(完整版)放縮法技巧全總結(jié)(非常精辟,是尖子生解決高考數(shù)學(xué)最后一題之瓶頸之精華)

1、2010 高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛 能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項(xiàng)放縮通過多角度觀察所給數(shù)n例 1.(1)求 _k 14k212的值；求證:n1k 1k2解析：(1)因?yàn)?14n2(2n21)(2n1)12n 1-所以112n 12n2n1(2)因?yàn)?奇巧積累：(1)12(1n2n!22n所以2nn1kF2n 12n 112n12(

2、n 1)n(n 1)n(n 1)1n(n 1)r!(n r)!1r!r(r 1)1(r 2) rn(n 1)(5)1112n(2n1)2n12n(7)2( n1n)1Jn(9)11k(n 1k)n 1 k(10)n11(6)1n 2n 1)(8)齊Tn(n(11)2n2n(12)1n3(13)2n 12 2(14)(15)(2n(31)(2n1)(2n2n1)(2n2)n(n 1)(n 1)n(n 1)1)33(21) 2k! (k 1)! (k 2)!(k 1) ! (k 2) !22n 1122n 1nTT(2 1)(21n(n 1)2n1 31)12n(2n iT21(2n3) 2n1_

3、Tk2n 11TH 2 11.yn 112n1(15)_Jn(n 1)n n 1(ni21ij21(i2 2i j 2丿2j)( i21 - j21)j211例 2.(1)求證：1丄丄32521(2n1)2716 2(n2)求證：丄丄丄4163611丄4n22 4n21 1 n - n -2：22)2)k 1k 1k 1求證:11 322 41 3 51 35(2n 1)2 4 624 62n i i2n6n(n 1)(2n 1)ak 1akb,否則若amb(mk)，則由0 a1amb 1知amInama1ln ama1ln b0,ak 1akkka ln a aa ln a，因?yàn)閍 ln a

4、k(a lnb)kkmmmm1m 1m 1于是ak 1a1k | a1ln b |a1(bajb是遞增數(shù)列，故存在正整數(shù)mk,使 amb,則(4)求證：2( n1 1) 111123n解析:(1)因?yàn)?11 11所以(2n 1)2(2n 1)(2n 1)2 2n12n 11 1 11111(2)_2(122)416364n42n(3)先運(yùn)用分式放縮法證明出1 3 5(2n 1)2 4 62n2( 2n 11)n11 11 1 1 112(32n 1)12(3 2n 1)21i 1(2i1)1 1(1 1 )4n1,再結(jié)合1進(jìn)行裂項(xiàng)，最后就可以得到答案n 2 nn 1n 22，所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得

5、到2( n1) 1./n22r,(2n 1 2n 1值不等式知道這是顯然成立的，所以例 3.求證:6n(n 1)(2n1)1 1)解析:一方面：因?yàn)?n244n212n12n2n 112n另一方面：16n，當(dāng)6n(n 1)(2n 1)當(dāng) n 2 時(shí),_(n6n1)(2n1)21n -n2 ,所以_1n(n1)1 時(shí)，(n 1)(2n 1)丄，所以綜上有例 4.(2008年全國一卷設(shè)函數(shù)f(x) x xlnx.數(shù)列滿足0 a,1.a1f (an).設(shè) b (a,)，整數(shù)k日1b.證a, ln b解析：由數(shù)學(xué)歸納法可以證明例 5.已知n, mN ,x1,S1m2m3mnm,求證：nm 1(m 1)

6、Sn(n 1)m 11.解析:首先可以證明:(1 x)n1 nxm 1m 1nn(n1)(n1)m 1(n 2)m 1nm 1m 1m10k(k 1)k 11所以要證nm 1(m 1)Sn(n 1)m 1只要證:km 1(k 1)m 1(mn1)km(n 1)m 11(n1)m 1nm 1nm 1(n 1)m 1n2m 1 1m 1(k1)m 1km 1故只首先12( n1 n)k 1k 1k 1a1a2二、函數(shù)放縮533993n13n15n6 6918272 3n13n6所以 ln2ln3ln4ln3n3n15n3n5n62343nxJ166例 9.求證:(1)2,ln 2ln3ln n2n

7、2n 1 /(n2)23n2(n1)解析:構(gòu)造函數(shù)f (X)ln x，得尋至UInn Inn2,再進(jìn);行裂項(xiàng).ln n221丄 11,求和后可以得到答案Xnn2nnn(n 1)要證n km 1(k 1)m 1k 1n(m 1) kmk 1(k11)m 1km 1，即等價(jià)于m 1mk (k 1)1m(m 1)k(k1)m1km,即等價(jià)于(1 丄廣1,1m 1k(11、m 1k)而正是成立的，所以原命題成立.例 6.已知aI4n2n,2n，求證:TT3in解析:Tn4142434n(21222n)4(14n)A2(1 22n)4Z(4n31)2(12n)所以Tn4(4n1) 2(1 2n)32n4

8、232n12232n1(2 2n2n%1)3 2n2n從而TTn12n1例 7.已知 x,1,Xnn(n 2kn1(n1,k2k,kZ)，求證:Z)4 X2nX2n2( n1)(nN*)證明：14x2nX2n 14(2n1)(2n1)144n22 n所以n n 1，所以14 * X2nX2n 1-2( m n)14X2X34x4X514 X2 nX2 n 12( n1)(nN*)例 8.求證：巴2 ln32ln44ln 3n3n5n66(n N).解析:先構(gòu)造函數(shù)有In xInxX1,從而Xln 22ln 33ln 4一3 3n n9 98 87 76 65 54 43 3ln 3n3n n2

9、 2函數(shù)構(gòu)造形式：ln: X X 1,ln nn1(2)例 10.求證:111ln(n 1) 11123n 12n2解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明23，疊加之后就可以得到答案n(n 1)1函數(shù)構(gòu)造形式：*1) 23(x 0)1 ln(1 x) 3 %。)(加強(qiáng)命題)x 1xx 1例 13.證明 :In 2In 3 In 4In nn(n1)(n N*, n 1)345n 14解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)ln(x 1)(x 1)1(x 1),求導(dǎo)，可以得到：1f (x)12x,令 f(x)0 有 1 x2,令 f(x)0 有 x 2,x 1 x 1然后運(yùn)用ln(1 x) x和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路：1

10、1n 2n)an1 1In a” 1ln(1j)Ina”n n 2an 1(1Tn11。于是1 1,lnan2n n2nInan 1ln an2nnn 2n 1n 11 11 (丄)n 111(2)11解析:提示：In(n 1) In _1nn n 1lnn 1nInnn 1In 2函數(shù)構(gòu)造形式：|彳1Inx x,In x 1x當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖，取函數(shù)1 f(x)x首先：SSABCF1,從而,1inix|n x in iIn nln(ni)取i 1有，1nIn nln(n1)1In 2，3In 3 In 2,In nIn(n1),In(n 1)n 1另一方面，從而有1ixI

11、n xixin iInnIn(ni)In nIn(n 1)所以有In(n 1) 11，所以綜上有nIn(n1)例11.求證:(11)(12!13!)(11n!)e和(11 .9)(181)(1132n)e-例 12.求證:(11 2)(12 3)1n(n 1)e2n 3解析:lnn(n 1) 1所以 f(x)f (2)0,所以 ln(x 1)x 2 ,令 x n21 有,In n2所以inn口所以蘭廠3In 3 In 4In nn 1乜(n N*,n 1)4例 14.已知a1,an1(1n2n)an1證明尹解析：an 1(12n(11n(n 1)2)a然后兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以得到lnan 1l

12、n(11n(n 1)1)In a2n2(In ai 1In aj)i 1(i 1)i2i 2“1)1即ln anln a12an題目所給條件叩1)(n2)來放縮：1(1)an(n 1)注:2nn(nan11n(nln(an11) ln(an1)ln(1e2.x)即 ln(an1)1In 3n(n 1)an3e0)為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論(1鼻n(nn(n 1)1 e2.)(an1)T)1ln(ai 11)In1)21 ln(an1) ln(a21)1一n例 15.(2008 年廈門市質(zhì)檢)已知函數(shù)f (x)是在(0,)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，右X f

13、(x) f (x)在 X0 上恒成立.(I)求證：函數(shù)f(x)上是增函數(shù);g(x)x在在(0,)(II) 當(dāng)X10,x2(III) 已知不等式0 時(shí),證明:f(X1)ln(1x) X在Xf (X2) f (X1X2)；1且X 0時(shí)恒成立，求證：丄In 22丄尹 薩ln 32in 42詁嚴(yán)1)2n2(n 1)(n環(huán).解析：(I)g(x)f(x)x f (x)0,所以函數(shù)g(x)竺在竺在(0,X上是增函數(shù))(II)因?yàn)間(x)竺在(o,X上是增函數(shù))f(X1)X1f(X1X2)X1X2f(xjf (X1X2)X1X2f (X2)X2f(x X2)X1X2f(X2)x1x2-f (X1X2)X2兩式

14、相加后可以得到f (X1)f(X2)f(X1X2)(3)f(N)f(XX2f化)X2X1Xn)X1X2Xnf(X1 %XjX1X2Xnf (X1)f (X2)X1X2Xf (X1X2X1X2X2Xnf(X1X2Xn)f (Xn)Xnf (X1X1X2X2Xn)Xnf(xXnX2Xnf (X1X2Xn)相加后可以得到f(X1)f (X2)f (Xn)f (X1X2Xn)所以 x.In x1X2In x2X3ln X3XnIn Xn(X1X2Xn)ln(x1x2Xn)$ln22丄In32232和42(n2ln(n1)21)2141(n1)2ln1(n 1)21(n 1)2ln1F21(n 1)n2

15、(n1)(n 2)所以R2P321(n 1)2ln(n1)22(n1)(n2)(n N ).(方法二)ln(n(n1)21)2ln(n 1)2(n 1)(n 2)In 4(n 1)( n 2)ln4 -n所以丄點(diǎn)22*ln34_ln4ln(n 1)2ln 4 -(n 1)22nln 42(n 2)1)1又ln4 1丄所以n 1丄ln 22丄ln 322護(hù)1212n4ln 4(n 1)2ln(n 1)2(n 1)(n2)(n N*).例 16.(2008 年福州市質(zhì)檢解析:設(shè)函數(shù)g(x) f(x)x ln x, xln x (kx)ln(k k.)已知函數(shù)f (x)x lnx.若a 0, b 0

16、,證明：f (a) (ab)ln 2f(ab) f(b).f(kx), (k0)三、分式放縮f(x)g(x)0 xg (x)令 g (x)函數(shù)x),In x 1 ln(kx0,則有 cx)1 ln k x2x kE0k2x k.k)上單調(diào)遞增，在g(x)在_,k2(0k上單調(diào)遞減.二 g(x)而g(2)的最小值為g(x)即f(X)令x a, kkg(2)即總有g(shù)(x)g(k).2kf(2)f(k)f(kkln 2,kk ln k(ln k2x) f(k) I x b,則k a b.f (kkln 2.f(a) f (b) f (a b) (a b) ln2.f(a) (a b)ln 2 f (

17、a b) f(b).In 2)f (k) kln2,姐妹不等式：bL(b a 0,m0)和ba a maja ba m0, m0)記憶口訣小者小，大者大解釋:看 b,若 b 小，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之.例 19.姐妹不等式：(1 1)(11 13)(15)(11(1J(112n12n 1也可以表示成為2 4 6 2nR 和宮13 5(2n 1)2 4_ (2n 1)62nJ2n解析：利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)0, m0)可得2n 32n 122n 12n2n 1 .右(2n 1)(2 4 6-)21 3 5 2n 12n1 即(1 1)(15)(112n 1)-2n 1.例 20.證明:(11 11

18、)(1J解析：運(yùn)用兩次次分式放縮1)(1(13n2)33n1.3n3n2 5 83n 14 7 103n 1(加 2)1 4 73n 23 6 93n相乘，可以得到：7 7 - - 5 54 4 - - 2 27 7 - - 8 84 4一5 51 1 - - 2 21 1 1 1n n n n3n3n(1111所以有(1 1)(114)(117)_)33n 1.2四、分類放縮例 21.求證：112解析：11(1 1)(丄丄2 2(1例 22.(2004 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，y軸正半軸上的點(diǎn)列A與曲線y亦(X0)上的點(diǎn)n列B”滿足OAJ |OBn1，直線AnB

19、n在 X 軸上的截距為nan.點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為bn，n(1)證明anan14，n N; (2)證明有 n0N，使得對(duì)nn。都有色冬b1b2bnbn 1n 2008.n解析：(1)依題設(shè)有：A0,1,Bnnbn2b；, bn0，由OBn+ 得:b,22bnbn1,nN*,又直線ABn在x軸上的截距為an滿足a”02bn10bnn0anbn-Q2n2bn1 n2bn20,b1 n 2bnbn1 n 2bnbn1 n. 2bn21 2n2bn氣 -bn2 . 2bnn bnn bnn顯然,an 14, n N對(duì)于1nN*，則1n 122n 172n 11n2T12nn1121n122n 1Q 2n

20、1C1C2Sn22所以，取22n右12400922kn 0,1 ,n n2N*，則當(dāng)k2n0都有:2k12N*時(shí),1 匹b1bsb2bn 1bnSn4017212008b1bib2bnbnbn 112(2n2lnx(k N*) .k 是奇數(shù),n N* 時(shí),-2).解析：由已知得f (x) 2x2(x 0)，x(1)當(dāng) n=1 時(shí)，左式=(2x0右式=0.二不等式成立(2)n2,左式=f (x)nnf (x )(2x22)n(2x(C；x2c 2CnXCnnCnnxn 2).C；x22 rCnXn 2CnnX12由倒序相加法得:2S C：(xn2C：(x丄)n 47x2)2(C；所以 SC：(2

21、nCnn1)2(2n2)，所以f (x)n2n1f (xn)2n(2n2)成立.綜上,k 是奇數(shù),n N時(shí)，命題成立例 41. (2007 年東北三校)已知函數(shù)f(x) axx(a 1)(1)求函數(shù)f (x)的最小值，并求最小值小于o 時(shí)的a取值范圍;C：1f (n 1)求證：s(n) (2n2) f(2)若令b，則 abx 8,而f 111f xax xab(一) 、先證f %1； 因?yàn)?1，1 1，11，1 x1 xJ1 a 1 a1 b1 b又由2 a b x 2.2a2 bx4丁2abx 8，得a bx 6所以f11111 132(ab x)(ab ax bx)Tx1 x1 a .1

22、b 1x1 a 1 b(1 x)(1 a)(1b)9(a b x)(ab axbx)1(ab x) (ab axbx)abx1(1 x)(1a)(1 b)(1 x)(1 a)(1b)1(二)、再證f x 2;由、式中關(guān)于x,a, b的對(duì)稱性，不妨設(shè)x a b則0 b 2ab,因?yàn)閍b2(1血)(1)由f (x) axIn a 1, f (x)0,即：axIn a1,ax,又aIn alogIn a同理：f(x)所以f(x)在(0,有x,log所以f (x)minf(loglogaIn a,In a)上遞減，在(1 In In a Ina)In alogIn a,)上遞增;1若f (x)min0

23、,即-ln a1a的取值范圍是1 aelnlna0,則In lna1,1 ln a一e例 42. (2008 年江西高考試題)已知函數(shù)解析:對(duì)任意給定的a 0，x0,由f(x)11 x11 aS( n) C：(alna 1) Cj(a2lna (C；a C：a1尹(a an1)na(2n2) lnan(2n2)(a lna所以不等式成立。axCnn 1al)Ina1)(C1C；Cn21(an 1lna 1)cn1)C2(a2an 2)1(aa)ln a (2n2)(2n2)1) (2n2)f對(duì)任意正數(shù)a,證明：1(i)、當(dāng)a7，貝U a 5，所以a 5，因?yàn)?1 b1 1“i1 x訃 1 a2

24、，此時(shí)151(ii)、當(dāng)a7，由得，x8，ab1abJ1 x . ab 8因?yàn)閎24(1 b)2 1b2(1所以11 bb2(1 b)同理得a2(1 a)，于是ara2囂ab只要證(1 a)(1因此得證故由得b)ab，即ab 8ab(1a)(1 b)，也即a b 7，據(jù)，此為顯然.f(x)綜上所述，對(duì)任何正數(shù)a,皆有1 f例 43.求證：1丄n 113n 1解析:一方面：1n 113n 1令 S(n) C：fC；f(2)今證明12(法二)1n113n1n4n(3n1)(n 1)4n3n(n4n 2(n 1)(3n1)2n 1(2nn2(2n1)2(n 1)2(2n2(2n 1)1(2n1p另一

25、方面：111213n2n 11 n 1十、二項(xiàng)放縮n2(11)nC1Cnn,2n1,2nCnn22nn(n1)(n2)例 44.已知a11,an 1(1)ann1尹.證明a,lne2解析:an 1(1ln(an 11) ln(an1) ln(11)an(n 1)71) n(n 1) n(n 1)n(n111)an 1(1侖)(a1)即 ln(an1) 1 ln 3 an3e 1 e2.例 45.設(shè)1ln(a| 1I 21)ln(a 1)1112i(ri)ln( an1)ln (a21) 1 21na (11)n，求證：數(shù)列an單調(diào)遞增且ann(朮4.解析：引入一個(gè)結(jié)論:整理上式得an以11ba

26、 1,bn 1即an單調(diào)遞增。以1代入a 1, b 12n此式對(duì)一切正整數(shù)bn(n1代入n1)a)a 0 則 bn 1nb.(式得(1(n1)b(ba)(證略)(11一)n式得n都成立,12即對(duì)一切偶數(shù)有(12n4.(14，又因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)1(1 )n注：上述不等式可加強(qiáng)為12 (1 -)n3 簡證如下:利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮:只取前兩項(xiàng)有an1 c：(11n2對(duì)通項(xiàng)作如下放縮:ancnCnn4nn丄k!故有ann1丄2J2丄k!1刃.111 2 21 1 (1/2)n21 1/23.上述數(shù)列an的極限存在，為無理數(shù)e；同時(shí)是下述試題的背景:已知I ,m,n是正整數(shù)

27、，且 1證明(1 m)n(1 n)m.(01 年全國卷理科第 20 題)1J簡析 對(duì)第(2)問：用1/n代替n得數(shù)列bn：bn(1 n)n是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列(1 n)n遞減，且 1 I m n,故(1 m)m(1 n)=即(1 m)n當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給岀非常漂亮的解決！I m n.(0 證明nmmn；(2)例 46.已知 a+b=1,a0,b0，求證：a解析：因?yàn)?a+b=1,a0,b0,可認(rèn)為a1 b成等差數(shù)列，設(shè)，2(1 n)m。10 多種,如使用上述例 5 所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造 詳見文 1。n n 1

28、n.b 2a丄d,b - d，2 2分房問題”概122122從而ab即(11)n(n 1)(n2),得證.28解析:本題的亮點(diǎn)很多，是一道考查能力的好題.(1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性：因?yàn)閍f(a) bf (b) af(b) bf (a)所以可以得到(a b) f(a) (a b)f (b) 0,也就是(a b)( f (a) f (b) o ,不妨設(shè)a b所以，可以得到 f (a)f(b),也就是說f (x)為N上的單調(diào)增函數(shù)(2)此問的難度較大，要完全解決岀來需要一定的能力！首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足”嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論，一發(fā)現(xiàn)就有思路了！由(1)可知

29、(a b)( f (a)f(b)0,令b1,a f (1)，則可以得到(f (x) 1)(f (f (1) f (1) 0,又f(f (1)3,所以由不等式可以得到1f(1) 3,又f (1) N*,所以可以得到f (1)2接下來要運(yùn)用迭代的思想：因?yàn)閒(1) 2所以f(2) f f(1)3,f (3) ff (2) 6,f(6) f f(3)9f(9) ff (6)18,f (18) f f (9)27,f (27) f f(18) 54,f (54)f f (27)81在此比較有技巧的方法就是：81 5427 54 27,所以可以判斷f (28)55當(dāng)然，在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論

30、，所以還可以列項(xiàng)的方法，把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來，然后就可以得到結(jié)論.所以,綜合有f(1) f (6) f (28)=55 9 266在解決 an的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難.ff(3n)3n1, f(3n1)fff(3n)3f(3n),am 3a.,所以數(shù)列耳f(3n),nN*的方程為 a.2 3n,從而1 111(1古)，a1a2an43例 47.設(shè)n1,n N，求證(_?)n(n2)解析：觀察(1 1)2n的結(jié)構(gòu),(3)1 cn12Cn2注意到(3(2)1 C31(1展開得n n(n 1)28(n 1)(n 2) 6,例 48.求證W3In 2ln(112)In2n解析:參見上面的方法，希望

31、讀者自己嘗試!)例 42.(2008 年北京海淀5 月練習(xí))已知函數(shù)yf(x),x N ,yN*，滿足:1對(duì)任意 a, b N*,a2對(duì)任意n N*都有 f f (n)3n.b，都有af (a) bf (b)af(b) bf(a)；(I)試證明:f (x)為N上的單調(diào)增函數(shù);(H)求f(1)f (6)f(28)；(III )令anf (3n), n N*，試證明：._24n1 1 1L 2a1a2an2122一方面1(143n)丄，另一方面 3n(1 2)nC020C； 212n 14所以!(1丄)!(1_)丄上Ln,所以,綜上有43n4 2n 14 2 n 1 4n 21 1an4a1a2a

32、2a3an 1anaa1例 49.已知函數(shù)fx 的定義域?yàn)?,1，且滿足下列條件:1對(duì)于任意x0,1，總有 f x 3，且f 14；2若X10,X20,X1X21,則有 fx,X2fX1f(X2)3.(I)求 f 0 的值；(u)求證：f x4解析：(I)解：令x1x20,由對(duì)于任意x0,1，總有f x 3，二f(0)3又由得f (0)2f(0) 3,即f (0)3;f (0) 3.n4n 21a：丄L日2因?yàn)閤2x10，所以f(X2X1)3，即f(x2X1)3 0,二f(X1) f(X2).二當(dāng)X0,1時(shí)，f(x)f(1)4.(山)證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明11)13n 13(nN*)(1)當(dāng)

33、 n=1 時(shí)，1f(1)4 113303，不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，f1 1(滬)尸3(kN*)則 f(X2)f X!(X2X1) f (X1)f (X2X1) 3,由3f(3kG)11片律)1f(R6即當(dāng) n=k+1 時(shí)，不等式成立由(1 )、( 2)可知，不等式f(丄)3n 13對(duì)一切正整數(shù)都成立.于是當(dāng)11時(shí)于疋，當(dāng)X (耳，尹(n 1,2,3,)時(shí)，3x* 3 f(*)，而X0,1，f x單調(diào)遞增1“尹)所以,f(x)3x3.例 50.已知：印a.1,ai0(i1,2n)求證：a：a1a2a；a2a：1解析:構(gòu)造對(duì)偶式：令a1an 1a12a22日3aLanana1a2a2a

34、32ana21an 1an2a1a2nana1(山)11時(shí)&,”(n 1,2,3,)試證明:f (x) 3x 3.(H)解：任取X1,X20,1,且設(shè)X1X2,f2 2a1a2(ani佝2aia1a2)a2ja2(a2aiaj1 -(A B)22 2a?a32 2an 1an2 2ana1a2a3)a)2 2a1a2a3an 1anan) (an(i,j 1,22 2a2a3a3n)ana1a1)0,A22a -an1na 4an1n2 2ana114(a1a2)十一、積分放縮(a2日3)(anan)(anajan12ai利用定積分的保號(hào)性比大小保號(hào)性是指，定義在a b上的可積函數(shù)0，

35、則dx例 51.求證:解析：elnIn e/InIn eIn xe,時(shí),.InIn x1 In x2dx，xIn x2x1 In xdxxIn ee利用定積分估計(jì)和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積, 現(xiàn)在用它來估計(jì)小矩形的面積和例 52.求證:1 ，n 1,n N.解析：考慮函數(shù)在區(qū)間i,i 1i 1,2,3,L,n上的定積分.如圖，顯然i 1-i對(duì)i求和,1 1dx.x1n 1例 53.已知n解析:考慮函數(shù)例 54.從C上的點(diǎn)Q坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列2 xn14.求證:172n 101,2,3,L ,n上的定積分in _i 1一一1nidx一n1i 1-1 xdx1丄 dx

36、01 x1In1x0ln 2710(2003 年全國高考江蘇卷)設(shè)a 0，如圖，已知直線l:y ax及曲線n1作直線平行于x軸，交直線|于點(diǎn)Pn!，再從點(diǎn)Pn 1作直線平行于anx2,C上的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a1(0y軸，交曲線C于點(diǎn)Qn!.Qnn 1,2, L , n的橫2 2a1a2(ani（i）試求an 1與an的關(guān)系，并求an的通項(xiàng)公式;(n)1 a1時(shí)，證明1a12ak 1)ak 21 :32（山）1時(shí)，證明解析:ana（蟲）2（過程略）a證明（II）：由a 1知2an 1anai:當(dāng)k 1時(shí)，-a3n1n(aak 1)an(11 2nx) 3,n1,2,L;a2Lann2解析:(1)依題，容易得到an3n23n”證1(1 x)2x ,n1,即證3n(1 x)2(1即證2 3n3W230,設(shè)t1所以即證明(t)2 3nt23n2t1 0(0 t 1)從而(1) 0,即 13n0,這是顯然成立的.所以綜上有對(duì),a1(1-x)2x,n 1,(法二)丄1 x1(1 x)211-(11xp1 11 x (1 x)21(1 x)an和1x)anwaan原不等式成立.(2) 由 (1)知，對(duì)任意的原不等式成立.十四、經(jīng)典題目方法探究ln(1 x) x若f(x)在區(qū)間0, n( nN*)上的最小值為 bn，令 anln(1 n) bn.求1 2 xx (1