一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上12.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 中考考點(diǎn) 1理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）。 2會(huì)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，由已知的一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知系數(shù)。 3會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方和。 考點(diǎn)講解 1若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1,x2，則x1+x2=-，x1·x2=。 2以x1,x2為根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展開代入兩根和與兩根積，仍得到方程ax2+bx+c=0(a0)。 3對二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程x2+px+q=0的兩根為x1,x2時(shí)，那么x1+x2=-p，x1·x

2、2=q。反之，以x1,x2為根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展開代入兩根和與兩根積，仍得到方程：x2+px+q=0。 4一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用主要有以下幾方面： （1）已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根，可用兩根和或兩根積的關(guān)系求另一個(gè)根。 （2）已知含有字母系數(shù)的一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母系數(shù)的值?？捎酶c系數(shù)關(guān)系式，一個(gè)關(guān)系式求得另一個(gè)根，再用另一個(gè)關(guān)系式求得字母系數(shù)的值。 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求與所給方程兩根和、兩根積的某些代數(shù)式的值。如，方程2x2-3x+1=0的兩根為x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。x1+x2=，x

3、1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×= （4）驗(yàn)根、求根、確定根的符號。 （5）已知兩根，求作一元二次方程（注意最后結(jié)果要化為整系數(shù)方程）。 （6）已知兩數(shù)和與積，求這兩個(gè)數(shù)。 （7）解特殊的方程或方程組。 考題評析 1(北京市東城區(qū))如果一元二次方程x2+3x-2=0的兩個(gè)根為x1，x2，那么x1+x2與x1·x2的值分別為（ ） （A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2 考點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系。 評析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根x1,x2,滿足x1+x2=，x1x2=可直接

4、計(jì)算，答案為B。 2(杭州市)若是方程的兩個(gè)根，則的值為（ ） （A）7（B）1（C）（D） 答案：A 考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 評析思路：由韋達(dá)定理知，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后將代數(shù)式(x1+1)(x2+1)展開，最后將x1+x2，x1·x2的值代入即可。 3（遼寧?。┫铝蟹匠讨校瑑筛謩e為的是（ ） （A）（B）（C）（D） 答案：B 考點(diǎn)：一元二次方程 根與系數(shù)的關(guān)系 評析思路：因給出了二根，所以好求二根和二根積，再根據(jù)x1+x2=-p x1·x2=q，即可確定正確答案為B。 4（遼寧?。┮阎?，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為。 考點(diǎn)：一元

5、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 評析思路：由根與系數(shù)的關(guān)系可知a+b=-2，a·b= -5。而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原式值為0。 答案：0 5（河南?。╆P(guān)于x的方程，是否存在負(fù)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。 答案：解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2.由根與系數(shù)關(guān)系，得 x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2. 又，=4， =4. 4k2-5k-9=0. 解這個(gè)方程，得k1=-1，k2=（不合題意，舍去）. 當(dāng)k=-1時(shí)，原方程的判別式 =b2-4

6、ac=-(5k+1)2-4(k2-2) =(-4)2-4(1-2)=20>0. 所以存在滿足條件的負(fù)數(shù)k，k=-1. 考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，根與系數(shù)的應(yīng)用。 評析：此題是存在型的試題，一般結(jié)論都是在存在成立的條件下，按照給出的條件進(jìn)行討論，因此題是關(guān)于兩個(gè)實(shí)根的關(guān)系，所以在討論時(shí)必注意>0。 6（福州市）以2，-3為兩個(gè)根的一元二次方程是（ ）. （A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0 答案：B 考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系。 評析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2與系數(shù)關(guān)系：直接計(jì)算即得答案。

7、 7（廣州市）已知2是關(guān)于x的方程x2+3mx-10=0的一個(gè)根，則m= . 考點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系 評析：根據(jù)方程解的概念，將未知數(shù)的值代入方程求出m，或利用根與系數(shù)的關(guān)系解方程組求出。 答案：1 8（貴陽市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的兩個(gè)根，且=2，則m= . 考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 評析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=2 x1x2=，求的值，代入已知的等式求出。 答案：1 9（河北?。┰赗tABC中，C=900，a、b、c分別是A、B、C的對邊，a、b是關(guān)于x的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是（ ）

8、（A） （B）（C）5 （D）2 考點(diǎn)：直角三角形三邊關(guān)系勾股定理、根與系數(shù)的關(guān)系 評析思路：因直角三角形兩直角邊a、b是方程的二根，有a+b=7a·b=c+7，由勾股定理知c2=a2+b2，聯(lián)立組成方程組求得c=5，斜邊上的中線為斜邊的一半，故選B。 10（北京市海淀區(qū)）已知：關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根且k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值。 考點(diǎn)：根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系。 評析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得a值，再將a代入到第二個(gè)方程。因第二個(gè)方程只證有實(shí)根，所以k可以等于1,然后再根據(jù)的范圍再確定k值，分別代入所求代數(shù)式就可以了。 答案：0 說明學(xué)生往往忽

9、略k=1的這種情況：認(rèn)為一元二次方程有實(shí)根，必是兩個(gè)，這是不全面的，也有的不考慮的范圍。 11.（河北?。┤魓1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的兩個(gè)根,則+的值是( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 評析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，先求出x1+x2, x1·x2的值，然后將求的代數(shù)式變形為，最后將x1+x2=-，x1·x2=-代入即可，故選C。 12（哈爾濱市）已知：ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5. （1）k為何值時(shí)，ABC是

10、以BC為斜邊的直角三角形. （2）k為何值時(shí)，ABC是等腰三角形，并求出ABC的周長. 考點(diǎn)：Rt三邊關(guān)系，等腰三角形底與腰的關(guān)系,一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 評析： （1）已知一元二次方程的兩根，首先想到不解方程，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系達(dá)到目的，又根據(jù)Rt三邊的關(guān)系A(chǔ)B2+AC2=BC2可知，通過AB2+AC2=(AB+AC)22AB·AC可實(shí)現(xiàn)。 答案： k=2或k= -5 注：如果利用根與系數(shù)關(guān)系不能求解，再利用解方程求根的方法。 （2）首先利用判斷式判斷AB與AC是否相等，再考慮其它情況，即AB=BC或AC=BC，當(dāng)AB=BC或AC=BC時(shí)，BC=5是一元二次方程的一個(gè)根，故可

11、求k的值，也就可求另一個(gè)根，三角形的周長可求。 答案：14或16. 注：在求周長時(shí)，應(yīng)判斷是否能構(gòu)成三角形。 13（安徽）已知方程x2+(1-)x-=0的兩根為x1、x2，求x+x的值。 考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 評析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，先求出x1+x2、x1·x2的值然后將x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2變?yōu)橐陨闲问剑賹1+x2=-1，x1·x2=-代入即可。 解：由根與系數(shù)關(guān)系， x1+x2=-1+, x1x2=-, x+x=(x1+x2)2-2x1x2 =(-1)2+2 =3-2+2 =3. 說明：如果先解出根x1、x2，再求出x+x的正確值

12、可以。 14（北京市東城區(qū)）已知關(guān)于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于4，求實(shí)數(shù)k的值。 考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 評析：先設(shè)方程二根為x1、x2，分別求出x1+x2，x1·x2的值，再根據(jù)兩根的平方和是4，求出k值，但必須保證方程有兩個(gè)實(shí)根，所以還必須保證0才能確定k的值，此題一些考生忽略0的隱含條件的。 解：設(shè)方程x2-(k-1)x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1, x2，那么 x1+x2=k-1, x1·x2=k+1. 由 x+x=4, 得 (x1+x2)2-2x1x2=4. 即 (k-1)2-2(k+1)=4 k2-4k-5=0 解

13、這個(gè)方程，得 k=5或k=-1. 當(dāng)k=5時(shí), =(5-1)2-4(5+1)<0, 原方程無實(shí)數(shù)根，故x=5舍去. 當(dāng)k=-1時(shí),=(-1-1)2-4(-1+1)>0, 因此，k=-1為所求。 真題實(shí)戰(zhàn) 1（常州市）已知關(guān)于x的方程x2+mx6=0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是 ，m= 。 答案：-3；1 2（天門市）若方程的兩根是x1、x2，則代數(shù)式的值是 。 答案：6 3已知x1、x2是方程x2x1=0的兩個(gè)根，則的值是（ ） A、1 B、1 C、±1 D、0 答案：B 4（石家莊市）設(shè)方程的兩根為x1和x2，且，則m等于（ ） A8 B4 C8 D4 答案：C 5（濰坊

14、市）下列方程中，兩實(shí)數(shù)根的和等于2的方程是（ ） A2x24x+3=0 B2x22x3=0 C2x2+4x3=0 D2x24x3=0 答案：D 6（山西?。┤舴匠蘹2-2x-1=0的二根為x1，x2，則代數(shù)式的值是（ ） A6 B4 C2 D-2 答案：A 7(南昌市)已知方程2x2+kx10=0的一個(gè)根是2，求它的另一根及k的值。 解：設(shè)方程的另一根為x1，那么 -2x1=-5， 又， k=-1。 答：方程的另一根是，k的值是-1。 8（蘇州市）已知關(guān)于x的方程x2+(m2)x+m3=0。 （1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x

15、2滿足2x1+x2=m+1,求m的值。 (1)證明: 無論m取什么實(shí)數(shù),這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. (2)解x1,x2是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 又2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得x1=2m-1(4) 把(4)代入(1),得 x2=3-3m(5) 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3-3m)=. . 9（南通市）設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程x2(k+2)+2k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=11. （1）求k的值； （2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求一個(gè)一元二次方程，使它的一個(gè)根是原方程兩個(gè)根的和，另一根是原方程兩根差的平方。 解：（1）由題意得x1+x2=k+2，x1·x2=2k+1 ， 又，解得k=±3。 又=-(k+2)2-4(2k+1)=k2-4k， 當(dāng)k=3時(shí)，=-30，原方程無實(shí)數(shù)解； 當(dāng)k=-3時(shí)，=210，原方程有實(shí)數(shù)解。 故k=-3。 （