數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊春29學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)理方程數(shù)理方程(fngchng)與特殊函數(shù)楊春與特殊函數(shù)楊春29第一頁，共64頁。2本次(bn c)課主要內(nèi)容格林函數(shù)(hnsh)、貝塞爾函數(shù)(hnsh)、勒讓得多項(xiàng)式習(xí)題課(一)、Green函數(shù)(hnsh)問題(二)、貝塞爾函數(shù)問題 (三)、勒讓得多項(xiàng)式問題第1頁/共63頁第二頁，共64頁。(一)、Green函數(shù)(hnsh)問題1、三個(gè)格林公式(gngsh)第一格林公式：設(shè)u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：SVVu v dSuvdVu vdV 第二格林公式：設(shè)u (x, y, z) ,V (x, y,

2、 z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：SVu vv udSu vv u dV 第2頁/共63頁第三頁，共64頁。4設(shè)M0，M是V中的點(diǎn)，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)滿足第一格林公式(gngsh)條件，則有：000011111()44MMMMMMSVuu MudSudVrnnrr第三(d sn)格林公式：M0MSVxyz第3頁/共63頁第四頁，共64頁。5例1、寫出穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程(fngchng)洛平問題的解。要求:(1)掌握三個(gè)公式(gngsh)的推導(dǎo)；(2)穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程(fngchng)洛平問題的解。解:(1)泊松方程洛平問題為：(,), (,)(,), (,)

3、, (xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuxyzuxyzn 連 續(xù) ）連 續(xù) ）011111()( )( )( )44SVu MMMdSf M dVrn rr 第4頁/共63頁第五頁，共64頁。6拉普拉斯方程(fngchng)洛平問題為：0 , (,)(,) , (,) , (x xy yz zSSSuuuuxyzVuxyzuxyzn 連續(xù)）連續(xù)）0111()()()4Su MMMdSrnr例2、求拉普拉斯方程(fngchng)洛平問題的解0 , (,)1 ,0SSuxyzVuun第5頁/共63頁第六頁，共64頁。7解：由第三(d sn)格林公式：0011()4MMSu MdSn r

4、( , , ),( , , )( , , ),0SSux y zx y zVuux y zn 例3、求拉普拉斯方程(fngchng)洛平問題的解解：由第三(d sn)格林公式：0001111()( , , )44MMMMSVu MdSx y z dVn rr 第6頁/共63頁第七頁，共64頁。82、調(diào)和函數(shù)要求(yoqi):(1)掌握概念和性質(zhì)的證明；(2 ) 性質(zhì)的應(yīng)用(極值(j zh)原理)(),()Suf MMVuM例4、求證泊松方程(fngchng)狄氏問題的解是唯一的、穩(wěn)定的。證明：泊松方程狄氏問題為：(a ) 解的唯一性證明：設(shè)定解問題有兩個(gè)解u1與u2,則：第7頁/共63頁第八頁

5、，共64頁。9令:U=u1-u2,則：11(),()Suf MMVuM22(),()Suf MMVuM0,0SUMVU由極值(j zh)原理有： ，即0U 12uu(b ) 解的穩(wěn)定性證明(zhngmng)：設(shè)在S上給定(i dn)了函數(shù) 使得： 且： ,* 11(),()Suf MMVuM22(),*()Suf MMVuM*第8頁/共63頁第九頁，共64頁。10令:U=u1-u2,則：0,*SUMVU由極值(j zh)原理有： 即證明了穩(wěn)定性。U3、泊松方程狄氏問題(wnt)格林函數(shù)要求:(1)掌握狄氏問題格林函數(shù)(hnsh)概念和性質(zhì)(2)泊松方程、拉氏方程狄氏問題解的積分表達(dá)式(3) 特

6、殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)和對(duì)應(yīng)的解的積分表達(dá)式例5、什么是泊松方程狄氏問題格林函數(shù)？物理意義是什么？第9頁/共63頁第十頁，共64頁。11答: (1)泊松方程狄氏問題格林函數(shù)(hnsh)定義為：(a) 若G(M,M0)滿足(mnz)：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 則稱G(M,M0)為定義(dngy)在VS上的三維狄氏格林函數(shù)。(b) 若G(M,M0)滿足：0000(,)(),(,)0SLG M MMMM MDG M M 則稱G(M,M0)為定義在DS上的平面狄氏格林函數(shù)。(2) 物理意義是:第10頁/共63頁第十一頁，共64頁。12(a) 物理意義：首先，對(duì)

7、于(duy)方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：空間中M0點(diǎn)處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點(diǎn)電荷，在M處產(chǎn)生的電勢(shì)為G(M,M0),其大小為G(M,M0)=1/4r； 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以(ky)理解為：接地導(dǎo)電殼內(nèi)M0處有正點(diǎn)電荷和它在邊界面上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在殼內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。（b) 物理意義：首先，對(duì)于方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：平面中M0點(diǎn)處有一電量為(真空(zhnkng)中的介電常數(shù)）的正點(diǎn)電荷，在M處產(chǎn)生的電勢(shì)為G(M,M0),其大小為

8、G(M,M0)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以理解為：接地導(dǎo)電圈內(nèi)M0處有正點(diǎn)電荷和它在邊界上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在圈內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。第11頁/共63頁第十二頁，共64頁。13例6、三維泊松方程狄氏格林函數(shù)(hnsh)的性質(zhì)是什么？答：三維泊松方程(fngchng)狄氏格林函數(shù)的性質(zhì)主要有：(1) 狄氏格林函數(shù)在除去M=M0點(diǎn)外處處滿足拉氏方程(fngchng)。當(dāng)MM0時(shí)，G(M,M0)趨于無窮大，其階數(shù)和1/rMM0相同。(2) 在邊界上格林函數(shù)恒等于零。(3) 在區(qū)域V內(nèi)，有：0010(,)4M M

9、G MMr(4) Green函數(shù)具有對(duì)稱性(物理上稱為互易性 )，即 );();(1221MMGMMG第12頁/共63頁第十三頁，共64頁。14例7、三維泊松方程狄氏問題(wnt)解的積分表達(dá)式是什么？答：000(,)()(,)SVG M Mu MudSG M MfdVn例8、二維泊松方程(fngchng)狄氏問題解的積分表達(dá)式是什么？0()(,)LDGuMd SG fxy dn 答：例9、教材重點(diǎn)介紹(jisho)了幾種特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)？采用什么方法求？第13頁/共63頁第十四頁，共64頁。15答: (1)球域、半空間；圓域、半平面、第一(dy)象限。平面(pngmin)上的求法類

10、似。求三維空間中區(qū)域VS上狄氏格林函數(shù),可考慮一接地導(dǎo)體殼S，在VS內(nèi)M0處放置(fngzh)電量為0的正點(diǎn)電荷，由格林函數(shù)物理意義：G(M,M0)等于V內(nèi)電荷0與感應(yīng)電荷在M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加。這可以通過如下方法求：在V外找一個(gè)M0關(guān)于S的像點(diǎn)，在該點(diǎn)放置(fngzh)一負(fù)電荷，使它與0在S上產(chǎn)生的電勢(shì)疊加為零，則它們?cè)贛處的電勢(shì)疊加等于G(M,M0).(2) 采用鏡像法例10、回憶球域、半空間；圓域、半平面、第一象限內(nèi)的格林函數(shù)表達(dá)式第14頁/共63頁第十五頁，共64頁。16答: (1)球域00011111(,)44RG M Mrrrrr20100rRrrr(2)上半空間(kngjin)0

11、10111(,)4M MM MG MMrr2222220000001114()()()xxyyzzxxyyzz第15頁/共63頁第十六頁，共64頁。17(3) 上半平面狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 0101111(,)22MMMMG M MLnLnrr(4) 圓域上狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 100011(,)lnln22MMM MrRG MMrr(5) 第一象限上狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxx

12、yyxxyy 第16頁/共63頁第十七頁，共64頁。18例11、寫出球域、半空間；圓域、半平面、第一(dy)象限內(nèi)的泊松方程狄氏問題解的積分表達(dá)式解：(1) 球域內(nèi)泊松方程(fngchng)狄式問題解的積分表達(dá)式：由于(yuy)泊松方程狄氏問題的解為：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn在球面上SSGGnr第17頁/共63頁第十八頁，共64頁。19在球域上，由于(yuy)：00011111(,)44RG M Mrrrrr2222000111111442cos2cosRrrrrrrrrr224202002001111442cos2cosRrRRrrrrrrrr第18頁

13、/共63頁第十九頁，共64頁。20220322200142cosSRrGnRRrRr 所以(suy)：所以(suy)，球域上狄氏問題的解為：220032220001()42cos(,)SVRru MdSRRrRrG M MfdV第19頁/共63頁第二十頁，共64頁。21(2) 上半空間(kngjin)狄式問題的解000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn泊松方程(fngchng)狄氏問題的解為：01003314MMMMzzzzGGnzrr 由于(yuy)：0322200014()zxxyyz第20頁/共63頁第二十一頁，共64頁。22.00003.22220000,1,2

14、( , , ) (,)Vx y zu xyzdxdyxxyyzf x y z G M Mdxdydz 所以上半空間(kngjin)泊松方程狄氏問題的解為：而上半空間(kngjin)拉氏方程狄氏問題的解為：.00003.2222000,1,2x y zu xyzdxdyxxyyz 第21頁/共63頁第二十二頁，共64頁。23(3) 上半平面(pngmin)內(nèi)泊松方程狄式問題解的積分表達(dá)式：GGny 022001()yxxy 0022001()( )( , )()Dyu MxdxGf x y dxxy所以(suy)得：拉氏方程(fngchng)狄氏解為： 0022001()( )()yu Mxdx

15、xxy第22頁/共63頁第二十三頁，共64頁。24例11*、求上半平面(pngmin)上拉氏方程狄氏解，邊界條件為： 解：由公式(gngsh)：00,0(, 0 ),0 xuxux00220000220001()( )()1()yu Mxdxxxyyudxxxy第23頁/共63頁第二十四頁，共64頁。2500220001()uydxxxy0002200011()1u ydxxxyy000002200001()()1yxxu ydyxxyy00001arctanxxuy00001arctanxxuy000arctan2uxy(4) 圓域上狄氏問題(wnt)的解 第24頁/共63頁第二十五頁，共6

16、4頁。26解：LRGGnr因?yàn)?yn wi)：2202200122cosRrR RRrr 例12、求圓域上泊松與拉氏方程(fngchng)狄氏解。0()(,)LDGu MdSG fxy dn 所以(suy)：LRGGnr220022001()(,)22cosLDRru MdSG fxy dR RR rr所以，狄氏解為：第25頁/共63頁第二十六頁，共64頁。2700222222220000cosx xy yxyxyxyxy所以(suy)：由于(yuy)：00cosO MO MO MO M所以(suy)，在極坐標(biāo)系下，有：0coscos()222002200001()( )( ,)22cos()

17、DRru MdGf rrdrdRRrr 從而，在極坐標(biāo)下，圓域上泊松方程狄氏解為：在極坐標(biāo)下，圓域上拉氏方程狄氏解為：222002200001()( )22cos()Rru MdRRrr 第26頁/共63頁第二十七頁，共64頁。28例13、求圓域上拉氏方程(fngchng)狄氏解。(1)、解法(ji f)1:(格林函數(shù)法)0,1(1,)( )uru ( )cosa (2)、( )cosba 選極坐標(biāo)系，設(shè)圓內(nèi)M0(r0,0),則：222002200001()( )22cos()Rru MdRRrr 220200001cos*212cos()radrr第27頁/共63頁第二十八頁，共64頁。29

18、利用函數(shù)(hnsh)冪級(jí)數(shù)展開可得：采用(ciyng)級(jí)數(shù)展開法計(jì)算積分*220200001cos*212cos()raIdrr200021000112cos()12cos()mmrrmrr所以(suy)，得：220200001cos*212cos()raIdrr200011cos12cos()2mmarmd22000011coscoscos()2mmaadrmd 第28頁/共63頁第二十九頁，共64頁。3020001coscos()mmarmd2200000011coscoscoscossinsinmmmmaarmm drmmd 2000coscoscosard 20001coscoscos

19、mmarmm d 00cosar當(dāng) 時(shí)：( )cosba 22002000011()( )212cos()ru Mdrr 第29頁/共63頁第三十頁，共64頁。31而：22020000220200001212cos()1cos212cos()rbdrrradrr220200001212cos()rbdrr20001112cos()2mmbrmd22000011cos()2mmbbdrmdb所以(suy)，有：0000( ,)cosu rbar第30頁/共63頁第三十一頁，共64頁。32( , )( ) ( )uR 1、分離(fnl)變量：0112 RRR2RRR 代入方程(fngchng)得：

20、整理(zhngl)后可令比值為：解法2:(分離變量法)第31頁/共63頁第三十二頁，共64頁。33200RRR 得兩個(gè)常微分方程(wi fn fn chn)如下：2、求解固有(gyu)值問題 20第32頁/共63頁第三十三頁，共64頁。34(1) 0時(shí)，令=2 得： sincosba結(jié)合周期條件(tiojin)，只能取正整數(shù)。于是得固有值：21,2,)n n（固有(gyu)函數(shù)為： cossin(1,2)nnnanbnn第33頁/共63頁第三十四頁，共64頁。353、求歐拉方程(fngchng)的解20(0)RRRR (1)、對(duì)應(yīng)(duyng)于0= 0的解為：0()lnRCD由有限性得：D=

21、0,于是(ysh)有：0()RC第34頁/共63頁第三十五頁，共64頁。36(2)、對(duì)應(yīng)(duyng)于n= n2(n=1,2.)2(1)0D DRDRn R作變換(binhun)：=et 得：22n Rdt2d R即 ：()nnnnnRCD由有限性得：Dn=0,于是(ysh)有：()nnnRC第35頁/共63頁第三十六頁，共64頁。374、求定解()(0,1, 2,)nnnRCn一般(ybn)解為：10sincos2),(nnnnnbnaau由邊界條件(1)得：01coscossin2nnnaaanbn第36頁/共63頁第三十七頁，共64頁。38所以，比較(bjio)系數(shù)得：010,1,0(

22、1),0nnaaanb( , )cosu ra所以(suy)，(1)的解為：由邊界條件(2)得：01coscossin2nnnabaanbn所以，比較(bjio)系數(shù)得：012 ,1,0(1),0nnab aanb所以，(2)的解為：( , )cosu rba第37頁/共63頁第三十八頁，共64頁。39(5) 第一(dy)象限上狄氏問題的Green函數(shù)為： 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy 例13、求第一象限(xingxin)上拉氏方

23、程狄氏解。解：假定(jidng)定解問題為：01020(0,0)( ),( )xyuxyuyux第38頁/共63頁第三十九頁，共64頁。40由于(yuy)1:0Lx 其中(qzhng)：GGnx 0()(,)LDGu MdSG fxy dn LGdSn 1212LLGGdSdSnn 2:0Ly 對(duì)于(duy)L1:對(duì)于L2:GGny 第39頁/共63頁第四十頁，共64頁。4100yyGGny 對(duì)于(duy)L2:0022220000221144()()yyxxyxxy 0022220000221144()()yyxxyxxy022001()yxxy 00 xxGGny 022001()xyyx

24、 第40頁/共63頁第四十一頁，共64頁。42所以(suy)，拉氏解為：000012002222000011( , )( )( )()()xyu x yydyxdxy yxx xy例14、求上半圓(bnyun)域上狄氏問題格林函數(shù)格林函數(shù)(hnsh)滿足的定解問題為：200,()()(1)0(2),0(3)RGMMGG 第41頁/共63頁第四十二頁，共64頁。43M0M1M1M0Mxy設(shè)想在 放置電量(dinling)為0的電荷000(,)M (1)對(duì)于(duy) 在 放置電量為-0的電荷，則能夠使邊界條件(3)滿足，但不能使(2)滿足。0,100(,)M(2)若要同時(shí)使(2)滿足(mnz)，

25、對(duì)于圓周邊界來說，M0的對(duì)稱點(diǎn)為：第42頁/共63頁第四十三頁，共64頁。44在M1放置(fngzh)電量為 的電荷00R對(duì)于(duy) M1的對(duì)稱點(diǎn)為：0,100(,)RM100(,)RM置電量(dinling)為 的電荷00R四個(gè)電荷的疊加滿足邊界條件，所以得到格林函數(shù)：00110001111(,)lnln221111lnln22M MM MM MM MGMMRR第43頁/共63頁第四十四頁，共64頁。454、三種典型方程的基本(jbn)解問題要求: (1) 知道三種典型(dinxng)方程的基本解的定義、基本解表達(dá)式；(2)能利用基本(jbn)解求相應(yīng)的定解問題。例16、敘述泊松方程基本

26、解的定義；寫出其基本解；并求出 的一個(gè)特解。0()Mu答: (1)方程 的解稱為泊松方程 的基本解。(,)uxyz (,)ufxyz (2) 基本解為：1,04Urr第44頁/共63頁第四十五頁，共64頁。46(3) 特解應(yīng)該(ynggi)為基本解與函數(shù)f的卷積。設(shè)U*為特解，則有：300000()1()1*44(,)RMMUUfdMrr M M注：平面泊松方程(fngchng)基本解為：11ln,02Urr例17、敘述熱傳導(dǎo)方程柯西問題(wnt)基本解的定義；寫出其基本解；在此基礎(chǔ)上求出如下定解問題(wnt)：20, (,0 )()txxtua uxR tux答: (1) 定解問題：第45頁

27、/共63頁第四十六頁，共64頁。4720, (,0 )()txxtua uxR tux的解，稱為如下定解問題(wnt)的基本解。20, (,0 )()txxtua uxR tux(2) 基本(jbn)解為：2241(, )2xatUx teat(3) 定解為基本(jbn)解與初始函數(shù)的卷積。設(shè)u為定解，則有：22()41( , )*( )2sxa tu x tUs edsat第46頁/共63頁第四十七頁，共64頁。48注：二維、三維類似(li s)。20(1), (0,0 )(0 , )0 ,( , )00txxtxua uAxl tlutu l tu例18、敘述熱傳導(dǎo)方程混合問題(wnt)基

28、本解的定義；寫出其基本解；在此基礎(chǔ)上求出如下定解問題(wnt)：200()()(0, )( , )0( , 0)0 xxua uxxtttutu l tu x答: (1) 定解問題(wnt)第47頁/共63頁第四十八頁，共64頁。49的解稱為如下定解問題(wnt)的基本解20(, ), (0,0 )(0 , )0 ,( , )00txxtua ufx txl tutu l tu(2) 基本(jbn)解為：(3) 定解與基本(jbn)解的關(guān)系為：22202()00012( , ;,)sinsinnattLnnxnxUx t xtelll00000000( , )( , ;,)(,)tLu x t

29、Ux t xtfxtdx dt 第48頁/共63頁第四十九頁，共64頁。5022202()00000012sinsin(1)natttLLnnxxnxeAdx dtllll 22222332121sinnatlnAlnxenal例20、敘述波動(dòng)方程柯西問題(wnt)基本解的定義；寫出其基本解。22002() (),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uxxttxttu xux 答: (1) 定解問題(wnt)第49頁/共63頁第五十頁，共64頁。51的解稱為如下定解問題(wnt)的基本解(2) 基本(jbn)解為：(3) 定解與基本(jbn)解的關(guān)系為：00000000( , )(

30、 , ;,)(,)tLu x tUx t xtfxtdx dt 222( , ),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uf x tx y zttu xux 0000121( , ;,)sin()sinsinnnananxU x t xtttxanlll第50頁/共63頁第五十一頁，共64頁。52例21、敘述波動(dòng)方程(fngchng)混合問題基本解的定義；寫出其基本解。答: (1) 定解問題(wnt)22002() ()(0, )( , )0( ,0)( ,0)0 xxtua uxxtttutu l tu xux的解為有界波動(dòng)(bdng)方程問題222(,)( 0 ,)( ,)0(,

31、 0 )(, 0 )0 x xtuaufxttutul tuxux 的基本解。第51頁/共63頁第五十二頁，共64頁。53(2) 基本(jbn)解為：(3) 定解與基本(jbn)解的關(guān)系為：00000000( , )( , ;,)(,)tLu x tUx t xtfxtdx dt 0000121( , ;,)sin()sinsinnnananxU x t xtttxanlll例22、用格林函數(shù)(hnsh)法求定解問題2( 0,0 )( 0 ,)( ,)0(, 0 )(, 0 )0ttx xtuauxxl tutul tuxux解：對(duì)應(yīng)的基本解為：0000121( , ;,)sin()sinsi

32、nnnananxU x t xtttxanlll第52頁/共63頁第五十三頁，共64頁。5400000000( , )( , ;,)(,)tlu x tUx t xtfxtdx dt 0000000121sin() sinsintlnnananxttxx dx dtanlll 0000000121sin() sinsintlnnananxttxx dx dtanlll 313312(1)1cossinnnlntnxnll(二)、貝塞爾函數(shù)(hnsh)問題 主要要求(yoqi): (1) 貝塞爾方程的通解形式；(2) 貝塞爾函數(shù)表達(dá)式及其主要(zhyo)性質(zhì)；(3) 貝塞爾函數(shù)的遞推公式及正交定

33、理、函數(shù)展開定理。第53頁/共63頁第五十四頁，共64頁。55例23、寫出貝塞爾方程的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形式和通解形式解: (1) 貝塞爾方程的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形式為：(2) 貝塞爾方程的通解(tngji)形式：22222()0,()d ydyxxxnynRCdxdx 或)()(xBYxAJynn00( ),( )(nnxxLimY xLimJxC 常數(shù)）例24、寫出n階第一類貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)形式、母函數(shù)表達(dá)形式。220( )( 1)2! (1)nmmnnmmxJxmnm第54頁/共63頁第五十五頁，共64頁。561()2( )xznznneJx z例25、計(jì)算(j sun)：12( )Jx12( )Jx例25、寫出貝塞爾函數(shù)遞推公式(gngsh)，并計(jì)算：32( )Jx32( )Jx例26、計(jì)算(j sun)：3( )Jx dx300()xxJxd x第55頁/共63頁第五十六頁，共64頁。57例26、證明(zhngmng)：20011,( )( )( )JxJxJxx3002,( )3( )4( )0JxJxJx例27、敘述(xsh)正交性定理與展開定理(三)、勒讓得多項(xiàng)式問題(wnt)主要要求: (1) 勒讓得方程的通解形式；(2) 勒讓得多