高等數(shù)學下教學資料newtaylor級數(shù)與函數(shù)的冪級數(shù)展開學習教案

1、會計學1高等數(shù)學下教學資料高等數(shù)學下教學資料newtaylor級數(shù)與函數(shù)級數(shù)與函數(shù)的冪級數(shù)展開的冪級數(shù)展開第一頁，編輯于星期三：七點 四十二分。nnnf zDaDdaDddist aDz adfaf zzan( )+0( ) ( ,)-( )( ) =()! 若函數(shù)在區(qū)域解析， 為到的邊界若函數(shù)在區(qū)域解析， 為到的邊界各點的最短距離，即.則當時，各點的最短距離，即.則當時， B a dadB a dD( , )( , ). 表表示示以以 為為圓圓心心， 為為半半徑徑的的圓圓，r z -ard取 使得，取 使得，1、定理、定理1（Taylor展開定理）展開定理）證明：證明：則則zB a d( ,

2、 ) 對，對，( )-f zz ar 在在閉閉圓圓內(nèi)內(nèi)解解析析。電氣學院學習部資料庫第1頁/共27頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十二分。rK:ar現(xiàn)記圓周，現(xiàn)記圓周，Cauchy由積分公式，由積分公式，rKff zdiz1( )( ) =2 zaza11()() 111zaaa 01nnzaaa nnnzaa10()() 1zaa 由，有由，有電氣學院學習部資料庫第2頁/共27頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十二分。rnnKnzaf zfdia101()( ) =( )2() rnnKnfzadia101( )=()2() 關于 一致收斂關于 一致收斂rnnKnfdzaia101( )=()

3、2() nnnfazan( )0( )=()! 證畢證畢nnTaylorTaf za facTaylornylor( )( )( )! 級級數(shù)數(shù)展展 上上式式右右端端的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為在在點點 的的，開開式式或或。稱稱為為系系數(shù)數(shù)。電氣學院學習部資料庫第3頁/共27頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十二分。nnnfMarclaurinaf zzf zn( )+0(0)0( )=( )! 若若， 稱稱為為的的級級數(shù)數(shù)。( )z f ze 解解 處處處處解解析析，( )( )nz fze 且且，nf( )(0)1 ，故故( )+0(0)!nznnfezn |z|+ 。( )0z f zez=Tay

4、lor 例例1 1 將將在在點點展展開開成成級級數(shù)數(shù)。0!nnz n ，( )sin0 f zzz=Taylor 例例2 2 將將在在點點展展開開成成級級數(shù)數(shù)。+210( 1)sin, |(21)!nnnzz zn 電氣學院學習部資料庫第4頁/共27頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十二分。nnnnn f za f za f zczafa cn0( )( )( )( )() ,( )2! 設在點解析，若在點 的冪級數(shù)設在點解析，若在點 的冪級數(shù)展開式為展開式為 定理定理則則2、Taylor展開的唯一性展開的唯一性證明：證明：a 在在 的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，nnf zcc zaczacza20

5、12( )()()() 電氣學院學習部資料庫第5頁/共27頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十二分。nnfzcczancza112( )2()() nnfzcczacn nza223( )23 2()(1)() nnnfzcncnnza( )1( )!(1)2() za 在在以以上上各各式式中中取取，可可得得f ac0( ), fac1( ), fac2( )2, nnfan c( ),( )!, 故故nnfa cn( )( )! 證畢證畢電氣學院學習部資料庫第6頁/共27頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十二分。( )( )( )-f za f zaTaylorR a f za bRa b 若若

6、在在 點點解解析析，那那么么使使在在 點點的的展展開開式式成成立立的的圓圓域域半半徑徑等等于于到到的的距距 最最近近的的一一個個奇奇點點 之之間間的的距距離離，即即注注：1( )(1)(2) f zzz 例例3 3，12z z 有兩個奇點和 。有兩個奇點和 。0( )()nnnf zzi czi Taylor 在在的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可以以展展開開成成的的級級數(shù)數(shù), ,12Ri 使使該該級級數(shù)數(shù)成成立立的的圓圓域域半半徑徑為為。( )tan4 f zz zTaylor 例例4 4 求求在在點點展展開開成成級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑。電氣學院學習部資料庫第7頁/共27頁第八頁，編輯于星期三：七點

7、 四十二分。( )( )( )( )( )1, 2,nn f z fz fa 先先求求出出的的各各階階導導數(shù)數(shù)和和，n nln(1)(1),(1)aaza zez 例例5 5 設設（稱稱為為的的主主值值支支），求求它它的的MarclaurinMarclaurin展展開開式式。1、直接展開法、直接展開法解：解：zf zzMarclaurinln(1)1( )1 首先，由于在往左的負實軸上不解析，首先，由于在往左的負實軸上不解析，只能在內(nèi)展開為級數(shù)。只能在內(nèi)展開為級數(shù)。aazf zzeln(1)( )(1), 記 記 ( )0( )( )=()!nnnfa f zza n 代代入入，再再確確定定收

8、收斂斂半半徑徑即即可可。電氣學院學習部資料庫第8頁/共27頁第九頁，編輯于星期三：七點 四十二分。ln(1)( )( ),11azaaf zfzezz 1( )( ),zfzaf z 可可得得（ ）1n 兩邊求階導，得兩邊求階導，得nnnz fznfzafz( )(1)(1)(1)( )(1)( )( ),整理得整理得nnz fzanfz( )(1)(1)( )(1)( ), 0z 令，并由此遞推關系，得令，并由此遞推關系，得f (0)1, (0),fa (0)(1),fa a ,nfa aan( )(0)(1)(1),電氣學院學習部資料庫第9頁/共27頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十二分。

9、1( )(1)(1)( )(1)1,(1)!annf zMarclaurina aan f zzzzn 故故的的展展式式為為12aa 特別地，當和時，有特別地，當和時，有nnzzz01() ,(1)1 11211( 1),(1)(1)nnnnzzz 0( 1) (1)(1)nnn =nz z ，電氣學院學習部資料庫第10頁/共27頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十二分。2、間接展開法、間接展開法 利用已知函數(shù)的展開式，結合冪級數(shù)的運算性質，以求利用已知函數(shù)的展開式，結合冪級數(shù)的運算性質，以求得目標函數(shù)的展開式。得目標函數(shù)的展開式。sincos z z z 例例6 6 把把和和展展開開為為 的

10、的冪冪級級數(shù)數(shù)。解解：izizeezcos2 又又，nniziznnizize enn00( )(),! 故故nnnizizznn01( )()cos2! nnnniizn01()2! 電氣學院學習部資料庫第11頁/共27頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十二分。knnnk iink22( 1) ,()210, 由于 由于 故故kkkzzk2012( 1)cos2(2 )! kkkzk20( 1)(2 )! 即即nnzzzzzn2462cos1( 1)2!4!6!(2 )! 同理可得同理可得nnzzzzzn3521sin( 1)3!5!(21)! z sin考慮用冪級數(shù)的逐項求導來獲得的展開式

11、?考慮用冪級數(shù)的逐項求導來獲得的展開式?電氣學院學習部資料庫第12頁/共27頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十二分。0( )(0)( )zf zffz dz ( )ln(1) f zz z 例例7 7 把把函函數(shù)數(shù)展展開開為為 的的冪冪級級數(shù)數(shù)。解解：1( )ln(1)1fzzz nnz0() z(1) 逐逐項項積積分分，得得znnz dz00() znnnz dz00( 1) nnnzn10( 1)1 f (0)0, 又又 nnn zzzn10( 1)ln(1),(1)1 故故電氣學院學習部資料庫第13頁/共27頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十二分。必須熟記的幾個基本的展開式必須熟記的

12、幾個基本的展開式:(2)z e(3)sinz2301,!23!nnnzzzzz |z|nn 2103521( 1)(21)!( 1),3!5!(21)!nnnnnznzzzz |z|n (4)cosz20242( 1)(2 )!1( 1),24!(2 )!nnnnnznzzz |z|n 1(1)1- z201,1nnnzzzz |z| 電氣學院學習部資料庫第14頁/共27頁第十五頁，編輯于星期三：七點 四十二分。12(1)(1)1!(1)(1)(1)1,2!1nnnn znnzzzn |z| (5)ln(1) z 10231( 1)1( 1),1231nnnnnznzzzz |z|n (6)(

13、1) z nnnnnzzz nzzz0201() ,(1)11( 1) (1),(1)(1) 其其中中，電氣學院學習部資料庫第15頁/共27頁第十六頁，編輯于星期三：七點 四十二分。2110( )-1(1) f z a z 例例把把函函數(shù)數(shù)在在點點展展開開為為冪冪級級數(shù)數(shù)。解解：zz2211(1)(1)2 z22112 (1)2 nnzn12111()22 nnnnz111(1)2 z(11) 1( )11- f z z+ z 例例8 8 把把函函數(shù)數(shù)展展開開為為的的冪冪級級數(shù)數(shù)。( )1z f ze z 例例9 9 把把函函數(shù)數(shù)在在處處 展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)。電氣學院學習部資料庫第16頁

14、/共27頁第十七頁，編輯于星期三：七點 四十二分。( )sinz f zez Marclaurin 例例1 11 1 把把函函數(shù)數(shù)的的展展開開式式。解解：izizzzeeezeisin2 izi zeei(1)(1)2 nnnnnnizizinn001(1)(1)2! nnnniizin01(1)(1)2! ininnnnneezin4401( 2)( 2)2! ininnnneezni440( 2)!2 nnnnzn0( 2)sin!4 電氣學院學習部資料庫第17頁/共27頁第十八頁，編輯于星期三：七點 四十二分。2112( )(1)43 f z zzz 例例把把函函數(shù)數(shù)展展開開為為的的冪冪

15、級級數(shù)數(shù)。解解： f zzzzz211( )43(1)(3) =zz111231 zz113(1)4 z 1212(1) nnnz10(1)4 z,(14) zz111(1)2 z 1414(1) nnnz10(1)2 z,(12) nnnnnnzz f z11001(1)(1)( )242 故故nnnn z110111()(1)224 nnnn z123021(1)2 ，z(12) 電氣學院學習部資料庫第18頁/共27頁第十九頁，編輯于星期三：七點 四十二分。af xf x( )( ):在定理一中，將取為實數(shù)，為實函數(shù)，就可在定理一中，將取為實數(shù)，為實函數(shù)，就可得到實函數(shù)的冪級數(shù)展開式得到實

16、函數(shù)的冪級數(shù)展開式 nnnfaf xxan( )+0( )( ) =()! 在這種情況下，收斂域被限制在實軸部分，稱為上式在這種情況下，收斂域被限制在實軸部分，稱為上式的的收斂區(qū)間收斂區(qū)間。注：注：做實函數(shù)的冪級數(shù)展開時，要分析區(qū)間端點的做實函數(shù)的冪級數(shù)展開時，要分析區(qū)間端點的斂散情況。斂散情況。電氣學院學習部資料庫第19頁/共27頁第二十頁，編輯于星期三：七點 四十二分。幾個基本的展開式幾個基本的展開式:(2)x e(3)sinxnnnxxxxxxnn2301,!23! nnnnnxnxxxxxn2103521( 1)(21)!( 1),3!5!(21)! 1(1)1- x201,11nnn

17、xxxx x (4)cosxnnnnnxnxxxxn20242( 1)(2 )!1( 1),24!(2 )! 電氣學院學習部資料庫第20頁/共27頁第二十一頁，編輯于星期三：七點 四十二分。nnnnnxnxxxx xn2103521( 1)21( 1),113521 (5)ln(1)x nnnnnxnxxxxxn10231( 1)1( 1), 11231 (6)arctanx12(1)(1)1!(1)(1)(1)1,2!11nnnn xnnxxxn x (7)(1)x 電氣學院學習部資料庫第21頁/共27頁第二十二頁，編輯于星期三：七點 四十二分。201211( 1) (1),( 11)(1)

18、(21)!(1)1( 1),( 11)(2 )!nnn nnnnxxxnxxxn -11-1 1x a （7 7）在在恒恒成成立立，但但當當取取不不同同值值時時，端端點點、處處說說明明：收收斂斂情情的的況況是是不不同同的的。114( )ln1x f x Marclaurinx 例例將將函函數(shù)數(shù)展展開開成成展展式式。210( )2,11.21nnxf x xn 答答案案：113( )2 f xxx 例例將將函函數(shù)數(shù)在在處處展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)。1(21)!( )1( 1)(2) ,(04)2 (2 )!nnnnnf xxxn 電氣學院學習部資料庫第22頁/共27頁第二十三頁，編輯于星期三：七

19、點 四十二分。215( )arctanln 1 f x = xxx Marclaurin 例例求求函函數(shù)數(shù)的的展展式式。解解法法1 1：2212( )arctan12 1xxfx = x+xx arctanx 21( )1fx = x 02( 1), | 1nnnx x ，(0) 0)f= 兩兩邊邊積積分分得得： 注注意意 0( )(0)( )xfxffx dx 220( 1)( ),11(21)(22)nnn f x x xnn 210( 1),21nnnxn 002( 1)nnxnxdx 002( 1)nnxnxdx (0) 0)f=再再兩兩邊邊積積分分得得： 注注意意 電氣學院學習部資料庫第23頁/共27頁第二十四頁，編輯于星期三：七點 四十二分。解解法法2 2：nnnxxn210arctan( 1),21 xx221ln 1ln(1)2nnnxn220( 1),22 nnnxn2(1)01( 1)21 nnnnnnx xxx = x