空間向量例題更新

1、.空間向量在立體幾何解題中的應(yīng)用一、空間向量的基礎(chǔ)知識1. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a =( a1 ， a2 ，a3)， b =( b1 ， b2， b3)，則a b =( a1 + b 1， a2 + b2， a3 + b3)； a b =( a1- b1， a2- b 2， a3- b3 )； a ·b = a1 b1+ a2 b2+ a3 b3 ，a1= b1， a2= b 2， a3 = b3(R ) 或 a1a2a3 ，aba1 b1 + a2b2+ a3b3 =0 a bb1b2b32. 夾角和距離公式aa12a22a32 ;ababcosa,ba1 b1a2 b2a3b3

2、 夾角公式 cos<a ， b >=a1b1a2b2a3b3a12a22a32b12b22b32 距離公式設(shè) A(x1， y1 ，z1)， B(x2， y2， z2)，則 | AB |=(x2 x1) 2( y2y1 )2(z2 z1 )2 向量與坐標(biāo)關(guān)系 ，設(shè) A(x1， y1，z1)， B(x2 ， y2， z2 )，則 AB(x2x1 , y2y1 , z2z1 )M 為中點(diǎn)時(shí)得 中點(diǎn)坐標(biāo) ： x= x1x2 ， y=y1y2， z= z1z2 即（ x1x2， y1y2 ，22222z1 z2 ）2由中點(diǎn)公式 ，可得以 A(x1，y1，1)，B(x2，y2 ，2，3，3，3

3、為頂點(diǎn)的三角形重心的公式 ：zz) C(xyz )x= x1x2 x3 ， y= y1y2y3 ， z= z1z2z3 即（ x1x2x3 ， y1y2y3 ，33333z1 z2z3 ）33 平面法向量的概念和求法向量與平面垂直：如果表示向量n 的有向線段所在的直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作 n 平面的法向量 ：如果 n ，那么向量 n 叫做平面的法向量 .下載可編輯 .一個(gè)平面的法向量有無數(shù)條，它們的方向相同或相反一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，進(jìn)而就可以利用平面的法向量解決相關(guān)立體幾何問題 推導(dǎo)平面法向量的方法如下：在選定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量 n

4、=( x， y ，z)或 n =( x， y， 1) 或 n =( x， 1 ， z) ，或 n =(1 ， y， z) ，在平面內(nèi)任選定兩個(gè)不共線的向量a ，b 由 n ，得 na =0 且 nb =0 ，由此得到關(guān)于x， y 的方程組 ，解此方程組即可得到n 例 1 在棱長為1 的正方體 ABCD A1B1 C1 D1 中，求平面 A1C1D 的法向量 n 和單位法向量 n 0解：建立空間直角坐標(biāo)系 ，如圖 1，則zD(0， 0， 0)， A1(1， 0， 1)， C1(0， 1， 1)，D 1C1A1B1設(shè) n 面 A1C1D， n=( x， y， z) 得 n DA1 ， n DC1

5、CD又 DA =(1 ， 0， 1)， DC=(0 ，1，1)Ay11 n DA10;得 xz0xz ，令 z=1x1 xB圖 1n DC10y z 0yzy 1n =( 1， 1， 1) ， n 0 =n1,1,1)(3 ,3, 3)= (n111333二、空間向量在立體幾何解題中的應(yīng)用( 一 )空間角1 異面直線所成的角設(shè)點(diǎn) A，B直線 a， C， D直線 b，構(gòu)造向量 AB ， CD cos< AB ， CD >=AB CD，| AB |CD |< AB ， CD > 所對應(yīng)的銳角或直角即為直線a(AB)與 b(CD)所成的角 z例 2 在例 1 中，設(shè) ACBD

6、= O，求異面直線 D1 O， DC1D1C1所成的角的余弦A1B1值.下載可編輯 .DCAyxB圖 1.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-AC 1 ， D(0， 0，0)， 1(0， 0， 1)，11C1(0， 1， 1)， (1， 0， 0),C(0， 1，0),則 0( ,0)1 ， 122D1O =(， 1)， DC1 =(0 ，1， 1)221cos< D1O ， DC1>= D 1O DC 1|D1O|DC1|3223 ，62異面直線 D1O， DC1 所成的角余弦值為362 線面所成的角如圖 ， AB 為平面的斜線， n 為平面的法向量 ，如果 AB 與 n 之間所成的角

7、為銳角 ，則斜線 AB 與平面 之間所成的角 =2 即利用向量 AB 與 n 求出的是角，實(shí)際上所求的角是若 為銳角，則 = ，sin=cos；2B若 為鈍角，則 =( )=，sin = cos n22總之有，sin =|cos<ABnAAB ， n >|=ABn例3. 在例 1中，設(shè)、F分別為C1 D1、 B1C1的中點(diǎn)，求A1 D 與平面 EFBD所成的角 E解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-AC 1， D(0， 0， 0)， 1(0， 0，z1)， B(1， 1， 0)C1(0，1， 1)， B1(1，1， 1),則 E(0，11D 1EC1， 1)， F(，22A1F1，1)，

8、B1設(shè) n 面 EFBD， n =( x， y，z)，得 n DB ， n DE DCAy又 DB =(1 ，1，0)， DE =(0 ， 1 ，1)xB圖 22.下載可編輯 .nDB0xy0xyx21 ，令 y=2DE; 得 1yz 0zz1n02y2n =( 2， 2 ， 1) ，又 DA1=(1 ，0，1)，| DA1n|32msinn=| n |2|DA1|2 3即=1l則所求的A D 與平面 EFBD所成的角為443 二面角的求法 ：二面角 l ，平面 的法向量 m ，平面的法向量 n 則二面角 l的平面角=<mnm ， n > 所以 ， cos< m ， n &g

9、t;=mn若將法向量的起點(diǎn)放在兩個(gè)半平面上(不要選擇起點(diǎn)在棱上)，當(dāng)兩個(gè)法向量的方向都指向二面角內(nèi)或外時(shí)，則< m ， n > 為二面角的平面角的補(bǔ)角；當(dāng)兩個(gè)法向量的方向一個(gè)指向二面角內(nèi)，另一個(gè)指向外時(shí)，則 < m ， n > 為二面角的平面角故在所求的二面角的平面角時(shí)，先求法向量的余弦值后利用圖形觀察其為銳角或鈍角例 4. 在例 1 中，求二面角D1 AC D 的大小的余弦值解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-AC 1 ， D(0， 0 ，0) ， 1(0 ， 0， 1)， A(1 ， 0， 0),C(0,1,0) n1 面 ACD1 ， n =( x， y， z)，得 n

10、1 AC ， n1 AD1 又 AC （ 1,1,0 ）， AD1（ ,0,1）n1AC0xy0yx， 1 ，; 得； 令 n1 =(1n1AD10xz0zx1)，由已知可易得平面 DAC 的法向量是 n2=(0 ，0，1)，.下載可編輯 .cos< n1 n 2 >, = nn(1,1,1) (0,0,1)3 ，1212|33| n | n由圖知所求的角為銳角 ，則所求的余弦值為3 3練習(xí) 1： 如圖，在長方體ABCD-A 1 B1C1D 1 中， AB=5 ， AD=8 ， AA 1=4 ， M 為 B1C1 上一點(diǎn) ，且B1M=2 ，點(diǎn) N 在線段 A 1D上，且 N(0,8

11、,16) ，求：5 51) 求直線 A 1D 與 AM 所成角的余弦值 ；2) 直線 AD 與平面 ANM 所成的角的正切 ；3) 平面 ANM 與平面 ABCD 所成角 （銳角 ）的余弦值 .下載可編輯 .( 二 )空間距離線到面的距離點(diǎn)到面的距離面到面的距離線到線的距離1 點(diǎn)到面的距離設(shè) A 是平面外一點(diǎn) ， AB 是的一條斜線 ，交平面于點(diǎn) B，而 n 是平面的法向量 ，那么向量 BA 在 n 方向上的正射影長就是點(diǎn)A 到平面的距離為 d所以 d= | BA | |cosBA, n | BAn |A| n |例 5.例1中，設(shè) 、分別是BCDdGH1、的中點(diǎn) ，A1Bn求點(diǎn) B 到截面

12、AGC1H 的距離 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-AC 1， D(0， 0， 0)， C(0， 1， 0),B1(1， 1， 1)，A1 (1， 0， 1)，則 H(0， 1 ， 0)， G(1， 1 ， 1)，D 1z22C1A(10 0)， 設(shè) n 面AGG1H，則n AG， n AHA1B1， ，令 n =(x ， y， z)，則 AG =(0 ， 1，1)， AH =( 1，1，0)有：DC22AyxB圖 1.下載可編輯 .1 yz 0z1 yn AG =0 ， nAH =0， 21 y2令 y 2x0x1 y22n =(1 ，2 ， -1) ，又 AB =(0 ， 1， 0)，所以點(diǎn)

13、 B 到截面 AGC1的距離為d=ABn26 故所求距離為6H| AB |n |1633練習(xí) 2：在例 1中，求點(diǎn) A1 到平面 ACD1 的距離 2 異面直線間的距離如圖 3 ，若 CD 是異面直線 a、 b垂線段 ， A、 B 分別為 a、 b 上的任意兩點(diǎn) CA令向量的公ann a，nb ，則n CDb AB= AC+CD+ DB，BD ABn = AC ·n + CDn + DBn ，圖 3 ABn = CDn ，ABn|=| CD |CD |=| ABn | 兩異面直線a b間的距離為 ：d=| AB n | |n，|、| n | n |其中 n 與 a、 b 均垂直 (即

14、 a， b 的公垂向量 )， A、 B 分別為兩異面直線上的任意兩點(diǎn)例 6在例 1 中，求直線 DA1和 AC間的距離 .下載可編輯 .解： AC =( 1，1， 0)， DA1=(1 ， 0 ，1) 設(shè) DA1 和 AC 公垂線段上的向量為n =( x，y， z)，由nAC0，即xy0yx 令x 1可取 n =(1 ， 1， 1)，nDA10xz0zx又=(001)| AA1n |3AA1，所以點(diǎn)A 到平面 A1C1D 的距離為 d =， ，| n |3即直線 DA 1 和 AC 間的距離為33練習(xí) 3 如圖 4 ，正四棱錐 S ABCD 的高 SO=2 ，底邊長 AB=2 ，求異面直線 B

15、D 和 SC之間的距離zSCDOyABx圖 43 線面距離直線 a 與平面平行時(shí) ，直線上任意一點(diǎn)A 到平面的距離就是直線a 與平面之間的距離 其求法與點(diǎn)到面的距離求法相同4 平面與平面間的距離平面與平面平行時(shí) ，其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到平面的距離就是平面與平面間的距離 其求法與點(diǎn)到面的距離求法相同1 ）用法向量求直線到平面間的距離，首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問.下載可編輯 .題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題2 ）用法向量求兩平行平面間的距離，首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn) ，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題z例 8在例 1 中

16、，設(shè) P、Q、R 分別是 A1 1、 1和 1上任一點(diǎn) ，D 1C1CA DB APA1B1(1) 求證：平面 A1PQ平面 B1RC； (2)求平面 A1PQ 與平面 B1RC 間的距離QRyCD解： (1) 由前面例題知 AC11 =( 1，1，0)， B1C =( 1，0， 1)，ABxA1D =( 1，0， 1)， B1A=(0 ， 1， 1)，設(shè) A1PAC11 ， AQ1A1D ， B1RB1A (、 、R，且均不為 0)設(shè) n1 、 n2 分別是平面A1PQ 與平面 B1RC 的法向量 ，n1A1P 0n1A1C10n1A1C1 0由n1A1Q 0即即，可解得 ： n1 =(1

17、， 1， 1)，n1A1D 0n1A1D 0n2B1R 0n2B1A 0n2B1A 0由n2即即n2，可解得 n2 =( 1 ，1， 1)，B1C 0n2 B1C 0B1C 0所以 n1 = n2 ， n1 n2 ，所以平面 A1PQ平面 B1RC如果求證的是兩個(gè)平面垂直，也可以求出兩個(gè)平面的法向量后，利用 n1 n2 n1 n2 =0來證明(2)A(1，0， 0)， D(0，0， 0)，A1(1， 0， 1)，C1(0，1， 1)，DA1 =(1 ，0， 1)， DC1 =(0 ，0， 1)， AD =(1 ， 0， 0)，設(shè)平面C D的一個(gè)法向量n =( xy，1)，A1 1，則 nDA

18、10 ，即( x , y ,1 )(1, 0,1 )0x1 ，n =(-1 ， -1 ， 1)nDC 10( x , y ,1 )(0,1 ,1 )0y1.下載可編輯 .| ADn |( 1,0,0)( 1,1,1)3平面 AB1C 與平面 A1C1D 間的距離 d =( 1)2( 1)2123| n |將平面 AB1 C 與平面 A1 C1D 間的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A 到平面 A 1C1D 的距離 例 9. 已知斜三棱柱 ABCA1 B1C1 ， BCA90，AC BC2， A1 在底面 ABC 上的射影恰為AC 的中點(diǎn) D ，又知 BA1AC1 。（ I）求證 ： AC1平面A1 BC ；（ I

19、I）求 CC1 到平面 A1 AB 的距離證明：（I）如圖，取 AB 的中點(diǎn)E ，則 DE/ BC ，因?yàn)锽CAC，所以 DEAC ，又 A1D平面 ABC ，以 DE , DC , DA1 為 x, y, z 軸 建 立 空 間 坐 標(biāo) 系 ， 則A 0, 1,0，C 0,1,0，B 2,1,0，A1 0,0, t，C1 0,2, t ，AC10,3,t， BA12,1,t， CB2,0,0，由AC CB0，知 A1CCB ，又 BA1AC1 ，從而 AC1平面 A1BC ；1（II）由 AC1BA13 t 20 ，得 t3 。設(shè)平面 A1 AB 的法向量為 nx, y, z ， AA1 0

20、,1, 3， AB2,2,0 ，所以nAA1y3z0，則 n3,3,1nAB2x2 y，設(shè) z 10所以點(diǎn) C1 到平面 A1AB 的距離 dAC1n221 。n7( 三 )證明面面平行或面面垂直；線面平行或線面垂直等若兩平面、 的法向量分別為 n1 、 n2 ，則(1) 當(dāng) n1n2 =0 時(shí)，平面 平面 ；(2)當(dāng) n1 =n2 ，即它們共線時(shí) ，平面 平面 .下載可編輯 .若平面的一法向量為n ，直線 AB 在平面外，則(1) 當(dāng) nAB =0 時(shí)， AB平面；(2) 當(dāng) n =AB ，即它們共線時(shí) ， AB平面 AB平面內(nèi)的兩條相交直線，則 AB平面.下載可編輯 .例 9 如圖 ，正三

21、棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長為AA13，側(cè)棱長為 33 ，D 是 CB延長線上一點(diǎn) ，且CC12BD= BCBB1求直線 BC1 與平面 AB1D 之間的距離 ；D解：由題設(shè)知 ， AD， AC， AA1 兩兩垂直 ，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1 DCA1，則A(0， 0， 0)， B(3333 ，0，0)，2， ， 0)， C(0， 3， 0)， D(32B1(3 3，3，33 )，C1(0，3， 33 ) 可求得平面 AB1D 的一個(gè)法向量為n =(0 ，3 ，-1)2222直線 BC1 與平面 AB1 D 之間的距離為| nAB | (0,3, 1)( 33,3,0)|3322d =|

22、 n | (0,3,1) |4.下載可編輯 .(2) 平面 ABD 的一個(gè)法向量為33AA1 =(0 ，0，)，2| AA1n |333 3 cos<AA1 ， n>=2，| n |2433二面角 B1 AD B 的大小為 arccos4333339的一個(gè)法向量 ，點(diǎn) C 到(3)取 AB 中點(diǎn) M(，0)，則 MC=(-， 0)是平面 ABB14444平面 ABB1 的距離為.下載可編輯 .| BCMC |( 3 3,3,0)(33,9,0) |2722444=1 ，h=|MC | (33 , 9,0) |27444又 SABB19 3，三棱錐1 1 的體積為 33 =CABB4

23、4.下載可編輯 .例 10 如圖 8，已知ABCD是矩形 ， 平面ABCD，PDPPD= DC= a， AD= 2 a， M 、N 分別是 AD、 PB 的中點(diǎn) N求證 ：平面 MNC平面 PBCDC證明 ：建立空間直角坐標(biāo)系D ACP，則MAB圖 8.下載可編輯 .P(0， 0 ， a)， B(2 a， a， 0)， C(0 ，a， 0) ，M (2 a， 0， 0) ，N (2 a， a ， a )2222PB =(2a，a， a，BC =(-2a，0)，- )0NC =(2 a， a ， - a )， MC =(-2 a， a， 0)，2222設(shè) n1=( x， y， 1)為平面 PBC

24、 的法向量 ，則 n 1· =0 ， n1· =0，PBBC2ax yaa0，解之得 :x0，n1=(0 ， 1， 1)2ax0y1同理可求平面MNC 的一個(gè)法向量：n2 =(-2 ， -1，1)，而 n1·n2=0-1+1=0，n1 n2，故平面 PBC平面 MNC若 ，則 n n ；反之也成立 若 ，則 n n；反之也成立 利用法向量來解決上述五種立體幾何題目，最大的優(yōu)點(diǎn)就是不用象在進(jìn)行幾何推理時(shí)那樣去確定垂足的位置，完全依靠計(jì)算就可以解決問題但是也有局限性，高中階段用代數(shù)推理解立體幾何題目 ，關(guān)鍵就是得建立空間直角坐標(biāo)系，把向量通過坐標(biāo)形式表示出來，所以能用

25、這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正(長 )方體、直棱柱 、正棱錐等 事實(shí)證明 ，法向量在求角、距離以及證明平行垂直中都有非常廣泛的應(yīng)用，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的出現(xiàn) ，是對傳統(tǒng)的立體幾何知識一個(gè)很好的補(bǔ)充及加深.下載可編輯 .下載可編輯 .例 7 長方體 ABCD A1 B1C1D1 中 AB=2 ， AD=4 ，AA1=6 ，E 是 BC 的中點(diǎn) ，F(xiàn) 是 CC1 的中點(diǎn) ，求(1) 異面直線 D1 F 與 B1E 所成角大小的余弦值 ；(2) 二面角 D1 AE D 大小的余弦值 ；(3) 異面直線 B1 E 與 D1F 的距離 分析 ：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) BDA1，則(1) D1F =(

26、2 ， 0， -3) ， B1E =(0 ， 2，-6) ，zA1D1B1C1AFDyBCEx.下載可編輯 .D1F B1 E189130cos< D1F ， B1E >=1340，| D1F | B1E |130異面直線 D1F 與 B1 E 所成的角為 arccos 9130 130(2) 顯然平面 AED 的一個(gè)法向量為AA1 =(0 ， 0， 6)，設(shè)平面 AED1 的一個(gè)法向量為 n=( x，y， 1)，且 n AE ， n AD1 ，則n AE0 ，n AD10AE =(2 ， 2， 0)， AD1 =(0 ，4， 6)，3( x, y,1) (2,2,0)02x2 y

27、0x332， -0，4 y6，n =(， 1)( x, y,1) (0,4,6)0322y2cos< AA1 ， n> =AA1 n6622 ，得 =arccos22 | AA1 | n |11/ 21111二面角 D1 AE D 的大小為 arccos22 11(3) 令向量 m =( x， y，1) ，且 m B1E ， m D1F ，則m B1E0，m D1F0( x, y,1) (0,2,6)02 y6033x3)，2x3，2 ，m =(，3，1)( x, y,1) (2,0,00y 32異面直線 B1E 與 D1F 之間的距離為 ：d = | EF m | (0,2,3)( 3,3,1) |918 32|