二階線性偏微分方程理論與δ函數(shù)學習教案

1、會計學1二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程(wi fn fn chn)理理論與論與函數(shù)函數(shù)第一頁，共35頁。2二階線性偏微分方程(wi fn fn chn)理論本次課主要(zhyo)內(nèi)容與函數(shù)(hnsh)(一)、二階線性偏微分方程理論(二)、 函數(shù)第1頁/共34頁第二頁，共35頁。3(一)、二階線性偏微分方程(wi fn fn chn)理論基本概念T為算子(sun z)，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，稱T為線性算子(sun z)2. 二階線性偏微分算子(sun z) 1. 線性算子 第2頁/共34頁第三頁，共35頁。4于是(ysh) 二階線性偏微分方程可以(ky)簡記為

2、：齊次形式(xngsh)為：其中:3.邊界條件算子第3頁/共34頁第四頁，共35頁。5物理(wl)背景：疊加原理(yunl)原理(yunl)1：(有限疊加) 在物理上，常有所謂的疊加現(xiàn)象：即幾種因素產(chǎn)生的總效果等于各因素產(chǎn)生的效果總和。 物理上的疊加現(xiàn)象反映到數(shù)理方程中來，就得到線性定解問題中的疊加原理。 設(shè)ui滿足線性方程(或線性定解條件)： 又設(shè)： 那么：第4頁/共34頁第五頁，共35頁。6其中： 收斂，且算子(sun z)L與和號能交換次序。原理(yunl)2：(無限疊加)第5頁/共34頁第六頁，共35頁。7其中，M表示(biosh)自變量組，M0為參數(shù)組 .設(shè)u(M,M0)滿足(mnz

3、)線性方程(線性定解條件)：原理(yunl)3：且積分收斂，并滿足L中出現(xiàn)的偏導數(shù)與積分號交換次序所需要的條件，那么U(M)滿足方程(或定解條件）：第6頁/共34頁第七頁，共35頁。8原理(yunl)3的證明：主要(zhyo)假定了L與積分號的次序可交換！解的結(jié)構(gòu)定理：非齊次線性偏微分方程的一般解等于對應的齊次線性微分方程的通解(tngji)與非齊次方程的一個特解之和。第7頁/共34頁第八頁，共35頁。9例1 求泊松方程(fngchng) ：的一般(ybn)解。解:(1)先求出方程(fngchng)的一個特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：注：這是觀察法！一般情況下很難

4、求出偏微分方程特解。第8頁/共34頁第九頁，共35頁。10(2)、求對應齊次方程(fngchng)通解對應(duyng)齊次方程為：作變換(binhun)：則齊次方程化為：再作變換：第9頁/共34頁第十頁，共35頁。11方程(fngchng)化為：齊次方程(fngchng)通解為：原方程(fngchng)通解為：第10頁/共34頁第十一頁，共35頁。12背景(bijng)：齊次化原理(yunl) 在對波動方程與熱傳導方程定解問題的求解(qi ji)中，常?？紤]將定解問題中方程齊次化，這就需要用到下面與此相關(guān)的兩個齊次化原理。 齊次化原理有明確的物理背景，其背景就是力學中的沖量原理：力作用引起的

5、沖量等于動量的改變。 齊次化原理又稱為沖量原理。 齊次化原理的具體物理分析在此略去。第11頁/共34頁第十二頁，共35頁。13齊次化原理(yunl)1如果(rgu)滿足(mnz)方程：那么非齊次柯西問題的解為：為了證明該定理，先介紹：第12頁/共34頁第十三頁，共35頁。14含參變量積分(jfn)求導法則定理(dngl)在上連續(xù)(linx)，而a(u),b(u)在，上可導，且對任意u屬于，有：則： 的導數(shù)：第13頁/共34頁第十四頁，共35頁。15證明(zhngmng)：首先，第14頁/共34頁第十五頁，共35頁。16齊次化原理(yunl)2如果(rgu)滿足(mnz)方程：那么非齊次柯西問題

6、的解為：第15頁/共34頁第十六頁，共35頁。17對齊次化原理的三點(sn din)說明：1、齊次化原理(yunl)只適用于波動方程和熱傳導方程，對穩(wěn)態(tài)的泊松方程不能使用這兩個原理(yunl)；2、齊次化原理使用(shyng)時必須注意初始條件為零；3、齊次化原理可以推廣到有界域的波動、熱傳導方程的定解問題上。但定解問題必須滿足初始條件為零，邊界條件齊次！第16頁/共34頁第十七頁，共35頁。18例2、若V (x, t ;)是定解問題(wnt)是定解問題(wnt)的解，則：的解.第17頁/共34頁第十八頁，共35頁。19證明(zhngmng)：首先，其次(qc)，因V(x,t,)是齊次定解問題

7、的解，因此，不難證明第18頁/共34頁第十九頁，共35頁。20解的適定性(dng xng) 滿足解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的解稱為(chn wi)解的適定性。 解的穩(wěn)定性是指若定解條件(tiojin)有微小變化，其解也只有微小變化。 只有解滿足穩(wěn)定性，其解才有意義，因定解條件常為實驗數(shù)據(jù)，有測量誤差。第19頁/共34頁第二十頁，共35頁。21 1、 定義(dngy) 函數(shù)(hnsh)是指滿足下面兩個條件的函數(shù)(hnsh) (二)、 函數(shù)(hnsh) 幾點說明：第20頁/共34頁第二十一頁，共35頁。22 (1) 、 幾何(j h)意義曲線峰無限(wxin)高，無限(wxin)窄！但曲線下面積為

8、1。 (2)、物理(wl)意義x0 x(x-x0) 定義中條件(1)反映物理量集中在x0處，該處稱為點源；條件(2)反映物理量有限。第21頁/共34頁第二十二頁，共35頁。23 例3、兩端固定的長為L的弦，密度為，初始(ch sh)時刻在x0處受到?jīng)_量I的作用。求初速度和定解問題。解:(1)x0u(x,t)xL0第22頁/共34頁第二十三頁，共35頁。24(2) 由動量定理(dn lin dn l)F t= mv得：所以(suy)有：定解問題(wnt)為：第23頁/共34頁第二十四頁，共35頁。25 例4、一根長為L的導熱桿，密度為，比熱為c，初始時刻(shk)在x0處用火焰燒了一下，傳桿的熱

9、量為Q。求初始溫度分布和定解問題。解:(1)x0u(x,t)xL0第24頁/共34頁第二十五頁，共35頁。26(2)所以(suy)有：定解問題(wnt)為：第25頁/共34頁第二十六頁，共35頁。27 2、 性質(zhì)(xngzh)(1)篩選性質(zhì)(xngzh)：對任意連續(xù)函數(shù)(x),有：第26頁/共34頁第二十七頁，共35頁。28所以(suy)，證明(zhngmng)：由于(2)函數(shù)(hnsh)是偶函數(shù)(hnsh),即：有證明：由于對任意連續(xù)函數(shù)(x),有所以，第27頁/共34頁第二十八頁，共35頁。29函數(shù)(hnsh)的導數(shù)定義(dngy)：設(shè)定義的算符(n)稱為(chn wi)(x)的n階導數(shù)。

10、合理性解釋：作形式分部積分：由第28頁/共34頁第二十九頁，共35頁。30 1、 定義(dngy) 函數(shù)(hnsh)是指滿足下面兩個條件的函數(shù)(hnsh) 高維函數(shù)(hnsh) 物理解釋：表示點源的廣義函數(shù)。第29頁/共34頁第三十頁，共35頁。31 例6、在M0處放置單位電荷，則電荷體密度(md) 為函數(shù)。三維函數(shù)(hnsh)與一維函數(shù)(hnsh)的關(guān)系： 2、 性質(zhì)(xngzh)(1)篩選性質(zhì)：對任意連續(xù)函數(shù)f(M),有：第30頁/共34頁第三十一頁，共35頁。32(2)函數(shù)(hnsh)是偶函數(shù)(hnsh),即：第31頁/共34頁第三十二頁，共35頁。33作業(yè)(zuy)P40習題(xt)2.5第1、2題P45習題(xt)2.6第1、3題第32頁/共34頁第三十三頁，共35頁。34Thank You !第33頁/共34頁第三十四頁，共35頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學。T為算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，稱T。物理(wl)上的疊加現(xiàn)象反映到數(shù)理