《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：第十一章 第3節(jié)格林公式及應(yīng)用(2)

1、2Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)內(nèi) 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .，有，有、曲線曲線的任兩條的任兩條終點(diǎn)在終點(diǎn)在在在及起點(diǎn)及起點(diǎn)、任兩點(diǎn)任兩點(diǎn)21LLBABA,3二二. 平面曲線積分與路徑無關(guān)等價(jià)條件平面曲線積分與路徑無關(guān)等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D是單連通開區(qū)域單連通開區(qū)域 ,),(,),(yxQyxP在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(2) 對D 中任一分段光滑

2、曲線 L , 曲線積分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPLydQxdP與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價(jià)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分, 即 4(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分LydQxdP與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 證明證明 (1) (2)設(shè)21, LL21LLydQxdPydQxdP1LydQxdP2LydQxdP)(21LLydQxdP0AB1L2L2LydQxdP1LydQxdP為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則5(3) 在D

3、內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分, 即 (2) 對D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分LydQxdP與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(證明證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分),(),(),(yxyxydQdxPyxu00),(),(yxuyxxuux),(),(yxxyxydQdxP則),(),(yxxyxdxPxyxxP),( xuxuxx0lim),(limyxxPx 0),(yxP同理可證yu),(yxQ因此有ydQxdPud),(yxB),(00yxA。),(yxxC。和任一點(diǎn)B( x , y ) ,與路徑無關(guān) , 設(shè)6

4、(3) 在 D 內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分, 即 ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得ydyuxdxuudydQxdP則),(, ),(yxQyuyxPxuxyuxQyxuyP22,P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)xyuyxu22從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP7(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線, 所圍區(qū)域?yàn)?DD (如圖 ), 因此在 上DxQyP利用格林公式格林公式 , 得ydxdyPxQQdyP

5、dxLD)(DDL證明證明 (4) (1)08二二. 平面曲線積分與路徑無關(guān)等價(jià)條件平面曲線積分與路徑無關(guān)等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D是單連通開區(qū)域單連通開區(qū)域 ,),(,),(yxQyxP在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPLydQxdP與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價(jià)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分, 即 9yx說明說明: 若在某區(qū)域內(nèi)有,xQyP則(2) 求曲線積分時(shí),

6、 可利用格林公式簡化計(jì)算,(3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點(diǎn),),(DyxydyxQxdyxPyxuyxyx),(),(),(),(),(00 xxxdyxP00),(或yyydyxQyxu00),(),(0y0 x則原函數(shù)為yyydyxQ0),(xxxdyxP0),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)(1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;101例例,)()(LyxdyyxdxyxI22計(jì)計(jì)算算的的弧弧到到從從上上是是曲曲線線其其中中),(),(0101222BAxyL解：因?yàn)?22yxyxyxP),(22yxyxyxQ),(yP

7、yxxyyxxQ222222)(),(),(00yx即不含原點(diǎn)的單連通域，積分與路徑無關(guān)。 取新路徑 的上半單位圓弧的上半單位圓弧到到為從為從),(),(*0101BAL122 yx11其參數(shù)方程為 0變變到到從從 ttytx,sin,cos）（LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0 cos)sin(cos)sin)(sin(cos0 dt12例例2. 驗(yàn)證ydyxxdyx22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: 設(shè),yxQyxP22則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x,y) 使ydyxxdyxud22),(),(),(yxyydxxdyxyxu0022。

8、)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxdx00ydyxy02ydyxy022221yx13oxy例例3. 驗(yàn)證22yxydxxdy在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù),并求出它. 證證: 令2222yxxQyxyP,則)0()(22222xxQyxxyyP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122010 xd)(arctan0 xxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(yyyxydx02214oxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(y),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122yyyd021yxyyarctanarc

9、tanarctan1yxarctan2 xyarctanxyxxdy122或15故積分路徑可取圓弧例例4. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場xyrkF,2作用下沿曲線 L :xycos2 由),(20 A移動到, ),(02 B求力場所作的功W. ( 其中 )22yxr解解:dsFWL)(Lyxdxdyrk2令,22rxkQrykP則有)()(022422yxxQryxkyP曲線積分在除原點(diǎn)外的單連通開區(qū)域單連通開區(qū)域上與路徑無關(guān), :ABBAyLOx)(2yxdxdyrkWAB dk)cos(sin2022思考思考：積分路徑是否可以取 為什么？ ?OBAO):(sin,cos0222 yxk2 165例例設(shè)函數(shù)

10、 平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分 xoyyxQ在在),(LdyyxQxydx),(2與路徑無關(guān)，并且對任意t恒有 ),(),(),(),(),(),(ttdyyxQxydxdyyxQxydx10010022).,(yxQ求求解：由積分與路徑無關(guān)的條件知 xxyyxQ22)(待定待定)()(),(yCyCxyxQ217),(),(),(1002tdyyxQxydx102dyyCt)(102dyyCt)(),(),(),(tdyyxQxydx1002tdyyC01)(tdyyCt0)(tdyyCtdyyCt0102)()(兩邊對t求導(dǎo)得 1212ttCtCt)()(所所以以12yyC)(122

11、yxyxQ),(18三、全微分方程及其求法三、全微分方程及其求法1.1.定義定義: :0),(),( dyyxQdxyxP則則dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程192.2.解法解法: :0dyyxQdxyxP),(),(1)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).xQyP 通解為通解為 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),

12、(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu (2) 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法.為全微分方程為全微分方程20),(yxyxo例例1. 求解0)33()35(222324ydyyxyxxdyyxx解解: 因?yàn)閥P236yyxxQ故這是全微分方程 , 取,0,000yx則有xdxyxux045),(ydyyxyxy0222)33(5x2223yx3yx331y因此方程的通解為5x2223yx3yxCy 331)0 ,(x21例例2. 求解01)(2ydxxdxyx解解: 因?yàn)?1xyP所以這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解.將方程寫為02xxdyydxxdx即, 0

13、212xydxd故原方程的通解為0212xyxd或Cxyx221,xQ22.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解為原方程的通解為,42344224yyxx 例例3 323.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,將左端重新組合將左端重新組合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解為原方程的通解為),1

14、(32yxyd 例例424二、積分因子法定義定義: : 0),( yx 連續(xù)可微函數(shù)，使方程連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成為全成為全微分方程微分方程. .則稱則稱),(yx 為方程的為方程的積分因子積分因子. .問題問題: 如何求方程的積分因子如何求方程的積分因子?25思考思考:如何求解方程?0)(3ydxxdyx這不是一個全微分方程 ,12x就化成對一個非全微分方程 , 若有一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)),(yx使0),(),(),(),(ydyxQyxxdyxPyx為全微分方程 ,),(yx在簡單情況下, 求積分因子可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)得到 .則稱函數(shù)為原方程的

15、積分因子積分因子.但若在方程兩邊同乘例例2 的方程 .26常用的微分倒推式有常用的微分倒推式有)() 1 (dydxdyx )()2(dxdyydxyx)()3(dydyxdx)(2122yx )()4(2dyydxxdyyx)()5(2dxydxxdyxy)()6(dyxydxxdyyxln)()7(22dyxydxxdyyxarctan)()8(22dyxydyxdx22yx 27例例5 求解0)1()1(ydxyxxdyyx解解: 分項(xiàng)組合得)(ydxxdy即0)()(22yydxxdyxyxd選擇積分因子,1),(22yxyx同乘方程兩邊 , 得0)()(2ydyxdxyxyxd即0)

16、ln()ln(1ydxdyxd因此通解為,lnln1Cyxyx即yxeCyx1因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 為任意常數(shù) . 0)(ydxxdyyx微分倒推公式微分倒推公式28.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有例例6 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解為原方程的通解為.)(322322Cyxx 29.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有, 01)

17、ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx則則. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解為原方程的通解為.)1(31ln2322Cyyx 可積組合法可積組合法例例7 求微分方程求微分方程30內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式格林公式LQdyPdx2. 等價(jià)條件等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)yPxQ在 D 內(nèi)有ydQxdPuddxdyyPxQDLQdyPdx對 D 內(nèi)任意閉曲線L0LQdyPdx在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有31213311P習(xí)題習(xí)題)()()(,),)(),)(

18、)(),(,),)(),(75318754643252432121132D思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?Lyxydxxdy224) 1(lyxydxxdy224lydxxdy441o2y1x2LlDd5415Lyxydxxdy22)2(lyxydxxdy22ldxyxdy41Dd2412提示:022 yx時(shí)yPxQ) 1(yPxQ)2(332. 設(shè)設(shè),56,4),(grad42234yyxxyxyxu求).,(yxu提示提示:),(yxudxdxyx)4(34ydyyx)56(422),()0 , 0(),(yxyxuCy

19、ox),(yx)0 ,(xxdxx04ydyyxy0422)56(C551x322yxCy 5xdxyx)4(34ydyyx)56(42234一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設(shè)設(shè)D為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域?yàn)?平 面 上 的 一 個 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與

20、路徑無關(guān)的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設(shè)設(shè)D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習(xí)習(xí) 題題35二、二、 計(jì)算計(jì)算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗(yàn)證格林公式的正確性驗(yàn)證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分,

21、 ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整個在整個xoy面面內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān), ,并計(jì)算積分值并計(jì)算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計(jì)算下列曲線積分計(jì)算下列曲線積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點(diǎn)上由點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)的一段?。坏囊欢位。?62 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點(diǎn)和是過原點(diǎn)和)1,1(A, ,)6,2(B且其對稱軸垂直于且其對稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , AMB是連接是連接B