考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、20XX 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題一、選擇題：18 小題，每小題4 分，共 32 分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。(1) 設(shè)函數(shù)f ( x)在,內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)f ( x) 的圖形如圖所示，則曲線yf ( x)的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C）【解析】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào)。因此，由f(x) 的圖形可得，曲線 yf ( x) 存在兩個(gè)拐點(diǎn).故選（ C） .(2) 設(shè) y1 e2x(x1)ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方

2、程yay by cex的一23個(gè)特解，則()(A)a3,b2, c1(B)a3, b2, c1(C)a3,b2, c1(D)a3, b2, c 1【答案】（A ）【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問(wèn)題已知解來(lái)確定微分方程的系數(shù)，此類(lèi)題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來(lái)求解，也就是下面演示的解法.【解析】 由題意可知，1 e2 x 、1 ex 為二階常系數(shù)齊次微分方程 y ayby 0 的解，所以 2,123為 特 征 方 程 r 2arb 0 的 根 ， 從 而 a (12)3， b 1 22 ，

3、從而原方程變?yōu)閥 3y 2 ycex ，再將特解 y xex 代入得 c1 .故選（ A）(3) 若級(jí)數(shù)an 條件收斂，則x3 與x3 依次為冪級(jí)數(shù)nan( x1)n 的()n 1n 1(A) 收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B) 收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(C) 發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D) 發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】（B ）【分析】此題考查冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥?因?yàn)閍n 條件收斂， 即 x2 為冪級(jí)數(shù)an ( x 1) n 的條件收斂點(diǎn)， 所以an ( x 1)nn 1n 1n 1的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為 (0, 2) 。而冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故nan (x 1)n 的收n 1斂區(qū)間還是

4、(0, 2) 。因而 x3 與 x3依次為冪級(jí)數(shù)nan ( x 1)n 的收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn) .故選（B ）。n 1(4) 設(shè) D 是第一象限由曲線 2 xy1， 4 xy1與直線 yx ， y3x 圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f x, y在D上連續(xù)，則,fx y dxdy()D1(A)3dsin2fr cos , r sinrdr142sin21(B)3 dsin 2fr cos,r sinrdr142sin 21(C)3dsin2fr cos, r sindr142sin 21(D)3dsin2fr cos , r sindr142sin 2【答案】（B ）【分析】此題考查將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累

5、次積分【解析】先畫(huà)出D 的圖形，1所以f ( x, y)dxdy3 dsin 2f (r cos ,r sin)rdr ，故選（ B）1D42sin 21111(5)設(shè)矩陣A 12a， bd ，若集合1,2 ，則線性方程組 Axb 有14a2d 2無(wú)窮多解的充分必要條件為( )(A) a, d(B) a, d(C) a, d(D) a, d【答案】 D11111111【解析】 ( A, b)12ad01a 1d114a2d 200(a1)(a2)(d 1)(d2)，由 r ( A)r ( A, b)3 ，故 a1 或 a2 ，同時(shí) d1 或 d2 。故選（ D）(6) 設(shè)二次型 fx1, x2

6、 , x3在正交變換為 xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12y22y32 ，其中12 3，若13 2，則123在正交變換xQy 下的標(biāo)準(zhǔn)P e , e ,eQ e , e ,ef x , x , x形為( )(A)2 y12y22y32(B) 2y12 y22 y32(C) 2y12 y22 y32(D)2 y12y22y32【答案】 (A)【解析】由xPy，故 fxT AxyT (PT AP) y 2 y2y2y2.且123200PT AP010001 .100Q P 001PC010200QT AQ CT (PT AP)C0 10001所以 fxT AxyT (Q T AQ ) y2y12y22y3

7、2 。選（ A ）(7)若 A,B 為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則()(A)P ABPAPB(B)P ABPAPB(C)P( AB)P( A)P( B)(D)PABPAPB22【答案】 (C)【解析】由于 ABA, ABB ，按概率的基本性質(zhì)， 我們有 P( AB)P( A) 且 P( AB)P(B) ，P( A)P( B)從而 P( AB)2，選 (C) .(8) 設(shè)隨機(jī)變量X ,Y 不相關(guān)，且EX2, EY1, DX3，則 EX X Y2()(A)3(B) 3(C)5(D)5【答案】 (D)【解析】 EX(X Y2)E(X 2XY2 X )E(X 2)E( XY)2E(X )D(X)E2(X)E(

8、X )E(Y) 2E( X )3222 1225，選 (D) .二、填空題：914 小題 ,每小題 4 分 ,共 24 分 .請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上 .(9) limln cos x_.x2x 0【答案】12【分析】此題考查0 型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法則，也可以用等價(jià)無(wú)窮小替換.0ln(cos x)sin xtan x1limcos xlim.（羅比達(dá)法則）【解析】方法一：2limx0xx 02xx02x2ln(cos x)ln(1 cosx 1)cos x 11 x2limlimlim21方法二： lim2222.（等價(jià)無(wú)窮小替x0xx0xx 0xx 0x2換）(10)2(sin

9、 xx )dx_.21cosx2【答案】4【分析】此題考查定積分的計(jì)算，需要用奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的性質(zhì)化簡(jiǎn).【解析】22sin x22 xdx.x dx 21 cosx04(11)若函數(shù) zz( x, y) 由方程確定，則 dz (0,1)_.【答案】dx【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo) .【解析】令F( , )zxyzxcosx2 ，則x y z eFx (x, y, z)yz1sin x, Fyxz, Fz ( x, y, z) ezxy又當(dāng) x0, y 1 時(shí) ez1 ，即 z 0.zFx (0,1,0)1,zFy (0,1,0)所以x (0,1)Fz (0,1,0)y(0,1)0 ，因而

10、dz (0,1) dx.Fz (0,1,0)(12) 設(shè)是 由 平 面 xyz1與三 個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則( x2 y3z)dxdydz_.【答案】14【分析】此題考查三重積分的計(jì)算，可直接計(jì)算，也可以利用輪換對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)后再計(jì)算【解析】由輪換對(duì)稱(chēng)性，得(x2 y3z) dxdydz6zdxdydz61dxdy ，zdz0Dz其中 Dz 為平面 zz截空間區(qū)域所得的截面，其面積為1 (1z) 2.所以2( x 2 y3z) dxdydz6zdxdydz11 (1 z)2 dz12z2z)dz6 z3 (z302020021202(13) n 階行列式_.00220012【答案】 2n

11、12【解析】 按第一行展開(kāi)得.1 .420021202Dn2Dn 1 ( 1)n 1 2( 1)n 12Dn 1 2002200122(2 Dn 22)222 Dn 22222n2n 122n 12(14)設(shè)二維隨機(jī)變量( x, y) 服從正態(tài)分布(1,0 ;1,1,0)，則 P XYY0_.N【答案】12【解析】由題設(shè)知，X N (1,1),Y N (0,1) ，而且 X、 Y 相互獨(dú)立，從而P XYY0P( X1)Y0PX 10, Y0P X10, Y0PX1PY 0P X1P Y111110 222.22三、解答題：15 23 小題 ,共 94 分 .請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上 .解答

12、應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)( 本題滿(mǎn)分10 分 ) 設(shè)函數(shù)fxxa ln(1x)bx sin x ， g( x)kx3 ，若 fx 與 gx 在x 0 是等價(jià)無(wú)窮小，求 a,b,k 的值 .【答案】 a1, b1, k1 .23limxaln 1 xbx sin x【解析】法一：原式kx31 （泰勒展開(kāi)法）x 0x a xx2x3o x3bx xx3o x3lim2361kx3x01 a x ba x2a x3b x4o x3lim2361kx3x0即 1a 0, ba0, a123ka1,b1 ,k123(16)( 本題滿(mǎn)分10分)設(shè)函數(shù) fx在定義域 I 上的導(dǎo)數(shù)大于零，

13、 若對(duì)任意的 x0I ，由線 y=fx在點(diǎn) x0, f x0處的切線與直線xx0 及 x 軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且 f02 ，求 fx的表達(dá)式 .【答案】f( x)8.4x【解析】設(shè)fx在點(diǎn)x0 , fx0處的切線方程為：y fx0f x0 xx0,令 y0，得到 xfx0x0 ，fx0故由題意，1x0x0x1x0fx04，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，f4 ，即 ffx022即 yy2，兩邊同時(shí)積分可得，將，代入上式可得88即 f x.x4(17)( 本題滿(mǎn)分10 分)已知函數(shù)f x , yx y xy ，曲線 C： x 2y 2xy3 ，求 f x , y在曲線 C 上的最大方向?qū)?shù).【答案

14、】 3【解析】因?yàn)閒x, y沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.fx ' x, y1 y, f y ' x, y1 x ，故 gradf x, y1y,1x ，模為1y212，xgx, y121x2y2xy3 下的最大值 .此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)y在約束條件 C : x2即為條件極值問(wèn)題 .為了計(jì)算簡(jiǎn)單， 可以轉(zhuǎn)化為對(duì) d ( x, y)1y212在約束條件 C : x2y 2xy3 下的最x大值 .構(gòu)造函數(shù)： Fx, y,1y22x2y2xy31xFx2 1x2xy0Fy2 1y2 yx0 ，得到 M11,1 ,M21,1 ,M32,1 ,M41,2.Fx2y2xy

15、30d M18,dM 20, dM 39, d M 49所以最大值為9 3.(18)( 本題滿(mǎn)分10 分)（ I ）設(shè)函數(shù) u( x) , v( x) 可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明 u( x)(v x)u ( x)(v x)u( x)v( x)（ II ）設(shè)函數(shù) u( x) , u( x), u ( x)可導(dǎo)， f( x)u1( x)u2( x)u( x) ，寫(xiě)出 f ( x ) 的求導(dǎo)公12nn式 .【解析】（ I ） u( x)v( x)limu(xh)v( xh)u(x)v( x)h 0hlim u( xh)v( xh)u(xh)v( x)u( xh)v( x)u( x)v(x)h 0hlim

16、 u( xh) v( xh)v( x)lim u( xh)u(x) v( x)h 0hh0hu( x)v ( x)u (x)v(x)（ II ）由題意得f( x) u1 ( x)u2 ( x)un (x)u1 ( x)u2 ( x) un ( x) u1 ( x)u2 ( x)un ( x)u1( x)u2 ( x) un ( x)(19)( 本題滿(mǎn)分 10分 )已知曲線 L的方程為z2x2y2 , 起點(diǎn)為 A 0,2,0，終點(diǎn)為 B0,2,0，計(jì)算zx,曲線積分 Iyz dxz2x2ydy( x2y 2 )dz .L【答案】2 2xcos: 【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程y2 sin，zcos2

17、22 ( 2 sincos)sin2sincos(1sin2)sind222 sin2sincos(1 sin2)sind22 222 sin2d02(20) (本題滿(mǎn) 11 分)設(shè)向量組 1 , , 內(nèi)3+2k ， =2 ，.23R的一個(gè)基， =23=1+11322k+13（ I ）證明向量組123為 R3的一個(gè)基 ;（ II ）當(dāng) k 為何值時(shí)，存在非0向量 在基1, , 1 23 下的坐標(biāo)相同，并求所有的23 與基.【答案】【解析】 (I) 證明：1,2 , 32 1 +2k 3 , 2 2 , 1 + k132011,2,30202k0k1201210202402kk12k0k1故 ,

18、 , 為 R 3 的一個(gè)基 .123（ II ）由題意知，k1 1k 22k 33k11k 22k 33 ,0即k111k222k3330,ki0,i1,2,3k121 +2k31k22 22k31 +k+1330k11 +2 k3k22k31+k 30有非零解即1 +2k3,2 ,1 +k 30101即0100 ，得 k=02k0kk11k22k310k20, k1k30k11k13 ,k10(21) ( 本題滿(mǎn)分 11 分)023120設(shè)矩陣A133相似于矩陣 B =0b0 .12a031(I) 求 a, b 的值；（ II ）求可逆矩陣P ，使 P 1AP 為對(duì)角矩陣 . .【解析】 (I)，可得023120A B1330b012a031ab1a42ab3b5(II)023100123A1 33010123E C1230011231231C12311231231C 的特征值120, 340時(shí) (0EC ) x0 的基礎(chǔ)解系為5時(shí)(4EC ) x0 的基礎(chǔ)解系為1(2,1,0) T ; 2( 3,0,1