橢圓的幾何性質(zhì)

1、橢圓的幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)教材：數(shù)學(xué)(選修) (全一冊(cè))第四章 圓錐曲線 橢圓的幾何性質(zhì) 廣東省中等職業(yè)學(xué)校教材編寫(xiě)委員會(huì)組編課堂設(shè)計(jì)理念：授人于魚(yú)不如授人于漁。通過(guò)創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情景，挖掘?qū)W生內(nèi)在的研究 問(wèn)題的巨大潛能，使學(xué)生在做中學(xué)，學(xué)中思，親身體會(huì)創(chuàng)造過(guò)程，充分展示思維差異，培養(yǎng) 學(xué)生的自主探究能力，邏輯推理能力，提高學(xué)生的思維層次，掌握獲取知識(shí)的方法和途徑， 真正體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)過(guò)程中的主體地位。教學(xué)目標(biāo)：(1) 知識(shí)與技能：掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)，掌握a, b,c幾何意義以及a,b,c的相互關(guān) 系，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。( 2)過(guò)程與方法： 利用曲線的方程

2、來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來(lái)的第一次， 通 過(guò)初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過(guò)程，不僅注意對(duì)研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更重 視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過(guò)體驗(yàn)數(shù) 學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。( 3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 通過(guò)自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味 合作與成功的快樂(lè)，由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；通過(guò)多媒體展示，讓 學(xué)生體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品 質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：從知識(shí)上來(lái)講，要掌握如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)

3、方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì)； 從學(xué)生的體驗(yàn)來(lái)說(shuō)，需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過(guò)程中思維的過(guò)程展現(xiàn)，如思維 角度和思維方法。難點(diǎn)：橢圓幾何性質(zhì)的形成過(guò)程，即如何從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性 質(zhì)。通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)力求使一個(gè)平淡的性質(zhì)陳述過(guò)程成為一個(gè)生動(dòng)而有價(jià)值的學(xué)生主動(dòng)交 流合作、大膽探究的過(guò)程應(yīng)是教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo)：教學(xué)策略： 本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景學(xué)生自主探究師生共同辨析研討歸納總結(jié) 組成的“四環(huán)節(jié)”探究式學(xué)習(xí)方式，并在教學(xué)過(guò)程中根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案。 學(xué)法指導(dǎo)： 通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過(guò)程來(lái)激勵(lì)學(xué)生的探索勇氣。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知

4、情況和學(xué)生的情感發(fā)展來(lái)調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā) 現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用：使用多媒體輔助教學(xué)。教學(xué)過(guò)程：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，學(xué)生自主探究：方程16x2 25y2 =400表示什么樣的曲線，你能利用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)畫(huà)出它的圖形嗎？學(xué)生活動(dòng)過(guò)程：情形1:列表、描點(diǎn)、連線進(jìn)行做圖，在取點(diǎn)的過(guò)程中想到了橢圓的范圍問(wèn)題；情形2:求出橢圓曲線與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)想橢圓曲線的形狀得到圖形；情形3:方程變形，求出a,b,c，聯(lián)想橢圓畫(huà)法，利用繩子做圖；情形4:只做第一象限內(nèi)的圖形，聯(lián)想橢圓形狀，對(duì)稱得到其它象限內(nèi)的圖形；辨析與研討：利用課件展示畫(huà)圖過(guò)程，并提問(wèn)學(xué)生的作法與此的不

5、同之處，挖掘?qū)W生的原有認(rèn)知，體現(xiàn)同學(xué)的思維差異，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣。設(shè)計(jì)意圖：（1）問(wèn)題設(shè)置來(lái)源于課本例題，選題目的有利于學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，第一問(wèn)的解決舊體現(xiàn)了對(duì)二元二次方程的研究，為利用方程研究性質(zhì)打下基礎(chǔ)；（2）課堂教學(xué)體現(xiàn)學(xué)生自主探究知識(shí)的過(guò)程， 問(wèn)題的設(shè)置體現(xiàn)了研究問(wèn)題角度的轉(zhuǎn)變一一用 方程研究曲線性質(zhì)的問(wèn)題，同時(shí)使學(xué)生意識(shí)到橢圓的幾何特征：范圍、對(duì)稱性、關(guān)鍵點(diǎn)；（3）利用課件與學(xué)生的作圖過(guò)程進(jìn)行比較，重在發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維差異和思維認(rèn)識(shí)層次；（4）辨析過(guò)程中重視學(xué)生的思維起點(diǎn)，通過(guò)彼此交流，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，共同探討，得到統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。教師點(diǎn)評(píng)：（1）能夠抓住橢圓的

6、幾何特征；范圍、對(duì)稱性、關(guān)鍵點(diǎn)做圖；（2）研究問(wèn)題的方向發(fā)生了變化，利用方程研究曲線的幾何性質(zhì)；（3） 本節(jié)課我們利用橢圓更一般的方程來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)特殊到一般的思想方法。 教師板書(shū)：橢圓的幾何性質(zhì)一、引導(dǎo)評(píng)價(jià)，引入課題：2 2設(shè)置問(wèn)題，學(xué)生思考：與直線方程和圓的方程相對(duì)比，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程仔占=1（a b 0）有a b什么特點(diǎn)?(1) 橢圓方程是關(guān)于x,y的二元二次方程;(2) 方程的左邊是平方和的形式；右邊是常數(shù) 1;(3) 方程中x2和y2的系數(shù)不相等；設(shè)計(jì)意圖：類比直線方程和圓的方程能夠使學(xué)生容易得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，體現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)為利用方

7、程研究橢圓曲線的幾何性質(zhì)做好 了準(zhǔn)備.自主探究1:結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，禾I用方程研究橢圓曲線的范圍;實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過(guò)程,激勵(lì)學(xué)生開(kāi)拓思維:學(xué)生活動(dòng)過(guò)程:2 2情形1： x y 1變形為:a2 b22 2yx22 -=1- _ 0,x _ a= x _ a= -a_x_ab2a2這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下x的范圍：一a空xa同理，我們也可以得到y(tǒng)的范圍：-b_y_b 誰(shuí)還有其他的方法:2情形2:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1，那么這兩個(gè)數(shù)都不大于1，所以召叮，a同理可以得到y(tǒng)的范圍設(shè)計(jì)意圖：(1) 傳統(tǒng)的研究橢圓的幾何性質(zhì)往往是利用圖形直觀得到性質(zhì)，然后利用方程進(jìn)行證明，沒(méi) 有

8、真正體現(xiàn)出利用方程研究曲線幾何性質(zhì)的路子，因此在這里通過(guò)多媒體課件始終展示橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，使學(xué)生在把握橢圓方程結(jié)構(gòu)特征(1)和(2)的基礎(chǔ)上來(lái)研究橢圓曲線的 幾何性質(zhì)；(2) 通過(guò)開(kāi)頭問(wèn)題的鋪墊，學(xué)生的思維在這里體現(xiàn)的異?；钴S，除了教材中得到范圍的方法 外，另外的方法很多同學(xué)都能想到，使學(xué)生真正感受成功的喜悅；(3) 多媒體課件展示橢圓的范圍，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。結(jié)論：由橢圓方程中x,y的范圍得到橢圓位于直線x二_a和y二b所圍成的矩形里。自主探究2：繼續(xù)觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的對(duì)稱性；實(shí)物投影展 示學(xué)生的解題過(guò)程，體現(xiàn)學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)：-X代x后方程不變，說(shuō)明橢圓關(guān)于y

9、軸對(duì)稱；-y代y后方程不變，說(shuō)明橢圓曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；-x、一 y代x , y后方程不變，說(shuō)明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；問(wèn)題設(shè)置：從對(duì)稱性的本質(zhì)上入手，如何探究曲線的對(duì)稱性？辨析與研討：-X代x后方程不變，就是用（-X,y）來(lái)代換方程中的（x,y），方程不變，（-x,y）和 （x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱，兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程，而（x, y）是曲線上任意一點(diǎn)，因此橢圓曲線關(guān)于y 軸對(duì)稱；其它同理。相關(guān)概念：在標(biāo)準(zhǔn)方程下，坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。設(shè)計(jì)意圖：（1）抓住橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)不放松，引導(dǎo)學(xué)生探究如何利用方程研究橢圓的對(duì)稱性；（2）在學(xué)生的表述過(guò)程中重視學(xué)生的思維方

10、式，培養(yǎng)學(xué)生正確處理問(wèn)題的思路，能夠引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱性的本質(zhì)上得到研究對(duì)稱性的方法；（3）多媒體課件展示橢圓的對(duì)稱性，使學(xué)生體會(huì)橢圓的對(duì)稱美。自主探究3:再次觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程求出橢圓曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0，得y = b， y=0，得x = a頂點(diǎn)概念：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)； "（-a,。）, A2（a,0）， B1（0,b）, B2（0,-b）相關(guān)概念：線段A!A2, B1 B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于 2a,2b，a和 b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，在橢圓的定義中，2c表示焦距，這樣，橢圓方程中的

11、a,b，c就有了明顯的幾何意義。設(shè)置問(wèn)題：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中令a2-c2=b2能使方程簡(jiǎn)單整齊，其幾何意義是什么？學(xué) 生探究：c表示半焦距，b表示短半軸長(zhǎng)，因此，聯(lián)結(jié)頂點(diǎn) B2和焦點(diǎn)F2，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，在直角三角形內(nèi)，0F2 2 = B2F2|2 - OB2 2，即 a2 -c2 =b2 ；多媒體展示特征三角形.設(shè)計(jì)意圖：（1）利用方程研究橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)學(xué)生比較容易接受，相關(guān)概念也容易理解，關(guān)鍵是a2 -c2二b2的幾何意義，多媒體課件的展示體現(xiàn) a,b，c的幾何意義，從而得到a2-c2 =b2 的本質(zhì)。三、課堂練習(xí)：閱讀課本例6，你有什么認(rèn)識(shí)？（1）利用方程研究橢圓的幾何性

12、質(zhì)時(shí)，若橢圓的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，首先應(yīng)將方程畫(huà)為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后找出相應(yīng)的a,b,c。利用橢圓的幾何性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化畫(huà)圖過(guò)程，保證圖形的準(zhǔn)確性（2）了解畫(huà)橢圓草圖的基本步驟和注意事項(xiàng)：A、以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為鄰邊畫(huà)矩形；B、由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)；C、用曲線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓；D、畫(huà)圖時(shí)要注意它們的對(duì)稱性及頂點(diǎn)附近的平滑性 。設(shè)計(jì)意圖：（1）學(xué)生閱讀交流提高認(rèn)識(shí)而不是教師講解，能夠使學(xué)生感悟知識(shí)的應(yīng)用；（2）與開(kāi)頭相呼應(yīng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)能夠簡(jiǎn)化做圖過(guò)程；一、反思與評(píng)價(jià)：回顧知識(shí)的形成過(guò)程，同學(xué)交流，談?wù)剬?duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí)：（1）知識(shí)與技能：橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)，初步

13、學(xué)習(xí)了利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓曲線 性質(zhì)的方法；（2）過(guò)程與方法：重視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)；以自主探 究為主，通過(guò)體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)了我們觀察、分析、邏輯推理、理性思維的 能力；（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：善于觀察，敢于創(chuàng)新，學(xué)會(huì)與人合作，感受到探究的樂(lè)趣，體會(huì) 橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：不會(huì)反思，就不會(huì)學(xué)習(xí)，通過(guò)反思，深化知識(shí)的形成過(guò)程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握 研究的方法和思路，拓寬思維角度，提高思維層次。五、課后作業(yè)：（1）反思知識(shí)的形成過(guò)程，掌握研究問(wèn)題的方法；（2）課后延伸：同學(xué)們?cè)賮?lái)觀察橢

14、圓的結(jié)構(gòu)特征“方程中x2和y2的系數(shù)不相等”，因此當(dāng)x2和y2的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，橢圓的形狀是如何隨之變化的？設(shè)計(jì)意圖：課后作業(yè)的設(shè)置體現(xiàn)了本節(jié)課研究方法的延伸，作業(yè)（1）強(qiáng)調(diào)研究方法的重要性，作業(yè)（2）弓I導(dǎo)學(xué)生利用橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征自主研究橢圓的另一條性質(zhì)一一離心率； 附錄：板書(shū)設(shè)計(jì)8.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：冷+聳=1（a >b >0）a b1、范圍：橢圓位于直線x = ±a和y = ±b所圍成的矩形里。2、對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱3、 頂點(diǎn)：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（±a,0），（0, 土b）課堂練習(xí)：書(shū)P110 1、2、3課

15、后作業(yè)：書(shū)P111 1、2課堂設(shè)計(jì)說(shuō)明：1對(duì)教材的研究認(rèn)識(shí)：利用已知條件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫(huà)圖是解析幾何的兩大任務(wù)，利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說(shuō)是第一次，傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程往往是利用多媒體課件展示橢 圓曲線，讓學(xué)生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì)，然后再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行證明，體現(xiàn)從 感性到理性符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律等，也可以說(shuō)是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路，但未 能很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì)。因此，本人在教學(xué)一開(kāi)始的問(wèn)題設(shè)置就體 現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識(shí)，在三個(gè)性質(zhì)的研究中一直是用方程的結(jié)構(gòu)特征來(lái)得到性質(zhì)， 真正培養(yǎng)學(xué)生如何利用方程研究曲線性質(zhì)的能力。同時(shí)，根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的課時(shí)安 排，本節(jié)課不研究橢圓的離心率，保證了學(xué)生的研究時(shí)間；與直線方程和圓方程的類比能夠 使得學(xué)生掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，學(xué)生在自主探究過(guò)程中能夠聯(lián)想得到三角換元，說(shuō)明該 種教學(xué)方法還是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，同時(shí)體現(xiàn)了教材的本質(zhì)。2、課堂教學(xué)模式的設(shè)置：自主探究是傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種補(bǔ)充，自主探究能夠使學(xué)生成為研究問(wèn)題的主人，能夠 培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)的核心，