雙星模型三星模型四星模型

1、雙星模型、三星模型、四星模型天體物理中的雙星，三星，四星，多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象，天體之間的相互作用遵循萬有引力的規(guī)律，他們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)的三條基本規(guī)律。雙星、三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計(jì)算，運(yùn)行周期的計(jì)算等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點(diǎn)的。雙星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律：ff，作用力的方向在雙星間的連線上，角速度相等，21?！纠} 1】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為t，兩顆恒星之間

2、的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為g ）【解析】：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為 1、2。根據(jù)題意有21rrr21根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有g(shù)1211221rwmrmmg1221221rwmrmm聯(lián)立以上各式解得2121mmrmr根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知t221聯(lián)立式解得322214rgtmm【例題 2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了lmcx3雙星系統(tǒng)，它由可見星a 和不可見的暗星b 構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響

3、.a、b 圍繞兩者連線上的o 點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖4-2 所示 .引力常量為g，由觀測(cè)能夠得到可見星a 的速率 v 和運(yùn)行周期t. (1)可見星 a 所受暗星 b 的引力 fa可等效為位于o 點(diǎn)處質(zhì)量為m 的星體 (視為質(zhì)點(diǎn) )對(duì)它的引力，設(shè) a 和 b 的質(zhì)量分別為m1、m2，試求 m ( 用 m1、 m2表示 ). (2)求暗星 b 的質(zhì)量 m2與可見星 a 的速率 v、運(yùn)行周期t 和質(zhì)量 m1之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的 2 倍，它將有可能成為黑洞.若可見星a的速率 v=2.7 105 m/s，運(yùn)行周期t=4.7 104 s，

4、質(zhì)量 m1=6ms，試通過估算來判斷暗星b 有可能是黑洞嗎？（g=6.6710-11 n m2/kg2， ms=2.0 1030 kg）解析：設(shè)a、b的圓軌道半徑分別為，由題意知， a、b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有121rmfa，222rmfb，baff設(shè) a、b間距離為，則21rrr由以上各式解得1221rmmmr由萬有引力定律，有221rmmgfa，代入得21221321)(rmmmmgfa令211rmmgfa，通過比較得22132)(mmmm（2）由牛頓第二定律，有121221rvmrmmg而可見星 a的軌道半徑21vtr將代入上式解得gtvmmm2)(322

5、132（3）將smm61代入上式得gtvmmms2)6(32232代入數(shù)據(jù)得ssmmmm5. 3)26(232設(shè))0(2nnmms，將其代入上式得sssmmnnmmm5.3)16(6(2232sssmmnnmmm5. 3) 16(6(2232可見，2232)6(mmms的值隨的增大而增大，試令2n，得sssmmmnn4.31 2 5.0)16(2可見，若使以上等式成立，則必大于 2，即暗星b的質(zhì)量sm必大于sm2，由此可得出結(jié)論：暗星b有可能是黑洞?！纠} 3】天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們?cè)谌f有引力作用下間距始終保持不變， 并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運(yùn)動(dòng)，設(shè)雙星間距

6、為l，質(zhì)量分別為m1、m2，試計(jì)算（ 1）雙星的軌道半徑（2）雙星運(yùn)動(dòng)的周期。15.解析：雙星繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即：222121221lmlmlmmg-.lll21-由以上兩式可得：lmmml2121，lmmml2122又由12212214ltmlmmg.-得：)(221mmgllt【例題4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星. 某雙星由質(zhì)量不等的星體s1和 s2構(gòu)成 , 兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)c 做勻速圓周運(yùn)動(dòng). 由天文觀察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為t, s1到 c點(diǎn)的距離為r1, s1和 s2的距離為 r , 已知引力常量為g. 由此可求出s2的質(zhì)量為（

7、 d ）a.212)(4gtrrr2b.23124gtrc.2324gtrd. 21224gtrr答案：d 解析雙星的運(yùn)動(dòng)周期是一樣的,選 s1為研究對(duì)象 ,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定2211214trmrmgm2,則 m2=21224gtrr.故正確選項(xiàng)d正確 . 【例題 5】 如右圖， 質(zhì)量分別為m 和 m 的兩個(gè)星球a 和 b 在引力作用下都繞o 點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球a 和 b 兩者中心之間距離為l。已知 a、b 的中心和o 三點(diǎn)始終共線，a 和 b分別在 o 的兩側(cè)。引力常數(shù)為g。求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。在地月系統(tǒng)中， 若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球a 和 b，

8、月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為t1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期t2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 1024kg 和 7.35 1022kg 。求 t2與 t1兩者平方之比。（結(jié)果保留3 位小數(shù)）【答案】)(23mmglt1.01 【解析】 a 和 b 繞 o 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬有引力提供向心力，則a 和 b 的向心力相等。且a 和 b 和 o 始終共線，說明a 和 b 有相同的角速度和周期。因此有rmrm22，lrr，連立解得lmmmr，lmmmr對(duì) a 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得lmmmtmlgmm22)2(化簡得)(23

9、mmglt將地月看成雙星，由得)(231mmglt將 月 球 看 作 繞 地 心 做 圓 周 運(yùn) 動(dòng) ， 根 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 和 萬 有 引 力 定 律 得ltmlgmm22)2(化簡得gmlt322所以兩種周期的平方比值為01.11098. 51035.71098.5)(242224212mmmtt【例題 6】【 2012?江西聯(lián)考】如右圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、 b、c 質(zhì)量分別為m1、m2、m （m m1，m m2）。在 c 的萬有引力作用下，a、b 在同一平面內(nèi)繞c 沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的周期之比tatb=1k；從圖示位置開始，在b 運(yùn)動(dòng)一周的過程中，則（）aa、b 距離

10、最近的次數(shù)為k 次ba、b 距離最近的次數(shù)為k+1 次ca、b、c 共線的次數(shù)為2k da、b、c 共線的次數(shù)為2k-2 【答案】 d 【解析】 在 b 轉(zhuǎn)動(dòng)一周過程中，a、b 距離最遠(yuǎn)的次數(shù)為k-1 次，a、b 距離最近的次數(shù)為k-1次，故 a、b、c 共線的次數(shù)為2k-2 ，選項(xiàng) d正確。【例題 7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng), 通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用. 已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上, 兩顆星圍繞中央星在同一半徑為r 的圓軌道上運(yùn)行; 另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上, 并沿外接于等邊

11、三角形的圓形軌道運(yùn)行 . 設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m . (1) 試求第一種形式下, 星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期.(2) 假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)周期相同, 第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少?答案 (1)rgm r25gmr543(2)r31)512(解析(1)對(duì)于第一種運(yùn)動(dòng)情況,以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有 :f1=22222)2( rgmfrgmf1+f2=mv2/r運(yùn)動(dòng)星體的線速度:v =rgmr25周期為 t,則有 t=vr2t=4gmr53(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r ,則三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=30cos2/r由于星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力靠其

12、它兩個(gè)星體的萬有引力的合力提供,由力的合成和牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：f合=222rgmcos30 f合=m224tr所以 r=31)512(r【例題 8】（ 2012?湖北百校聯(lián)考）宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通?？珊雎云渌求w對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用. 已觀測(cè)到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式: 一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a 的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為；另一種形式是有三顆星位于邊長為a 的等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，其運(yùn)動(dòng)周期為，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動(dòng). 試求兩種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的周期之比12tt. 【答案】12(42)(33)4