ANOVA 統(tǒng)計(jì)學(xué)之方差分析

1、.1方差分析方差分析Analysis of Variance （ANOVA ) 因素也稱為因素也稱為處理處理，每，每一處理因素至少有兩個(gè)一處理因素至少有兩個(gè)水平水平(level)（也稱（也稱“處理組處理組”）。）。 一個(gè)一個(gè)因素因素（水平水平間獨(dú)立）間獨(dú)立） 單向方差分析單向方差分析 （第十章）（第十章） 兩個(gè)兩個(gè)因素因素（水平水平間獨(dú)立或相關(guān)）間獨(dú)立或相關(guān)）雙向方差分析雙向方差分析 （第十一章）（第十一章） 一個(gè)個(gè)體多個(gè)測(cè)量值一個(gè)個(gè)體多個(gè)測(cè)量值重復(fù)測(cè)量資料的方差分析重復(fù)測(cè)量資料的方差分析 ANOVA與回歸分析相結(jié)合與回歸分析相結(jié)合協(xié)方差分析協(xié)方差分析 目的：目的：用這類資料的樣本信息來推斷各

2、處理組間用這類資料的樣本信息來推斷各處理組間多個(gè)總多個(gè)總體均數(shù)體均數(shù)的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。.2SiS1S2S3S4合計(jì)值5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 .3.4 ANOVA ANOVA 由英國(guó)統(tǒng)由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家計(jì)學(xué)家R.A.FisherR.A.Fisher首首創(chuàng)，為紀(jì)念創(chuàng)，為紀(jì)念FisherFisher，以，以F F命名，故方差分析又命名，故方差分析又稱稱 F F 檢驗(yàn)檢驗(yàn) （F F testtest）。用于推斷）。用于推斷多個(gè)多個(gè)總體均數(shù)總體均數(shù)有無差異有無差異 .5第十章第十章 單向方差分析單向方差分析One-way analysis of varia

3、nce第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本思想方差分析的基本思想 將所有測(cè)量值間的總變異總變異按照其變異的來源分解為多個(gè)部份分解為多個(gè)部份，然后進(jìn)行比較，評(píng)價(jià)由某種因素某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。.6一、離均差平方和的分一、離均差平方和的分解解組間變異組間變異總變異總變異組內(nèi)變異組內(nèi)變異.7對(duì)于例對(duì)于例8-1（完全隨機(jī)設(shè)計(jì)）（完全隨機(jī)設(shè)計(jì)）資料，共有三種不同的變異資料，共有三種不同的變異 總變異總變異（Total variation）：全部測(cè)量值）：全部測(cè)量值Yij與與總均數(shù)總均數(shù) 間的差異間的差異 組間變異組間變異（ between group variation ）：各）：各組的均數(shù)組

4、的均數(shù) 與總均數(shù)與總均數(shù) 間的差異間的差異組內(nèi)變異組內(nèi)變異（within group variation )：每組的：每組的每個(gè)測(cè)量值每個(gè)測(cè)量值Yij與該組均數(shù)與該組均數(shù) 的差異的差異下面用下面用離均差平方和離均差平方和(sum of squares of (sum of squares of deviations from meandeviations from mean，SSSS) )反映變異的大小反映變異的大小 20.0Y YiYiY 1. 1. 總變異總變異: : 所有測(cè)量值之間總所有測(cè)量值之間總的變異程度，的變異程度，計(jì)算公式計(jì)算公式22111122,1)iinnaaijijijij

5、Niji jSSYYYCYCNS 總(2211,()()inaNijijiji jYYCNN校正系數(shù)校正系數(shù)：1N總 2 2組間變異：組間變異：各組均數(shù)與總均數(shù)的各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和，離均差平方和，計(jì)算公式為計(jì)算公式為21211()()inijjaaiiiiiYSSn YYCn組間1a組間SS組間反映了各組均數(shù) 的變異程度組間變異組間變異隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差+ +處理因素效應(yīng)處理因素效應(yīng) iY21121()(1)inaijiijaiiiSSYYnS 組 內(nèi)Na組內(nèi) 3組內(nèi)變異：在同一處理組內(nèi)，雖然每個(gè)受試對(duì)象接受的處理相同，但測(cè)量值仍各不相同，這種變異稱為組內(nèi)變異，也稱SS誤差。 用各組

6、內(nèi)各測(cè)量值Yij與其所在組的均數(shù)差值的平方和來表示，反映隨機(jī)誤差的影響。計(jì)算公式為三種三種“變異變異”之間的關(guān)系之間的關(guān)系離均差平方和離均差平方和分解分解：One-Factor ANOVA Partitions of Total VariationVariation Due to Treatment SSBVariation Due to Random Sampling SSWTotal Variation SSTFCommonly referred to as:oSum of Squares Within, oroSum of Squares Error, oroWithin Groups

7、VariationFCommonly referred to as:oSum of Squares Among, oroSum of Squares Between, oroSum of Squares Model, oroAmong Groups Variation=+ 均方差，均方均方差，均方( (mean square，MS) ) 二、二、F 值與值與F分布分布，.15F 分布曲線分布曲線10,10215, 1215, 52122121122/22/12121121)(222)(FFFf.16F 界值表界值表附表附表5 5 F F界值表（方差分析用，單側(cè)界值）界值表（方差分析用，單側(cè)界值

8、）上行：上行：P P=0.05 =0.05 下行：下行：P P=0.01=0.01分母自由度分母自由度2 2分子的自由度，分子的自由度，1 11 12 23 34 45 56 6 1 1161161200200216216225225230230234234 405240524999499954035403562556255764576458595859 2 218.5118.5119.0019.0019.1619.1619.2519.2519.3019.3019.3319.33 98.4998.4999.0099.0099.1799.1799.2599.2599.3099.3099.3399

9、.33 25254.244.243.393.392.992.992.762.762.602.602.492.49 7.777.775.575.574.684.684.184.183.853.853.633.63 5.17F F 分布曲線下面積與概率分布曲線下面積與概率.18.19第二節(jié)第二節(jié) 實(shí)例實(shí)例8.18.1的方差分析的方差分析.20H0： 即即4個(gè)試驗(yàn)組總體均數(shù)相等個(gè)試驗(yàn)組總體均數(shù)相等 H1：4個(gè)試驗(yàn)組總體均數(shù)個(gè)試驗(yàn)組總體均數(shù)不全相等不全相等 檢驗(yàn)水準(zhǔn)檢驗(yàn)水準(zhǔn) 12340.05一、一、 建立檢驗(yàn)假設(shè)建立檢驗(yàn)假設(shè).21SiS1S2S3S4合計(jì)值5.99 4.15 3.78 4.71 6.6

10、5 .22二、二、 計(jì)算離均差平方、自由度、均方計(jì)算離均差平方、自由度、均方.23三、計(jì)算三、計(jì)算F值值.24四、下結(jié)論四、下結(jié)論 注意：當(dāng)組數(shù)為注意：當(dāng)組數(shù)為2時(shí)，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方時(shí)，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的差分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的t檢驗(yàn)結(jié)果等檢驗(yàn)結(jié)果等價(jià)，對(duì)同一資料價(jià)，對(duì)同一資料,有：有：tF.25第三節(jié)第三節(jié) 平均值之間的多重比較平均值之間的多重比較不拒絕不拒絕H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足不足 分析終止。分析終止。拒絕拒絕H0，接受，接受H1, 表示總體均數(shù)不全相等表示總體均數(shù)不全相等哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩

11、兩均數(shù)之間不等？哪兩兩均數(shù)之間不等？ 需要進(jìn)一步作多重比較。需要進(jìn)一步作多重比較。.26控制累積控制累積類錯(cuò)誤概率增大的方法類錯(cuò)誤概率增大的方法采用采用Bonferroni法、法、SNK法和法和Tukey法等方法法等方法.27累積累積類錯(cuò)誤的概率為類錯(cuò)誤的概率為 當(dāng)有當(dāng)有k個(gè)均數(shù)需作兩兩比較時(shí)，比較的次數(shù)共有個(gè)均數(shù)需作兩兩比較時(shí)，比較的次數(shù)共有c= k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2設(shè)每次檢驗(yàn)所用設(shè)每次檢驗(yàn)所用類錯(cuò)誤的概率水準(zhǔn)為類錯(cuò)誤的概率水準(zhǔn)為，累積，累積類錯(cuò)誤的概率為類錯(cuò)誤的概率為，則在對(duì)同一實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行，則在對(duì)同一實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行c次檢次檢驗(yàn)時(shí)，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概率乘法

12、原理，驗(yàn)時(shí)，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積其累積類錯(cuò)誤概率類錯(cuò)誤概率與與c有下列關(guān)系：有下列關(guān)系：1(1)c (8.6)例如，設(shè)例如，設(shè)0.05，c=3(即即k=3)，其累積，其累積類錯(cuò)誤類錯(cuò)誤的概率為的概率為1(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.1432k .28一、一、BonferroniBonferroni法法方法：采用方法：采用/c作為下結(jié)論時(shí)所采用的作為下結(jié)論時(shí)所采用的檢驗(yàn)水準(zhǔn)。檢驗(yàn)水準(zhǔn)。c為兩兩比較次數(shù)，為兩兩比較次數(shù)， 為累積為累積I類錯(cuò)誤的概率。類錯(cuò)誤的概率。12,11ihiheYYYYtNaSMSnn組內(nèi)組內(nèi)（）.29例例8-18-1四個(gè)均值的

13、四個(gè)均值的BonferroniBonferroni法比較法比較 設(shè)設(shè)/c0.05/6=0.0083,由此由此t的臨的臨界值為界值為t（0.0083/2,20）=2.927118.528.0(:),244201122.3866(:C)0.072.9271,(:)1.3523.482.92713.402.92714.832.9.9271(:), (:),(:)1.432271.9271t A Bt At A Dt B Ct BtBDC D 同理只有有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，其他與其他各無統(tǒng)計(jì)組間差異學(xué)意義。.30BonferroniBonferroni法的適用性法的適用性 當(dāng)當(dāng)比較次數(shù)不多時(shí)比較次數(shù)不多時(shí)，B

14、onferroni法的效果法的效果較好。較好。 但當(dāng)?shù)?dāng)比較次數(shù)較多比較次數(shù)較多(例如在例如在10次以上次以上)時(shí)，時(shí)，則由于其檢驗(yàn)水準(zhǔn)選擇得過低，結(jié)論偏于保則由于其檢驗(yàn)水準(zhǔn)選擇得過低，結(jié)論偏于保守。守。.31二、二、SNKSNK法法 SNK(student-Newman-Keuls)法又稱q檢驗(yàn)，是根據(jù)q值的抽樣分布作出統(tǒng)計(jì)推論（例8-1）。1將各組的平均值按由大到小的順序排列由大到小的順序排列： 順序順序(1)(2)(3)(4) 平均值平均值28.018.718.514.8 原組號(hào)原組號(hào)BCAD2. 計(jì)算兩個(gè)平均值之間的差值及組間跨度差值及組間跨度k，見表8-3第(2)、 (3)兩列。3.

15、 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量q值值4. 根據(jù)計(jì)算的q值及查附表6得到的q界值（p286），作出統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷推斷。.32附表附表6.33.34第四節(jié)第四節(jié) 方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的假定條件一、方差分析的假定條件（上述條件與兩均數(shù)比較的上述條件與兩均數(shù)比較的t檢驗(yàn)檢驗(yàn)的應(yīng)用條件相同。）的應(yīng)用條件相同。）1.各處理組樣本來自隨機(jī)、獨(dú)立的正態(tài)總體(D法、W法、卡方檢驗(yàn))；2.各處理組樣本的總體方差相等（不等會(huì)增加I型錯(cuò)誤的概率，影響方差分析結(jié)果的判斷） 二、方差齊性檢驗(yàn)二、方差齊性檢驗(yàn)1. Bartlett檢驗(yàn)法2. Levene等3. 最大方差與最小方差之比

16、3,初步認(rèn)為方差齊同。.351. Bartlett 檢驗(yàn)法.362. Levene 檢驗(yàn)法 將原樣本觀察值作離均差變換，或離均差平方變換，然后執(zhí)行完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析，其檢驗(yàn)結(jié)果用于判斷方差是否齊性。 因?yàn)閘evene檢驗(yàn)對(duì)原數(shù)據(jù)是否為正態(tài)不靈敏，所以比較穩(wěn)健。目前均推薦采用LEVENE方差齊性檢驗(yàn).37 三、數(shù)據(jù)變換三、數(shù)據(jù)變換 改善數(shù)據(jù)的正態(tài)性或方差齊性。使之滿足方差分析的假定條件。 平方根反正弦變換適用于二項(xiàng)分布率（比例）數(shù)據(jù)。 平方根變換適用于泊松分布的計(jì)數(shù)資料 對(duì)數(shù)變換適用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料XY11sinsin180XYXY或10log ( )XY.38第五節(jié)第五節(jié) 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介將將120120名高血脂患者完全隨機(jī)分成名高血脂患者完全隨機(jī)分成4 4個(gè)例數(shù)相等的組個(gè)例數(shù)相等的組 1. 1. 編號(hào)：編號(hào)：120120名高血脂患者從名高血脂患者從1 1開始到開始到120120，見下面表第，見下面表第1 1行；行；2. 2. 取隨機(jī)數(shù)字：取隨機(jī)數(shù)字：從附表從附表1515中的任一行任中的任一行任一列開始，如第一列開始，如第5 5行第行第7 7列開始，依次列開始，依次讀取三位數(shù)作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)錄于編號(hào)讀取三位數(shù)作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)錄于編號(hào)