空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、知識(shí)要點(diǎn)：1.平面的基本性質(zhì)：公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理 2：過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系：空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：如圖： AB 與 BC 相交于 B 點(diǎn)， AB 與 AB平行， AB 與 BC異面。1 / 9公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。3.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：（ 1）直線在平面

2、內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；（ 2）直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（ 3）直線與平面平行沒有公共點(diǎn)。其中直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。注意，我們不提倡如下畫法4.平面與平面之間的位置關(guān)系：（ 1）兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)；（ 2）兩個(gè)平面相交有一條公共直線。2 / 9二、例題講解：例 1、根據(jù)圖形，寫出圖形中點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系圖 1 可以用幾何符號(hào)表示為： _ 圖 2 可以用幾何符號(hào)表示為： _ 分析： 本題關(guān)鍵是找出圖中基本元素點(diǎn)、直線、平面，然后再仔細(xì)分析點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面的位置關(guān)系，最后用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言寫出解： 圖 1 可以用幾何符號(hào)表示為：即：平面與平面相

3、交于直線AB ，直線a 在平面內(nèi)，直線b 在平面內(nèi)，直線a 平行于直線AB ，直線b 平行于直線AB 圖2可以用幾何符號(hào)表示為：，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件即：平面與平面相交于直線MN ， ABC 的頂點(diǎn)A 在直線 MN 上，點(diǎn)B 在內(nèi)但不在直線 MN 上，點(diǎn) C 在平面內(nèi)但不在直線MN 上例 2、觀察下面的三個(gè)圖形，說(shuō)出它們有何異同3 / 9分析： 圖 1 既可能是平面圖形，也可能是一個(gè)空間圖形的直觀圖；圖2、圖 3 均用了一條直線襯托，它們都是空間圖形的直觀圖解： 圖 1 可能是平面圖形，也可能是空間圖形的直觀圖；圖2 是 MN 凸在外面的一個(gè)空間圖形的直觀圖；圖3 是 MN 凹在里面的一個(gè)

4、空間圖形的直觀圖點(diǎn)評(píng)：（ 1）本題隱含了三個(gè)平面兩兩相交的直觀圖畫法及平面的畫法、立體幾何圖的畫法而這些畫法的掌握程度將影響對(duì)空間結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)、對(duì)空間圖形的分析和對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)（ 2）與本題類似的其它變形還有：用虛線畫出圖4 正方體和圖5 三棱錐中被遮擋的棱，完成圖形例 3、正方體 ABCD-A 1B1C1D 1 中，（ 1） DD 1 和 A1B1 的位置關(guān)系如何？D 1B 和 AC 的位置關(guān)系如何？A 1C 和 D 1B 的位置關(guān)系如何？（ 2）和 AD 成異面直線的棱所在直線有幾條？（ 3）和 BD 1 成異面直線的棱所在直線有幾條？（ 4）六個(gè)面的正方形對(duì)角線共12 條，這些對(duì)角線所在

5、直線中，異面直線共有多少對(duì)？4 / 9解析：我們知道空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種， 判斷的依據(jù)是看兩條直線是共面還是異面及是否有公共點(diǎn)。（ 1）異面直線；異面直線；相交直線；（ 2） 4 條分別是 A 1B1、 B1B、 C1D 1、 C1C；（ 3） 6 條分別是 AA 1、 CC1、 A1B1、 B1C1、 AD 、 CD；（ 4） 30 對(duì)。例 4、已知：如圖，立體圖形A BCD 的四個(gè)面分別是ABC 、 ACD 、 ABD 和 BCD，E、 F、 G 分別為線段AB 、 AC 、 AD 上的點(diǎn)， EF BC ， FG CD 求證： EFG BCD 證明： 在平面ABC中， EF

6、BC，又在平面ACD 中， FG CD ， = EGBD EFG = BCD 同理 FGE = CDB ， EFG BCD 5 / 9與本例類似變形還有：已知：將一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD 對(duì)折一次，EF 為折痕再打開豎直在桌面上，如圖所示，連結(jié) AD 、BC求證： ADBC ， ADE BCF （證明略）三、練習(xí)：1下列圖形中， 滿足的圖形是 （）（ A）（B）（ C）（D）2已知 A 、B 表示點(diǎn)， b 表示直線，、表示平面， 下列命題和表示方法都正確的是（）（A）（B）（ C）（D）3用符號(hào)表示“若 A 、 B 是平面內(nèi)的兩點(diǎn)， C 是直線 AB 上的點(diǎn)，則C 必在內(nèi) ”，即是_ 4 “a

7、， b 為異面直線 ”是指：6 / 9（ 1）且 a 不平行于 b；（ 2）且；（ 3）且；（ 4）；（ 5）不存在平面，使且成立上述結(jié)論中，正確的是（）（ A）（ 1）（ 4）（ 5）（ B）（ 1）（ 3）（ 4）（ C）（ 2）（ 4）（D）（ 1）（ 5）5一條直線和兩條異面直線的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）（ A）平行或異面（ B）異面（ C）相交（ D ）相交或異面6如圖，空間四邊形ABCD中， M 、 N 分別是 ABC 和 ACD 的重心，若BD m，則MN _ 7.如圖，是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AF 、 BC 、 DE 這三條線段所在直線是異

8、面直線的是_ ，它們所成的角為_ 度。四、練習(xí)答案：7 / 91. 提示 : 根據(jù)平面的無(wú)限延展性及平面畫法來(lái)判斷答案 :（ C）2. 提示： 根據(jù)點(diǎn)與平面應(yīng)用“ ”“ ”連接排除A ；根據(jù)公理兩個(gè)平面相交為一條直線，排除B ；再跟據(jù)圖形可排除D ，因?yàn)?A 有可能在平面上答案：（ C）3. 提示 : 熟悉點(diǎn)與線，點(diǎn)與平面的關(guān)系，正確使用“ ”、 “”等符號(hào)答案:.4. 提示：根據(jù)異面直線定義“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫異面直線”，結(jié)合圖形可排除（2）、（ 3）、（ 4）（2）中可能有a b，（ 3）中可能有a b，（ 4）可能有 a 與 b 相交或平行）（5）是正確的，再由直線位置關(guān)系可得（1）也是正確的答案：（ D ）5. 提示：由公理可排除（ A ），再結(jié)合圖形可利用平移方法驗(yàn)證答案：（ D ）6. 提示：重心是三條中線的交點(diǎn)，并分每條中線的比為2 3連結(jié) AM 并延長(zhǎng)交BC 于 E，連結(jié) AN 并延長(zhǎng)交CD 于 F，再連結(jié)MN 、 EF，根據(jù)三角形重心