高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用肖萍學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用肖萍高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用肖萍第一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用積分積分 定義定義1. 設(shè)為有界閉區(qū)域, 函數(shù)u=f (P)(P)為上的有界點函數(shù). 將幾何體任意分成n個子閉區(qū)域1, 2, , n , 其中i表示第i個子閉區(qū)域, 也表示它的度量. 在i上任取一點 Pi, 作乘積 f (Pi) i ,并作和 如果當(dāng)各子閉區(qū)域i的直徑中的 最大值趨近于零時, 這和式的極限存在, 則稱此極限 為點函數(shù)點函數(shù)f (P)在在 上的積分上的積分, 記為 即第1頁/共51頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十五

2、分。其中稱為積分區(qū)域積分區(qū)域, f (P) 稱為被積函數(shù)被積函數(shù), P稱為積分變量積分變量, f (P)d注注1.點函數(shù)積分的物理意義: 設(shè)一物體占有有界閉區(qū)域, 其密度為=f (P), 該物體的質(zhì)量為稱為被積表達式被積表達式, d稱為度量微元度量微元.注注2. 特別地, 當(dāng) f (P) = 1時, 有第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用第2頁/共51頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用注注3. 點函數(shù)積分可分成以下六類： 1. 若=a,bR, f (P) = f (x), xa,b, 則這是 f (x)在a,b上

3、的定積分定積分. 當(dāng)f (x)=1時, 是區(qū)間長.2. 若=LR2, 且L是一平面曲線, f (P) = f (x, y), (x, y)L, 則這是 f (x, y)在平面曲線L上的第第一類曲線積分一類曲線積分. 當(dāng)f (x)=1時, 是平面曲線L的弧長.第3頁/共51頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用3. 若=R3, 且是一空間曲線, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 則這是 f (x, y, z)在空間曲線上的第一第一類曲線積分類曲線積分. 當(dāng)f (x , y, z)=1時, 是空間曲線 的弧長.

4、4. 若=DR2, 且D是一平面區(qū)域, f (P) = f (x, y), (x, y)D, 則這是 f (x, y)在平面區(qū)域D上的二重積分二重積分. 當(dāng)f (x , y)=1時, 是平面區(qū)域D的面積.第4頁/共51頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用5. 若=R3, 且是一空間曲面, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 則這是 f (x, y, z)在空間曲面上的第一第一類曲面積分類曲面積分. 當(dāng)f (x, y, z)=1時, 是空間曲面的面積.6. 若R3, 且是一空間區(qū)域, f (P) = f (x

5、, y, z), (x, y, z), 則這是 f (x, y, z)在空間區(qū)域上的三重積分三重積分. 當(dāng)f (x, y , z)=1時, 是空間區(qū)域的體積.第5頁/共51頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用注注4. 點函數(shù)積分具有以下八條性質(zhì)： 設(shè) f (P), g(P)在有界閉區(qū)域上都可積, 則有 性質(zhì)性質(zhì)1 ( )( )d( )d( )d .f Pg Pf Pg P 性質(zhì)性質(zhì)2( )d( )d .kf Pkf P 線性性線性性性質(zhì)性質(zhì)312( )d( )d( )df Pf Pf P 其中12 = , 其中1與2無公共內(nèi)點.區(qū)域可

6、加性區(qū)域可加性第6頁/共51頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用性質(zhì)性質(zhì)41dd(). 度量當(dāng) f (P)=1時, 有性質(zhì)性質(zhì)5( )d0.f P 若 f (P) 0, P, 則 推論1. 若 f (P) g(P), P, 則( )d( )d .f Pg P 保號性保號性 推論2. |( )d| ( )|d .f Pf P 性質(zhì)性質(zhì)6()( )d(),m Df PM D 設(shè) f (P)在上的最大值為M, 最小值為m, 則其中D()為的度量.估值性質(zhì)估值性質(zhì)第7頁/共51頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積

7、分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用性質(zhì)性質(zhì)7( )df P設(shè) f (P)在上的連續(xù), 則至少有一點P*, 使得其中 稱為函數(shù)f (P)在在上的平均值平均值. ( )d()f PD*()(),f PD積分中值定理積分中值定理性質(zhì)性質(zhì)8 (對稱性質(zhì)對稱性質(zhì))1. (1) 對于二重積分和第一類平面曲線積分有: 若f (P)C(), 關(guān)于x(y)軸對稱, 1為被x(y)軸切割的一半?yún)^(qū)域, 則12( )d ,( ,)( , );( )d0, ( ,)( ,(, )( , )(), ),.f Pf xyf x yf Pf xfx yf x yfx yfyf x yx y第8頁/共51頁第九頁，編輯于星期三：七

8、點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用(2) 對于三重積分, 第一類空間曲線積分和第一類曲面積分有:若 f (P) C(), 關(guān)于xoy面 (yoz面) (zox面) 對稱, 1為被xoy面 (yoz面) (zox面)切割的一半?yún)^(qū)域, 則12( )d , ( , ,)( , , )( )d0, (, , )( , ( , ,), )(, , )( , ), )f Pf x yzf x y zf Pffx y zf x y zfxx yzf x y zy zf x y z( , )( , , )f xy zf x y z( , )( , , )f xy zf x

9、y z第9頁/共51頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用2. (1) 對于二重積分和第一類平面曲線積分有: 若f (P)C(), 關(guān)于原點對稱, 1為被過原點的任一條直線切割的一半?yún)^(qū)域, 則12( )d ,(,)( , );( )d0, (,)( , ).f Pfxyf x yf Pfxyf x y (2) 對于三重積分, 第一類空間曲線積分和第一類曲面積分有:若 f (P) C(), 關(guān)于原點對稱, 1為被過原點的任一平面切割的一半?yún)^(qū)域, 則第10頁/共51頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)

10、用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用12( )d , (,)( , , );( )d0, (,)( , , ).f Pfxyzf x y zf Pfxyzf x y z 3. (輪換對稱性)(1)對于二重積分和第一類平面曲線積分有: 若f (P)C(), 關(guān)于y=x對稱, 則( , )d( , )d .f x yf y x第11頁/共51頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用(2) 對于三重積分, 第一類空間曲線積分和第一類曲面積分有:若 f (P) C(), 且x, y, z三個變量在的表示中地位一樣, 則( , , )d( , , )d( ,

11、, )d .f x y zf y z xf z x y注注. 輪換對稱性對第二類的線面積分也成立.第12頁/共51頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用積分學(xué)在幾何上的應(yīng)用積分學(xué)在幾何上的應(yīng)用 占有平面區(qū)域D的平面圖形的面積為 空間曲面: z=z(x,y)的面積為第13頁/共51頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用 以 xoy 平面上曲線 L 為準(zhǔn)線, 母線平行于 z 軸的柱面被曲面 : z=z(x, y)所截, 位于 與 xoy 坐標(biāo)面之間的部分的面積為zxyoL(x,

12、y)dsz(x, y)第14頁/共51頁第十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例1. 求由 y = 4 x2, y = 3x, x =1所圍成的平面圖形的面積S.D1D24y = 4 x2x = 1y = 3xyOx223S 第15頁/共51頁第十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例2. 求曲線 (x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2)和x2 + y2 a2所圍成的平面圖 形的面積S.2( 3)3Sa第16頁/共51頁第十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例3. 求

13、由 y2 = px, y2 = qx, x2 = ay, x2 = by (0 p q, 0 a 0)內(nèi)部的那部分面積S.yzx解解: 由對稱性, S=4S1zyxDx y :222yxazDxy: x2+y2 ax, y 0.S=4S1=2( 2)a2第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用第18頁/共51頁第十九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例5.求由拋物線 z=x2 上從 x=1 到 x=2 的一段繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積S.z=x22o1xyzDxy解解: : z=x2+y2Dxy: 1 x2+y2 22222441)()(1yxyzxz221 4(

14、)d dxyDSxyx y(17 175 5)6S第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用第19頁/共51頁第二十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用注注. 一般地, 由曲線 z= (x)(0 0)含在球面x2+y2+z2=a2內(nèi)部的那部分面積S.yzx解解: 由對稱性, S=4S1zyxL,:2xaxyL0 x a2221dLSaxysS=4S1=4a2第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用第21頁/共51頁第二十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用

15、 以平面區(qū)域D為底,連續(xù)曲面z = f (x,y)為頂?shù)那斨w曲頂柱體的體積為 占有空間有界域 的立體的體積為第22頁/共51頁第二十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例7. 求曲面1: z = x2+y2+1上任一點的切平面與曲面2: z = x2+y2 所圍立體的體積 V .第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例8. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的 內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積V.2V344(1 cos)3aV第23頁/共51頁第二十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用 平面曲線L的弧長為 空間曲線 的弧長

16、為第24頁/共51頁第二十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例9. 求空間曲線: x=3t, y=3t2, z=2t3從點(0, 0, 0) 到點(3, 3, 2)的 一段弧長.第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用內(nèi)容小結(jié)：內(nèi)容小結(jié)：利用我們學(xué)過的點積分求一些幾何形體的度量.5s第25頁/共51頁第二十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用積分學(xué)在物理上的應(yīng)用積分學(xué)在物理上的應(yīng)用 設(shè)幾何形體的質(zhì)量分布密度為 (P), P則 dM= (P)d故( )dMP第26頁/共51頁第二十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第

17、 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用(1)平面薄板D, 質(zhì)量面密度為(x, y), 則( , )d ;DMx y(2) 空間物體, 質(zhì)量體密度為 (x, y, z), 則( , , )d ;Mx y zv(3) 曲線狀物體 L( ), 質(zhì)量線密度為 (x, y) ( (x, y, z), 則( , )dLMx ys( , , )()d ;Mx y zs(4) 曲面狀物體, 質(zhì)量面密度為 (x, y, z), 則( , , )d .Mx y zS第27頁/共51頁第二十八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例1. 設(shè)球面x2

18、+y2+z2=2及錐面 圍成立體, 其質(zhì)量體密度與立體中的點到球心的距離之平方成正比, 且在球面上等于1. 試求該立體的質(zhì)量.22zxyzyxa4第28頁/共51頁第二十九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例2. 一個圓柱面x2+y2=R2介于平面 z=0, z=H之間, 其質(zhì)量面密度 等于柱面上的點到原點的距離之平方的倒數(shù), 求其質(zhì)量.21xyRRzH解解: : 2221( , , )x y zxyz(x, y, z)222dzyxSM第29頁/共51頁第三十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函

19、數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用由力學(xué)知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)為設(shè)平面有n個質(zhì)點, 分別位于(xk, yk), 其質(zhì)量分別為mk (k=1,2,n).對y軸的靜力矩對x軸的靜力矩第30頁/共51頁第三十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用由力學(xué)知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)為設(shè)空間有n個質(zhì)點, 分別位于(xk, yk, zk), 其質(zhì)量分別為mk (k=1,2,n).對yoz面的靜力矩對xoz面的靜力矩對xoy面的靜力矩第31頁/共51頁第三十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用 設(shè)物體占有平面幾何形體 ,

20、其質(zhì)量密度為(x, y)C(), 則質(zhì)量微元為對x軸和y軸的靜力矩微元為對x軸和y軸的靜力矩為( , )d ,( , )dxyMyx yMxx y則的質(zhì)心為( , )d( , )d,( , )d( , )dyxxx yyx yMMxyMMx yx y第32頁/共51頁第三十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用 設(shè)物體占有空間形體 ,其質(zhì)量密度為(x, y, z)C(), 則質(zhì)量微元為對yoz面, zox 面和xoy面的靜力矩微元為對yoz面, zox 面和xoy面的的靜力矩為( , , )d ,( , , )d , ( , , )dyzz

21、xxyMxx y zMyx y zMzx y z第33頁/共51頁第三十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用則的質(zhì)心為( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzzxxyxx y zyx y zMMxyMMx y zx y zzx y zMzMx y z第34頁/共51頁第三十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用在xoy面上, 面密度為(x, y)的平面薄片D的質(zhì)心為 , 則 ),(yx( , )d( , )d,.( ,

22、)d( , )dyxDDDDxx yyx yMMxyMMx yx y線密度為(x, y)的平面曲線L的質(zhì)心為 , 則 ( ,)x y( , )d( , )d,.( , )d( , )dyxLLLLxx ysyx ysMMxyMMx ysx ys第35頁/共51頁第三十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用體密度為(x, y, z)的空間立體的質(zhì)心為 , 則 ( , , )x y z( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzxzxyxx y zVyx y zVMMxyMMx y

23、zVx y zVzx y zVMzMx y zV第36頁/共51頁第三十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用線密度為(x, y, z)的空間曲線的質(zhì)心為 , 則 ( , , )x y z( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzxzxyxx y zsyx y zsMMxyMMx y zsx y zszx y zsMzMx y zs第37頁/共51頁第三十八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用面密度為(x, y, z)的空間

24、曲面的質(zhì)心為 , 則 ( , , )x y z( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzxzxyxx y zSyx y zSMMxyMMx y zSx y zSzx y zSMzMx y zS注注.質(zhì)量均勻分布的幾何形體的質(zhì)心稱為的形心.第38頁/共51頁第三十九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例3. 求 r = 2sin 和 r = 4sin 所圍均勻薄片 D 的形心.xyo例例4. 在底圓半徑為 R, 高為 H 的圓柱體上拼加一個半徑為 R 的半球體, 要使拼加后的整

25、個立體 的形心位球心處, 求 R 與 H 的關(guān)系.xyRz0H第39頁/共51頁第四十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用由力學(xué)知, 該質(zhì)點系對x軸, y軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為設(shè)平面有n個質(zhì)點, 分別位于(xk, yk), 其質(zhì)量分別為mk (k=1,2,n).第40頁/共51頁第四十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用由力學(xué)知, 該質(zhì)點系對x軸, y軸, z軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為設(shè)空間有n個質(zhì)點, 分別位于(xk, yk, zk), 其質(zhì)量分別為mk (k=1,2,n).第41頁

26、/共51頁第四十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用設(shè)物體占有平面幾何形體 ,其質(zhì)量密度為(x, y)C(),則質(zhì)量微元為對x軸, y軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量微元為對x軸, y軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量為第42頁/共51頁第四十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用 設(shè)物體占有空間形體 ,其質(zhì)量密度為(x, y, z)C(), 則質(zhì)量微元為對x軸, y軸, z軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量微元為第43頁/共51頁第四十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用對

27、x軸, y軸, z軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量為2222() ( , , )d ,() ( , , )d ,xyIyzx y zIxzx y z22222() ( , , )d ,() ( , , )d .zoIxyx y zIxyzx y z第44頁/共51頁第四十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用例例4. 已知均勻矩形板(面密度為常數(shù))的長和寬分別為b和h, 計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動慣量.例例5. 設(shè)螺旋形彈簧所對應(yīng)的方程為x=acost, y=asint, z=bt(0t2), 其線密度為(x, y, z)=x2+y2+z2. 求該螺旋形彈簧對z軸的轉(zhuǎn)動慣量.xyouvo第45頁/共51頁第四十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用 設(shè)物體占有xoy面幾何形體 ,其質(zhì)量密度為(x, y)C(), 現(xiàn)要計算對位于z軸上點M0(0, 0, a) (a0)處質(zhì)量為m的質(zhì)點的引力.oxyz(0,0,a)d (x, y, 0)對點M0處質(zhì)點的引力微元在三坐標(biāo)軸上的投影分別