北師大版高中數(shù)學選修2-2第四章《定積分》定積分的概念

1、觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目

2、標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習

3、目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的

4、關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目學習目標：標：當分割點無限增多時，小矩形的面積和當分割點無限增多時，小矩形的面積和=曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對應的對應的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個小曲邊

5、梯形的面積用高個小曲邊梯形的面積用高為為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積S為為 取取n個小矩形面積的和作為曲邊梯個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim()niniSfxx=D1()niiSfxx=D (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個點個點,將它等分成將它等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度每個小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-

6、（一）、定積分的定義（一）、定積分的定義 11()()nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面積和S=如果當如果當n時，時，S 的無限接近某個常數(shù)，的無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，記作上的定積分，記作 baf (x)dx =f (x i)Dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim()ninibaf x dxfnx=-=ba即定積分的定義：定積分的相關名稱：定積分的相關名稱： 叫做積分號，叫做

7、積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim()ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy =被積函被積函數(shù)數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 說明：說明： (1) 定積分是一個數(shù)值定積分是一個數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關， 而與積分變量的記法無

8、關，即而與積分變量的記法無關，即（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)(二二)、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 a=b 時，有baf (x)dx=0。 當當f(x) 0時，由時，由y= =f (x)、x= =a、x=

9、 =b 與與 x 軸所圍成的曲軸所圍成的曲邊梯形位于邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲邊梯形面積的負值。上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在幾幾何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S Sab y=f (x

10、)Ox y( )yg x=探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的如何用定積分表示圖中陰影部分的面積面積?ab y=f (x)Ox y1()baSfx d x=( )yg x=12( )( )bbaaS SSf xdxg xdx=-=-2( )baSg x dx=（三）（三）、定積分的基本性質、定積分的基本性質 性質性質1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性質性質2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 定積分關于積分區(qū)間具有定積分關于積分區(qū)間具有可加性

11、可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質性質3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f思考：思考：從定積分的幾何從定積分的幾何意義解釋性質意義解釋性質ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 cOx y練習：利用定積分計算：練習：利用定積分計算：dx230 x 例例2 2：計算定積分：計算定積分 dx120(2x - x ) 練習：用定積分表示拋物線練習：用定積分表示拋物線 y=x2-2x+3 與直線與直線 y=x+3所圍所圍成的圖形面積成的圖形面積 dxdx33200 x + 3 x - x + 3 - -dx=320-x + 3x （四）、小結（四）、小結定積分的實質：特殊和式的逼近值定積分的實質：特殊和式的逼近值定積分的