理論力學(xué)11—動量矩定理

1、11 動量矩定理由靜力學(xué)力系簡化理論知： 由剛體平面運(yùn)動理論知：若將簡化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上，則動量定理(質(zhì)心運(yùn)動定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動的變化和外力系主矢的關(guān)系。剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運(yùn)動變化與外力系對質(zhì)心的主矩的關(guān)系將由本章的動量矩定理給出。引言平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的另一個側(cè)面。1 1 質(zhì)點(diǎn)的動量矩()Omm Mvrv質(zhì)點(diǎn)Q的動量對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩AQMz(mv)QAxyzOmvrqMO(mv)質(zhì)點(diǎn)動量m

2、v在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對于點(diǎn)O的矩11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定義為質(zhì)點(diǎn)動量對于z軸的矩簡稱對于z軸的動量矩，是代數(shù)量。是矢量。類似于力對點(diǎn)之矩和力對軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z的動量矩。在國際單位制中，動量矩的單位是kgm2/s。MO(mv)zMz(mv)11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)O的動量矩的矢量和。2 2 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩LO=MO(mv)質(zhì)點(diǎn)系對某軸z的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一軸z的動量矩的代數(shù)和。Lz=Mz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系

3、對該軸z的動量矩。LOz= Lz11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩3 平動剛體的動量矩剛體平動時，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點(diǎn)計算其動量矩。4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩2()zziiii ii iLMmmv rmr v令Jzmiri2稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量, 于是得zzJL 即：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。ziMiriivm11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩注意：對點(diǎn)的動量矩是矢量，對軸的動量矩是代數(shù)量。計算質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩時，無論是用絕對運(yùn)動的動量，還是用相對于以質(zhì)心為基點(diǎn)的平動坐標(biāo)系的相對運(yùn)動的動量，其計算結(jié)果是相同的。對質(zhì)心之外的其它點(diǎn)

4、，用上述兩種方法計算的動量矩是不同的，必須用絕對運(yùn)動中的動量來計算動量矩。rOAvm例1 均質(zhì)圓盤可繞軸O轉(zhuǎn)動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，半徑為r，角速度為，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與圓盤間無相對滑動，求系統(tǒng)對軸O的動量矩。解：)(22JmrJmrJmvrLLLO盤塊LO的轉(zhuǎn)向沿逆時針方向。11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩)(22JmrJmrJmvrLLLO盤塊1 質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)Q對固定點(diǎn)O的動量矩為MO(mv)dd()()dddd()ddOmmttmmttMvrvrvrvMO(mv)mvxyzOQrMO(F)F將動量矩對時間取一次導(dǎo)數(shù)，得dd()()

5、dddd()ddOmmttmmttMvrvrvrv11.2 動量矩定理作用力F F對同一點(diǎn)的矩為MO(F)如圖所示0,()Om vvrFMFd()()dOOmt MvMFdd()ddmtt rvF,vd()dOmmt MvvvrF因為所以又因為所以xyzOMO(mv)QmvrMO(F)F質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點(diǎn)的矩。11.2 動量矩定理將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對點(diǎn)的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系代入，得d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF質(zhì)點(diǎn)對某固定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對同一軸的矩。11.2

6、 動量矩定理d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvFd()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF例2 圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動），它就在經(jīng)過O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動。求此單擺在微小擺動時的運(yùn)動規(guī)律。解：以擺錘為研究對象，建立如圖坐標(biāo)，受力如圖。2()zMmmvlmlv()sinzMmgl F式中負(fù)號表示力矩的正負(fù)號恒與角坐標(biāo) 的正負(fù)號相反。OlMyxNvmg11.2 動量矩定理它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。在任一瞬時，擺錘的速度為v v擺的偏

7、角為 ，則 11.2 動量矩定理由d()()dzzMmMtvF2d()sindmlmglt 即0sinlg 這就是單擺的運(yùn)動微分方程。0lg 此微分方程的解為)sin(tlgA其中A和為積分常數(shù)，取決于初始條件。glT2顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。得可見單擺的微幅擺動為簡諧運(yùn)動。擺動的周期為當(dāng) 很小時，sin，擺作微擺動于是上式變?yōu)樵O(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個質(zhì)點(diǎn)，作用于每個質(zhì)點(diǎn)的力分為外力F Fi(e) 和內(nèi)力F Fi(i) 。(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF這樣的方程共有n個，相加后得由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的第二項(e)(i)111d()()()dnn

8、nOiiOiOiiiimtMvMFMF(i)1()0nOiiMF11.2 動量矩定理(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF(e)(i)111d()()()dnnnOiiOiOiiiimtMvMFMF由質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理有2 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理上式左端為于是得11ddd()()dddnnOiiOiiOiimmtttMvMvL(e)1d()dnOOiitLMF質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)之矩的矢量和。11.2 動量矩定理11ddd()()dddnnOiiOiiOiimmtttMvMvL11.2 動量矩定理在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理時，取投

9、影式(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF質(zhì)點(diǎn)系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一軸之矩的代數(shù)和。(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF11.2 動量矩定理3 動量矩守恒定律如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力對某定點(diǎn)之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的動量矩保持不變。則當(dāng)外力對于某定點(diǎn)(或某定軸)的主矩等于零時，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)(或該軸)的動量矩守恒。由上式可知，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩。恒矢量)

10、( vmMO如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力對某定軸之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動量矩保持不變。則恒矢量)( vmMz這就是質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律。11.2 動量矩定理注意：(1)內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)或?qū)|(zhì)心的動量矩，只有外力矩才能使之改變。(2)動量矩定理僅僅對定點(diǎn)(或定軸)及質(zhì)心(或質(zhì)心軸)成立，對一般的動點(diǎn)或動軸通常是不成立的。在應(yīng)用動量矩定理時一定要注意這一點(diǎn)。(3)這里所稱的質(zhì)心軸Cx、Cy、Cz，均是指以質(zhì)心為基點(diǎn)的平動坐標(biāo)軸。11.2 動量矩定理例3 高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)

11、動慣量為J，軌道傾角為。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計，求小車的加速度a a。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時針為正，則vRmJLO2(e)2()sinOMMm gRFMOm2gNvm1gFOxFOy分析：小車的速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于加速度，利用動量矩定理可求出小車速度的表達(dá)式。11.2 動量矩定理因 ,于是解得d,dvvaRt2222sinRmJgRmMRa若Mm2gRsin，則a0，小車的加速度沿軌道向上。必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)為使動量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。22d()s

12、indJm vRMm gRt由 ，有(e)d()dOOiLmt F11.2 動量矩定理ABCDz0aall例4 水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為0。如某時此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成角。不計各桿的質(zhì)量，求這時系統(tǒng)的角速度 。分析：系統(tǒng)所受外力對z軸之矩均為零故不能使用動量矩定理但正因為系統(tǒng)所受外力對z軸之矩均為零故應(yīng)使用動量矩守恒定理。所以動量矩守恒11.2 動量矩定理CABDzaall21zzLL21002()2zLmaama222 (sin

13、)zLm al22022 (sin)mam al022)sin(laa顯然，此時的角速度 0。解：以系統(tǒng)為研究對象系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力這些力對轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，即11.2 動量矩定理解：取系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)對O點(diǎn)的動量矩為：例5 均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。vRgWJLOOP分析：重物下落的加速度等于速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)Rv因為：重物對O點(diǎn)有力矩，也有動量矩，圓輪的動量矩可求，所以可用動量矩定理求解。11.2 動量矩定理)(eOMtdLd)(22

14、RgWJWRaOWRdtdvRgWRJO)(WRMe)(系統(tǒng)外力對O點(diǎn)之矩為：將系統(tǒng)的動量矩表達(dá)式和外力對O點(diǎn)之矩表達(dá)式代入動量矩定理得：P所以：vRgWRJLOO)(所以：11.2 動量矩定理例6 一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為 m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計，并且開始時系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對速度va的大小為由于MO(F (e)0，且系統(tǒng)初始靜止。uvavevmg所以LO0。uOAvuva0mvrrmvLaOmgFOxFOy11.2 動量矩定理0)(mvrrvumLO2uv

15、 2uva由上可知，人與重物A具有相同的的速度uvavev如果開始時，人與重物A位于同一高度此速度等于人相對繩的速度的一半則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程設(shè)剛體繞定軸 z 以角速度 轉(zhuǎn)動d()()dzzJMt Fd()dzzJMt F22d()dzzJMt FFN1FN2剛體受有主動力和軸承約束反力()zzJM F或xyzF1FnF2則 Lz Jz如不計摩擦，則由質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理得11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動力對該軸之矩的代數(shù)和。第一類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)系的

16、運(yùn)動，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩。第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力矩，求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動。以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程可以解決動力學(xué)兩類問題。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程例8 如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度。解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程12()JR FF于是得12()FF RJ由上式可見F1F2OR只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動慣量時跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的

17、。例9 圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。求微小擺動的周期。分析：OCamg要求擺動周期，需要求出此物理擺的運(yùn)動方程解：設(shè)角以逆時針方向為正。sinmgaJO 當(dāng)微擺動時，有 sin ，故方程寫為0OJmga 11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程而運(yùn)動方程，要通過求解其定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動微分方程得到。當(dāng)角為正時，重力對O點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有這就表明:此方程通解為)sin(0tJmgaO 0為角振幅mgaJTO2224mgaTJO則：11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程擺動周期為為初相位它們均由初始條件確定。如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置并將物體懸掛于

18、O點(diǎn)作微幅擺動測出擺動周期后即可計算出此物體對于O軸的轉(zhuǎn)動慣量。例10 如圖，飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，以初角速度0繞水平軸轉(zhuǎn)動，其阻力矩 M (為常數(shù))。求經(jīng)過多長時間，角速度降至初角速度的一半，在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)?解：以飛輪為研究對象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有d(1)dJt M0將（1）式變換，有ddJt 將上式求定積分，得0020ddtJt 11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程2ln2ln00JJt將(1)式改寫為ddddJtt 即ddJ 將上式求定積分，得0002ddJ 轉(zhuǎn)過的角度為002J因此轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)4200Jn11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動

19、的轉(zhuǎn)動微分方程例11 如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖111222,JMF rJF r由運(yùn)動學(xué)關(guān)系，得1 12 2rrMFO1yFO1xFFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2FFnO1r1r2O2M111222,JMF rJF r注意到，聯(lián)立求解以上三式得FF221221 22 1MrJ rJ r由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程OFOxFOW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：FOx=？,FOy=？

20、例題12 關(guān)于突然解除約束問題突然解除約束瞬時：11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程突然解除約束瞬時解：應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程lglmgml23,2312應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理得：OyOxFmglmFlm2022420mglmmgFFOyOx(e)Cm aF分析：桿繞O軸的轉(zhuǎn)動慣量為：231mlJo桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動，不再是靜力學(xué)問題。這時，0，0需要先求出 ，再確定約束力。420mglmmgFFOyOxOyOxFmglmFlm2022lglmgml23,23122iizrmJ由前知，剛體對軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量定義為：對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式2dzJrm由定義可知，轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量

21、有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)。在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的單位是: kgm2。同一剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸 z 的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即而它對某定軸的轉(zhuǎn)動慣量卻是常數(shù)因此在談及轉(zhuǎn)動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉(zhuǎn)動慣量。（1） 均質(zhì)細(xì)桿ddmmxl222121d12llzmJx xmll2201d3lzmJx xmll2lz1xCzxOl設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長l，質(zhì)量為m11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量1 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量取微段dx,則dxxdxx（2） 均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量zR設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。222zi i

22、iJmrRmmR xyR（3）均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。22201d2d2RzJrmrrrmR將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)。任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm2rdr11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量m/R 222201d2d2RzJrmrrrmR22201d2d2RzJrmrrrmR則xrdr于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量，其定義為mJzz如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動慣量為2zzmJ回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：對于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。2 回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處并保持物體對軸的轉(zhuǎn)動慣量不

23、變則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長度。11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。2zzCJJmd證明：212211()zCiiJmrm xy 222()ziiJmrm xy 因11,xxyydy, y1z1zdxmCOzz1xx1r1ryy1x13 平行軸定理即212211()zCiiJmrm xy 222()ziiJmrm xy 11,xxyyd由質(zhì)心坐標(biāo)公式1iCm yym2zzCJJmd由定理可知：2211222111() ()2ziiiiJm xydm xydm ydm 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在

24、質(zhì)心 C 時11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量2211222111() ()2ziiiiJm xydm xydm ydm yC0于是得又有SmimSmiyi0剛體對于所有平行軸的轉(zhuǎn)動慣量，過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。例13 如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對 z1 軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1，求桿對z2 的轉(zhuǎn)動慣量J2 。解：由 ，得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJm ba(1)(2)得zz1z2abC11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量OABll 2OABll 2例14 均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對軸O的轉(zhuǎn)動慣量。解：ABOAOJJ

25、Jl 2OABll 2思考：22225)2)(2()2)(2(12131mllmlmmlL、mR=l/2、moz12R22Rl例15 如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1，內(nèi)徑為R2，求對中心軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量。解：空心圓柱可看成由兩個實(shí)心圓柱體組成內(nèi)外JJJz設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則21121RmJ外22221RmJ內(nèi)于是2222112121RmRmJz11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量外圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為J外內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為J內(nèi)取負(fù)值即設(shè)單位體積的質(zhì)量為221122,mR lmR l代入前式得)(214241RRlJz注意到 l (R21R22)m)(212221RR

26、mJz11.4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量221122,mR lmR l)(2122212221RRRRl則則得如圖所示，O為固定點(diǎn)，C為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心()OOiiiiimm LMvrv對于任一質(zhì)點(diǎn)miiiC rrr于是()iiOCiiCiiiimmm Lrrvrvrv由于iiCmm vvririrCmiyyxzCOxzvi11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理()iiOCiiCiiiimmm Lrrvrvrv質(zhì)點(diǎn)系對于固定點(diǎn)O的動量矩為ririrCmiyyxzCOxzvi它是質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩。OCCCm LrvL即：質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)O的動量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量mvC對于O點(diǎn)的動量矩與此系統(tǒng)

27、對于質(zhì)心的動量矩LC的 矢量和。(e)dd()ddiiOCCCmtt LrvLrF質(zhì)點(diǎn)系對于固定點(diǎn)O的動量矩定理可寫成iCiim Lrv令11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理于是得展開上式(e)(e)ddddddCCCCCCiiimmttt rLvrvrFrF(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF(e)ddCiit LrF因為于是上式成為(e)dd()ddOCCCiimtt LrvLrF11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理注意右端項中rirC+ri于是上式化為(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt

28、rvvavvaF所以(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的主矩。(e)d()dCCit LMF上式右端是外力對質(zhì)心的主矩，于是得(e)ddCiit LrF11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理ririrCmiyyxzCOxzviOArc)(rb)(例16 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長為l3r，繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿固結(jié)；(b) 圓盤繞軸A相對桿OA以角速度逆時針方向轉(zhuǎn)動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度 順時針方向轉(zhuǎn)動。（習(xí)題11

29、-2）OA解：(a)222)3(2)2(2131rmrmmlJo222mrJLOO11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理222222183mrmrmrmr(b) 圓盤繞軸A相對桿OA以角速度 逆 時針方向轉(zhuǎn)動OArb)(0A盤桿LLLO11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理)2()(AOAmvmLJ桿rrmJmrAA3)3)(2(32222183mrmrmrA221mrOArc)(2A盤桿LLLO (c) 圓盤繞軸A相對桿OA以角速度 順時針方向轉(zhuǎn)動。11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理)2()(AOAmvmLJ桿rrmJmrAA3)3)(2(32222183mrmrmrA223mr2221

30、8)2(3mrmrmr由剛體平面運(yùn)動理論知：平面運(yùn)動剛體的位置可由基點(diǎn)的位置與剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)角確定。CCJL JC為剛體過質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動慣量。yxxyOCD取質(zhì)心為基點(diǎn)，如圖所示，則剛體的位置可由質(zhì)心坐標(biāo)和角確定。剛體的運(yùn)動可分解為隨同質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。取如圖動坐標(biāo)系，則剛體繞質(zhì)心的動量矩為11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程設(shè)作用在剛體上的外力可向質(zhì)心所在的運(yùn)動平面簡化為一平面力系，由質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理得(e)Cm aF(e)d()J()dCCCJMt F上式也可寫成2(e)2ddCmt rF2(e)2d()dCCJMt FyxxyOCD11.6 剛

31、體的平面運(yùn)動微分方程11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程以上兩式稱為剛體平面運(yùn)動微分方程。應(yīng)用時，前一式取其投影式。即(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程例17 一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無初速地放在傾角為q 的斜面上，不計滾動阻力，求其質(zhì)心的加速度。解：以圓柱體為研究對象。(1) 設(shè)接觸處完全光滑此時圓柱作平動，由質(zhì)心運(yùn)動定理即得圓柱質(zhì)心的加速度sinCagqqCxyO(e)CxxmaF sinCmamgqCqaCFNmg圓柱體在斜面

32、上的運(yùn)動形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進(jìn)行討論：(2) 設(shè)接觸處足夠粗糙 此時圓柱作純滾動，受力如圖。2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin3Cagq解得11sin23CFmamgq由于圓柱作純滾動，故maxcosNFFf Ff mgq由純滾動條件有Car所以1cossin3f mgmgqq，可得1tan3fq這就是圓柱體在斜面上作純滾動的條件。FqCxyOFNmg11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq列出平面運(yùn)動微分方程aC(3) 設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾

33、動的條件1tan3fq設(shè)圓柱體沿斜面滑動的動摩擦系數(shù)為f ，則滑動摩擦力cosNFf Ff mgq由于2cosgfrq(sincos )Cagfqq圓柱體在斜面上既滾動又滑動, 在這種情況下，aCr于是Frmr22111.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程例18 均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計。（習(xí)題11-28第一問）解：取A為研究對象，受力如圖。AATJF rCTmamgFCBTJF r其中22ACJJmrOABCAFTmgFOxFOyOAFTmgBCDB

34、aC取B為研究對象，受力如圖。由運(yùn)動學(xué)關(guān)系aDrA,，而由加速度合成定理有()CDBABaarrgaC54A作定軸轉(zhuǎn)動，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程有B作平面運(yùn)動。應(yīng)用平面運(yùn)動的微分方程有例19 均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束反力。解：以桿AB為研究對象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運(yùn)動，設(shè)質(zhì)心C的加速度為a aCx、a aCy，角加速度為。aCxaCy由剛體平面運(yùn)動微分方程mgsincos(3)22CABllJFFqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaF11

35、.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程BqCAxy以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為tnACACACaaaat0sinCyACaaq再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為tnBCBCBCaaaat0cosCxCBaaqtsinsin(4)2CyAClaaqq tcoscos(5)2CxCBlaaqqaAaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動開始時, 0, 故 , 將上式投影到x 軸上，得an 0AC同理， ，將上式投影到 y軸上，得an 0BC11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程聯(lián)立求解(1) (5)式，并注意到2121mlJC可得3sin2glq23(1sin)4AFmgq3sincos4BFmgqq注：亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：sin ,cos22CCllxyqqcos,sin22CCllxyq qq q 22sincos,cossin2222CCllllxyq qq qq qq q 運(yùn)動開始時， ，故0qcos ,sin22CxCCyCllaxayqq BqCAxy11.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程AxCB例20 如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為 。求B端繩斷開瞬時，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。AB作平面運(yùn)動，以A為基點(diǎn)，則tntnCAACACAaaaaasinCxTmaFmg ABFTttCACAaaa因為