第六講：等差、等比數(shù)列的運(yùn)用公式大全

1、優(yōu)秀教案歡迎下載第六講：等差、等比數(shù)列的運(yùn)用1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：1nnaad（d為常數(shù)），11naand等差中項(xiàng)：xay， ，成等差數(shù)列2axy前 n項(xiàng)和11122nnaann nsnad性質(zhì)：na是等差數(shù)列（1）若 mnpq，則mnpqaaaa ；（2）數(shù)列12212,nnnaaa仍為等差數(shù)列，232nnnnnsssss，仍為等差數(shù)列，公差為dn2；（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為adaad， ，（4）若nnab，是等差數(shù)列，且前 n項(xiàng)和分別為nnst，則2121mmmmasbt（5）na為等差數(shù)列2nsanbn（ ab， 為常數(shù)，是關(guān)于 n的常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次函數(shù)）ns的最值可

2、求二次函數(shù)2nsanbn的最值；或者求出na中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)100ad，解不等式組100nnaa可得ns達(dá)到最大值時(shí)的 n值. 當(dāng)100ad，由100nnaa可得ns達(dá)到最小值時(shí)的 n值. （6） 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)n2的等差數(shù)列na，有),)()()(11122212為中間兩項(xiàng)nnnnnnnaaaanaanaansndss奇偶，1nnaass偶奇. （7）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)12n的等差數(shù)列na，有)()12(12為中間項(xiàng)nnnaans，優(yōu)秀教案歡迎下載nass偶奇，1nnss偶奇. 2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：1nnaqa（ q為常數(shù)，0q），11nnaa q.等比中項(xiàng)：xgy、成等比數(shù)列2gx

3、y，或 gxy.前 n項(xiàng)和：11(1)1(1)1nnna qsaqqq（要注意?。┬再|(zhì)：na是等比數(shù)列（1）若 mnpq，則mnpqaaaa（2）232nnnnnsssss，仍為等比數(shù)列 ,公比為nq. 注意：由ns求na時(shí)應(yīng)注意什么？1n時(shí)，11as；2n時(shí)，1nnnass.3求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1）求差（商）法如：數(shù)列na，12211125222nnaaan，求na解1n時(shí)，112 152a，114a2n時(shí)，12121111215222nnaaan得：122nna，12nna，114(1)2(2)nnnan練習(xí) 數(shù)列na滿足111543nnnssaa，求na注意到11nnnass，代

4、入得14nnss；又14s，ns是等比數(shù)列，4nns2n時(shí)，113 4nnnnass優(yōu)秀教案歡迎下載（2）疊乘法如：數(shù)列na中，1131nnanaan，求na解321211 212 3nnaaanaaan ，11naan又13a，3nan. （3）等差型遞推公式由110( )nnaaf naa，求na，用迭加法2n時(shí)，21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 兩邊相加得1(2)(3)( )naafff n0(2)(3)( )naafff n（4）等比型遞推公式1nnacad（ cd、為常數(shù)，010ccd，）可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)111nnnnaxc axacacx令(1)cxd，1

5、dxc，1ndac是首項(xiàng)為11dacc，為公比的等比數(shù)列1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒數(shù)法如：11212nnnaaaa，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，11112nnaa1na為等差數(shù)列，111a，公差為12，11111122nnna，21nan優(yōu)秀教案歡迎下載(附：公式法、利用1(2)1(1)nnssns nna、 累加法、累乘法 . 構(gòu)造等差或等比1nnapaq或1( )nnapaf n、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法) 4. 求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的常用方法(1) 裂項(xiàng)法把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的

6、項(xiàng). 如：na是公差為d的等差數(shù)列，求111nkkka a解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa11111ndaa練習(xí)求和：111112123123n121nnasn，（2）錯(cuò)位相減法若na為等差數(shù)列，nb為等比數(shù)列，求數(shù)列nna b （差比數(shù)列）前 n項(xiàng)和，可由nnsqs，求ns，其中 q為nb的公比 . 如：2311234nnsxxxnx23412341nnnx sxxxxnxnx2111nnnx sxxxnx1x時(shí)，2111nnnxnxsxx，1x時(shí)，11232nn nsn（3）倒序相加法

7、把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加. 優(yōu)秀教案歡迎下載121121nnnnnnsaaaasaaaa相加12112nnnnsaaaaaa練習(xí)已知22( )1xf xx，則111(1)(2)(3)(4)234fffffff由2222222111( )111111xxxf xfxxxxx原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和1. 倒序相加法 ：如果一個(gè)數(shù)列 an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)

8、的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具， 例如：等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“ 倒序相加法 ” 。2. 公式法：對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n 項(xiàng)和 sn可直接用等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。優(yōu)秀教案歡迎下載3. 裂項(xiàng)相消法 ：是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n 項(xiàng)和。4. 錯(cuò)位相減法： 是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。 即若在數(shù)列 an bn中，an成等差數(shù)列， bn成等比數(shù)列， 在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n 項(xiàng)和。5. 迭加法 ：主要應(yīng)用于數(shù)列 an滿足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n) ，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an，從而求出 sn。6. 分組求和法 ：是