廣東省廣州市2013屆高三調(diào)研測試數(shù)學(xué)文試題與答案

1、廣州市2013屆高三年級(jí)調(diào)研測試 數(shù) 學(xué)（文 科） 2013.1參考公式：方差，其中.一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1復(fù)數(shù)i（i為虛數(shù)單位）的模等于 A B C D2已知集合，集合，則 A B C D3已知函數(shù), 則的值是 A B C D 4已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為 A B C D5已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)e的單調(diào)遞增區(qū)間是 A . B C D 6設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是ABCD7如圖1，程序結(jié)束輸出的值是 A B C D8已知函數(shù)，R，則是A最小正周期為的奇函數(shù) B最小正周

2、期為的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù) 9在區(qū)間和分別取一個(gè)數(shù),記為, 則方程表示焦點(diǎn)在軸上且離心率小于的橢圓的概率為 A B C D 10在R上定義運(yùn)算若對(duì)任意，不等式都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 二填空題： 本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.（一）必做題（1113題）11已知是奇函數(shù), , , 則的值是 .12已知向量，都是單位向量，且，則的值為 .13設(shè)，定義為的導(dǎo)數(shù)，即，N，若的內(nèi)角滿足，則的值是 .（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14.（幾何證明選講選做題） 如圖2，已知是的一條弦，點(diǎn)為上一點(diǎn)，交于，若，則

3、的長是 . 15（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題）已知圓的參數(shù)方程為為參數(shù)), 以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為, 則直線截圓所得的弦長是 .三解答題： 本大題共6小題，滿分80分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值.17（本小題滿分12分）某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖3，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83. （1）求和的值； （2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績的方差； （3）從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨

4、機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率.18(本小題滿分14分) 已知四棱錐的正視圖是一個(gè)底邊長為、腰長為的等腰三角形，圖4、圖5 分別是四棱錐的側(cè)視圖和俯視圖.（1）求證：；（2）求四棱錐的側(cè)面的面積. 19（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是和的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.（本小題滿分14分） 已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）是否存在N，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21.（本小題滿分14分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,

5、橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,.(1)求橢圓的方程；(2) 若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求使成立的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3) 若點(diǎn)滿足條件（2），點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.廣州市2013屆高三年級(jí)調(diào)研測試數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共10小題，每小題5分，滿分50分.題號(hào)12345678910答案ADBCADCCBC二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分其中1415題是選做題，考生只能選做一題11 12. 13. 14. 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文

6、字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分12分）(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算求解能力)（1） 解： 1分 . 3分由 4分解得Z. 5分的單調(diào)遞增區(qū)間是Z. 6分（2）解：由（1）可知，得. 8分 9分 10分 11分. 12分17（本小題滿分12分）(本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識(shí), 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))（1）解：甲班學(xué)生的平均分是85， . 1分 . 2分 乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83， . 3分（2）解：甲班7位學(xué)生成績的方差為. 5

7、分（3）解：甲班成績?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為， 6分 乙班成績?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為. 7分 從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況： . 9分 其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況： . 11分 記“從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一名學(xué)生”為事件，則.答：從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為.12分18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、三視圖、幾何體的側(cè)面積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）證明：依題意，可知點(diǎn)在平面上的正射影

8、是線段的中點(diǎn)，連接， 則平面. 2分 平面， . 3分 ，平面，平面， 平面. 5分 平面， . 6分（2）解：依題意，在等腰三角形中， 在Rt中， 7分 過作，垂足為，連接，平面，平面，. 8分平面，平面，平面. 9分平面，. 10分依題意得. 11分在Rt中， ， 12分的面積為.四棱錐的側(cè)面的面積為. 14分19（本小題滿分14分）(本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列求和等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))（1）解：是公比為的等比數(shù)列，. 1分. 從而，. 3分是和的等比中項(xiàng)，解得或. 4分當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列， 5分. 6分當(dāng)

9、時(shí)，. 7分符合， . 8分（2）解：， . 9分 . 10分得 11分 12分 . 13分 . 14分20.（本小題滿分14分）(本小題主要考查二次函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、方程的根等知識(shí), 考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))（1）解法1：是二次函數(shù)，不等式的解集是， 可設(shè)，. 1分 . 2分 函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行， . 3分 ，解得. 4分 . 5分 解法2：設(shè)，不等式的解集是，方程的兩根為. . 2分. 又函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行， . . 3分由,解得,. 4分. 5分 （2）解：由（1）知，方程等價(jià)于方程. 6分 設(shè)，則

10、. 7分 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 8分 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 9分 ， 12分 方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，在區(qū)間 內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根. 13分 存在唯一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 14分21.（本小題滿分14分） (本小題主要考查求曲線的軌跡方程、直線、橢圓、拋物線等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)) (1)解法1：拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依據(jù)拋物線的定義，由，得， 解得. 1分 點(diǎn)在拋物線上，且在第一象限， ，解得. 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2分 點(diǎn)在橢圓上， . 3分又，且， 4分解得. 橢圓的方程為. 5分解法2: 拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,. , . 1分 點(diǎn)在拋物線上, . 解得,.點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2分 點(diǎn)在橢圓上， . 3分又，且， 4分解得. 橢圓的方程為. 5分(2)解法1：設(shè)點(diǎn)、， 則. . ,. 6分、在橢圓上， 上面兩式相減得. 把式代入式得. 當(dāng)時(shí)，得. 7分設(shè)的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為. 、四點(diǎn)共線，, 即. 8分把式代入式，得，化簡得. 9分 當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上. 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為. 10分解法2：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由