推導過程：.),(),(2211abyxbyxa 其其中中設設推導過程：推導過程：),(),( 2211yxyxba 得得：由由.),(),(2211abyxbyxa 其其中中設設推導過程：推導過程：,2121 yyxx ),(),(

17、 2211yxyxba 得得：由由.),(),(2211abyxbyxa 其其中中設設推導過程：推導過程：,2121 yyxx ),(),( 2211yxyxba 得得：由由. 01221 yxyx：消消去去 .),(),(2211abyxbyxa 其其中中設設0 )0( /1221yxyxbba的的充充要要條條件件是是：推導過程：推導過程：,2121 yyxx ),(),( 2211yxyxba 得得：由由. 01221 yxyx：消消去去 探究：探究：? . 1時時能能不不能能兩兩式式相相除除消消去去 ?. 22211xyxy 能能不不能能寫寫成成? . 3 向量共線有哪兩種形式向量共線有

18、哪兩種形式探究：探究：? . 1時時能能不不能能兩兩式式相相除除消消去去 ?. 22211xyxy 能能不不能能寫寫成成? . 3 向量共線有哪兩種形式向量共線有哪兩種形式. 0, 0 0, 2221中中至至少少有有一一個個不不為為，有有可可能能為為不不能能兩兩式式相相除除，yxbyy 探究：探究：? . 1時時能能不不能能兩兩式式相相除除消消去去 ?. 22211xyxy 能能不不能能寫寫成成? . 3 向量共線有哪兩種形式向量共線有哪兩種形式. 0 , ,21有有可可能能為為不不能能xx. 0, 0 0, 2221中中至至少少有有一一個個不不為為，有有可可能能為為不不能能兩兩式式相相除除，

19、yxbyy 探究：探究：? . 1時時能能不不能能兩兩式式相相除除消消去去 ?. 22211xyxy 能能不不能能寫寫成成? . 3 向量共線有哪兩種形式向量共線有哪兩種形式)0(/ bba ba . 0 , ,21有有可可能能為為不不能能xx. 0, 0 0, 2221中中至至少少有有一一個個不不為為，有有可可能能為為不不能能兩兩式式相相除除，yxbyy 探究：探究：? . 1時時能能不不能能兩兩式式相相除除消消去去 ?. 22211xyxy 能能不不能能寫寫成成? . 3 向量共線有哪兩種形式向量共線有哪兩種形式)0(/ bba ba . 01221 yxyx. 0 , ,21有有可可能能為為不不能能xx. 0, 0 0, 2221中中至至少少有有一一個個不不為為，有有可可能能為為不不能能兩兩式式相相除除，yxbyy 講解范例講解范例.,/), 6(),2, 4( ybayba求求且