二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1二維隨機(jī)變量的函數(shù)二維隨機(jī)變量的函數(shù)(hnsh)分布分布第一頁(yè)，共38頁(yè)。3.5.1 和的分布和的分布(fnb)3.5.1.1 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)和的分布和的分布3.5.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布3.5.2 一般函數(shù)一般函數(shù) 的分布的分布 ),(YXgZ 3.5.4 最大值、最小值的分布最大值、最小值的分布第1頁(yè)/共37頁(yè)第二頁(yè)，共38頁(yè)。 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)函數(shù)(hnsh)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:我們我們(w men)先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題，問(wèn)題， 然后將其推廣到

2、多個(gè)隨機(jī)變量的情形然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分布已知時(shí)，的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何如何(rh)求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù) Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的分布的分布?第2頁(yè)/共37頁(yè)第三頁(yè)，共38頁(yè)。一、離散一、離散(lsn)型分布的型分布的情形情形例例1 若若X、Y獨(dú)立獨(dú)立(dl)，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),

3、(由獨(dú)立性由獨(dú)立性此即離散此即離散(lsn)卷積公式卷積公式r=0,1,2, 和的分布：和的分布：Z = X + Y 第3頁(yè)/共37頁(yè)第四頁(yè)，共38頁(yè)。解：依題意解：依題意(t y) riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由卷積公式由卷積公式(gngsh)i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 第4頁(yè)/共37頁(yè)第五頁(yè)，共38頁(yè)。riirYiXPrZP0),()(由卷積公式由卷積公式(gng

4、sh)ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.21r=0,1，第5頁(yè)/共37頁(yè)第六頁(yè)，共38頁(yè)。例例3 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合的聯(lián)合(linh)密度為密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解: Z=X+Y的分布的分布(fnb)函數(shù)是函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線(zhxin)x+y =z 左下方左下方的半平面的半平面.一、連續(xù)型分布的情

5、形一、連續(xù)型分布的情形和的分布：和的分布：Z = X + Y 第6頁(yè)/共37頁(yè)第七頁(yè)，共38頁(yè)。 化成化成(hu chn)累次積分累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性, fZ (z)又可寫(xiě)成又可寫(xiě)成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上以上(yshng)兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.第7頁(yè)/共37頁(yè)第八頁(yè)，共38頁(yè)。 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密度的邊緣

6、密度分別分別(fnbi)為為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式這兩個(gè)公式(gngsh)稱(chēng)為稱(chēng)為卷積公式卷積公式(gngsh) .dxxzfxfzfYXZ)()()(第8頁(yè)/共37頁(yè)第九頁(yè)，共38頁(yè)。為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為(b wi)0的區(qū)的區(qū)域域 例例4 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式(gngsh) 1010

7、xzx即即 110 xzxx第9頁(yè)/共37頁(yè)第十頁(yè)，共38頁(yè)。其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示如圖示:于是于是(ysh)為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 1010 xzx即即dxxzfxfzfYXZ)()()(110 xzxx第10頁(yè)/共37頁(yè)第十一頁(yè)，共38頁(yè)。解法二解法二 從分布從分布(fnb)函數(shù)出發(fā)函數(shù)出發(fā))()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當(dāng)當(dāng)z 0 時(shí)時(shí)，0)( zFZ1yx1 可用卷積公式直接求密度函數(shù)與通過(guò)可用卷積公式直接求密度函數(shù)與通過(guò)(tnggu)分分布函數(shù)求密度函數(shù)

8、兩種方法求和的分布布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布 zyxYdxdyyfxf)()(X第11頁(yè)/共37頁(yè)第十二頁(yè)，共38頁(yè)。x+y = z當(dāng)0 z 1 時(shí)， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(22z zzfZ)(1yx1zz第12頁(yè)/共37頁(yè)第十三頁(yè)，共38頁(yè)。x+y = z當(dāng)1 z 2 時(shí)，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ 2)(z-11yx1zz第13頁(yè)/共37頁(yè)第十四頁(yè)，共38頁(yè)。1yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時(shí)，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或第14頁(yè)/共37頁(yè)第十五頁(yè)，共

9、38頁(yè)。例例5 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時(shí)時(shí)30分在某地會(huì)面分在某地會(huì)面.如如果甲來(lái)到果甲來(lái)到(li do)的時(shí)間在的時(shí)間在12:15到到12:45之間是之間是均勻分布均勻分布. 乙獨(dú)立地到達(dá)乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在而且到達(dá)時(shí)間在12:00到到13:00之間是均勻分布之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一人試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率又甲先到的概率是多少？是多少？解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達(dá)為甲到達(dá)(dod)時(shí)刻時(shí)刻,Y為乙到達(dá)為乙到達(dá)(dod)時(shí)刻時(shí)刻以以1212時(shí)為起點(diǎn)時(shí)為起點(diǎn), ,以分為以分為(fn wi)(fn

10、 wi)單位單位, ,依題意依題意, ,XU(15,45), YU(0,60)第15頁(yè)/共37頁(yè)第十六頁(yè)，共38頁(yè)。其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P( |X-Y | 5) 及及P(XY)其它, 0600,601)(xyfY解解: 設(shè)設(shè)X X為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻， Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以1212時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率(gil)由獨(dú)立性由獨(dú)立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間到達(dá)的時(shí)間(shjin)不

11、超過(guò)不超過(guò)5分鐘分鐘的概率的概率第16頁(yè)/共37頁(yè)第十七頁(yè)，共38頁(yè)。解一：解一： 45155x5xdxdy18001P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yx=P( -5 X -Y 5)=1/6=1/2xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy18001第17頁(yè)/共37頁(yè)第十八頁(yè)，共38頁(yè)。解二：解二：5| yx |dxdy18001P(X Y)P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yxxy01545106040yx 第18頁(yè)/共37頁(yè)第十九頁(yè)，共38頁(yè)。例例6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)X和和Y相互獨(dú)立

12、相互獨(dú)立,且均且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),求求Z= X+Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).解解 由題意由題意(t y)得得 ( )( ,)( )()ZXYfzf x zx dxfx fzx dx( ),( )xyXYfxefye22221122X和和Y相互相互(xingh)獨(dú)立獨(dú)立,故故()xz xeedx222212()zzxeedx224212)tzx22( 令 dteety2422221 ()uedu2224221ye )2 , 0( NY第19頁(yè)/共37頁(yè)第二十頁(yè)，共38頁(yè)。結(jié)論結(jié)論: 兩個(gè)兩個(gè)(lin )獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的和獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的和 仍

13、服從正態(tài)分布仍服從正態(tài)分布.X1+X2N(1+ 2,12+ 22)正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性.即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2獨(dú)立(dl),則第20頁(yè)/共37頁(yè)第二十一頁(yè)，共38頁(yè)。三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布(fnb)求求M=max(X,Y) 及及N=min(X,Y)的分布的分布(fnb)函數(shù)函數(shù).設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立是兩個(gè)相互獨(dú)立(dl)的隨機(jī)變量，的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y),第21頁(yè)/共37頁(yè)第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。M=max(X,Y)不大于不大于z等價(jià)等價(jià)(dngj

14、i)于于X和和Y都不大于都不大于z，故有故有P(Mz)=P(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互相互(xingh)獨(dú)立獨(dú)立,于是于是(ysh)得到得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 第22頁(yè)/共37頁(yè)第二十三頁(yè)，共38頁(yè)。 類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布(fnb)函數(shù)是下面下面(xi mian)進(jìn)行推廣進(jìn)行推廣 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(

15、Yz)第23頁(yè)/共37頁(yè)第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個(gè)相互個(gè)相互(xingh)獨(dú)立的獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量,)(xFiX(i =0,1，, n)它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為 M=max(X1,Xn)的分布的分布(fnb)函數(shù)為函數(shù)為: )()(1zFzFXM )(zFnXN=min(X1,Xn)的分布的分布(fnb)函數(shù)是函數(shù)是)(1 1)(1zFzFXN )(1 zFnX 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n與二維情形類(lèi)似，可得與二維情形類(lèi)似，可得: 第24頁(yè)/共37頁(yè)第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互相互(xingh)獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)時(shí), 常稱(chēng)常稱(chēng)M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值為極值(j zh) . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水由于一些