時(shí)間序列分析-吳喜之

1、1時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析考慮考慮 何為科學(xué)? 何為統(tǒng)計(jì)? 統(tǒng)計(jì)是科學(xué)嗎? 什么是數(shù)學(xué)? 統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)嗎? 能夠證明某些模型或理論是正確的嗎?2Stat 153, Xizhi Wu自然現(xiàn)象引入模型-擬合模型或理論到數(shù)據(jù)解釋和預(yù)測統(tǒng)計(jì) 歸納歸納: 從部分到總體，從特殊到一般的推理從部分到總體，從特殊到一般的推理. 演繹演繹: 基于假定，公理的嚴(yán)格的證明鏈基于假定，公理的嚴(yán)格的證明鏈. 3Stat 153, Xizhi Wu時(shí)間序列的例子。從圖形你會(huì)時(shí)間序列的例子。從圖形你會(huì)想到想到: 數(shù)據(jù)會(huì)是什么樣子的, 可能的模式及它們的意義, 可能的預(yù)測，如何點(diǎn)圖, 4Stat 153, Xizhi WuEx

2、amples: Economic and financial time series Beverage wheat price annual index series from 1500-1864 T01.RBeveridge wheat price annual index series from 1500 to 1864Timewheat price index150016001700180001002003005Stat 153, Xizhi WuExamples: Economic and financial time series Beverage wheat price annua

3、l index series from 1810-1864 T01.RBeveridge wheat price annual index series from 1810 to 1864Timewheat price index18101820183018401850186018701502002503003506Stat 153, Xizhi WuExamples: Physical time seriesAverage air temperature (deg C) at Recife, Brazil, in successive months from 1953-1962T01.R A

4、verage air temperature (deg C) at Recife, Brazil, in successive months from 1953-1962YearTemperature (deg C)1954195619581960196224252627287Stat 153, Xizhi WuExamples: Marketing time series Sales of an industrial beater in successive months from January 1965 to November 1971.T01.R Sales of an industr

5、ial beater in successive months from January 1965 to November 1971YearNumber of sales196519661967196819691970197119722004006008008Stat 153, Xizhi WuExamples: Finance The Percentage of Beijing Residents Long-term Deposit Over the Total BalanceT01.RThe Percentage of Beijing Residents Long-term Deposit

6、 Over the Total BalanceyearLong-Term Debosit Ratio195019601970198019906570758085909Stat 153, Xizhi WuExamples: Process control dataT01.R050100150200-4-2024Normal ProcessTimeProcess Variable050100150200-4-2024Abnormal ProcessTimeProcess Variable10Stat 153, Xizhi WuExamples: Binary processT01.R0510152

7、0-0.20.00.20.40.60.81.01.211Stat 153, Xizhi WuExamples: Point processT01.R05101520Time12Stat 153, Xizhi Wu你有時(shí)間序列的例子嗎?13Stat 153, Xizhi Wu術(shù)語術(shù)語 連續(xù)連續(xù)時(shí)間序列 離散離散時(shí)間序列 通常是等間距等間距的: 抽樣抽樣的序列 即時(shí)即時(shí)的或整合整合的 通常不是不是獨(dú)立的 確定確定的或隨機(jī)的隨機(jī)的 (精確預(yù)測是不可能的)14Stat 153, Xizhi Wu看看這個(gè)時(shí)間序列Passengers in Chinas AirportsNumber of Passeng

8、ers in Airports of China, Jan 1995-Mar 2003TimeNumber of Passengers19961998200020020500000100000015000002000000250000015Stat 153, Xizhi Wu看看這個(gè)時(shí)間序列Passengers in Chinas AirportsNumber of Passengers in Airports of China, Jan 1995-Dec 2003TimeNumber of Passengers19961998200020022004050000010000001500000

9、2000000250000016Stat 153, Xizhi Wu17橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù) 人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往可以根據(jù)其特點(diǎn)從兩人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往可以根據(jù)其特點(diǎn)從兩個(gè)方面來切入，以簡化分析過程。一個(gè)是個(gè)方面來切入，以簡化分析過程。一個(gè)是研究所謂橫截面研究所謂橫截面(cross section)數(shù)據(jù)，也就數(shù)據(jù)，也就是對(duì)大體上同時(shí)，或者和時(shí)間無關(guān)的不同是對(duì)大體上同時(shí)，或者和時(shí)間無關(guān)的不同對(duì)象的觀測值組成的數(shù)據(jù)。對(duì)象的觀測值組成的數(shù)據(jù)。 另一個(gè)稱為時(shí)間序列另一個(gè)稱為時(shí)間序列(time series)，也就是，也就是由對(duì)象在不同時(shí)間的觀測值形成的數(shù)據(jù)。由對(duì)象在不同時(shí)間的觀測值

10、形成的數(shù)據(jù)。 前面討論的模型多是和橫截面數(shù)據(jù)有關(guān)。前面討論的模型多是和橫截面數(shù)據(jù)有關(guān)。這里將討論時(shí)間序列的分析。我們將不討這里將討論時(shí)間序列的分析。我們將不討論更加復(fù)雜的包含這兩方面的數(shù)據(jù)。論更加復(fù)雜的包含這兩方面的數(shù)據(jù)。 18時(shí)間序列和回歸時(shí)間序列和回歸 時(shí)間序列分析也是一種回歸。時(shí)間序列分析也是一種回歸。 回歸分析的目的是建立因變量和自變量之間關(guān)系回歸分析的目的是建立因變量和自變量之間關(guān)系的模型；并且可以用自變量來對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測。的模型；并且可以用自變量來對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測。通常線性回歸分析因變量的觀測值假定是互相獨(dú)通常線性回歸分析因變量的觀測值假定是互相獨(dú)立并且有同樣分布。立并且有同樣分

11、布。 而時(shí)間序列的最大特點(diǎn)是觀測值并不獨(dú)立。時(shí)間而時(shí)間序列的最大特點(diǎn)是觀測值并不獨(dú)立。時(shí)間序列的一個(gè)目的是用變量過去的觀測值來預(yù)測同序列的一個(gè)目的是用變量過去的觀測值來預(yù)測同一變量的未來值。也就是說，時(shí)間序列的因變量一變量的未來值。也就是說，時(shí)間序列的因變量為變量未來的可能值，而用來預(yù)測的自變量中就為變量未來的可能值，而用來預(yù)測的自變量中就包含該變量的一系列歷史觀測值。包含該變量的一系列歷史觀測值。 當(dāng)然時(shí)間序列的自變量也可能包含隨著時(shí)間度量當(dāng)然時(shí)間序列的自變量也可能包含隨著時(shí)間度量的獨(dú)立變量。的獨(dú)立變量。19例例15.1 (數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：Tax.txt，Tax.sav)某地從某地從1995年年

12、1月到月到2005年年7月的稅收（單位：萬元）。該數(shù)據(jù)有月的稅收（單位：萬元）。該數(shù)據(jù)有按照時(shí)間順序的按月記錄，共按照時(shí)間順序的按月記錄，共127個(gè)觀測值。個(gè)觀測值。圖圖15.1就是由該數(shù)據(jù)就是由該數(shù)據(jù)得到的一個(gè)時(shí)間序列圖。得到的一個(gè)時(shí)間序列圖。 TimeTax199619982000200220042 e+054 e+056 e+058 e+051 e+0620例例15.1 (數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：Tax.txt，Tax.sav)從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出?？偟内厔菔窃鲩L的，但增長并不是單調(diào)上升的；有漲有落。大體上看，這種升降不是雜亂無章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。當(dāng)然，除了增長的趨勢和季節(jié)影響之外，還有些

13、無規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。這個(gè)只有一種隨著時(shí)間變化的變量（稅收）的序列一般稱為純粹時(shí)間序列純粹時(shí)間序列（pure time series）。下面將通過該例子對(duì)純粹時(shí)間序列進(jìn)行介紹。21時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 從該例可以看出，該時(shí)間序列可以有三部從該例可以看出，該時(shí)間序列可以有三部分組成：趨勢分組成：趨勢(trend)、季節(jié)、季節(jié)(seasonal)成分成分和無法用趨勢和季節(jié)模式解釋的隨機(jī)干擾和無法用趨勢和季節(jié)模式解釋的隨機(jī)干擾(disturbance）。）。 例中數(shù)據(jù)的稅收就就可以用這三個(gè)成分疊例中數(shù)據(jù)的稅收就就可以用這三個(gè)成分疊加而成的模型來描述。加而成的模型來描述。 一般的時(shí)間

14、序列還可能有循環(huán)或波動(dòng)一般的時(shí)間序列還可能有循環(huán)或波動(dòng)(Cyclic, or fluctuations)成分；循環(huán)模式和成分；循環(huán)模式和有規(guī)律的季節(jié)模式不同，周期長短不一定有規(guī)律的季節(jié)模式不同，周期長短不一定固定。比如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周期，金融危機(jī)周期固定。比如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周期，金融危機(jī)周期等等。等等。22時(shí)間序列的組成部分時(shí)間序列的組成部分 一個(gè)時(shí)間序列可能有趨勢、季節(jié)、循環(huán)這一個(gè)時(shí)間序列可能有趨勢、季節(jié)、循環(huán)這三個(gè)成分中的某些或全部再加上隨機(jī)成分。三個(gè)成分中的某些或全部再加上隨機(jī)成分。因此，因此， 如果要想對(duì)一個(gè)時(shí)間序列本身進(jìn)行較深入如果要想對(duì)一個(gè)時(shí)間序列本身進(jìn)行較深入的研究，把序列的這些成分分解出來

15、、或的研究，把序列的這些成分分解出來、或者把它們過慮掉則會(huì)有很大的幫助。者把它們過慮掉則會(huì)有很大的幫助。 如果要進(jìn)行預(yù)測，則最好把模型中的與這如果要進(jìn)行預(yù)測，則最好把模型中的與這些成分有關(guān)的參數(shù)估計(jì)出來。些成分有關(guān)的參數(shù)估計(jì)出來。 就例就例中中的時(shí)間序列的分解，通過的時(shí)間序列的分解，通過SPSS軟件，軟件，可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢、季可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢、季節(jié)和誤差成分。節(jié)和誤差成分。23去掉季節(jié)成分，只有趨勢和誤差成分的例15.1的時(shí)間序列。 TimeTime Series Without Seasonal199619982000200220040 e+004 e+058

16、 e+0524例15.1的時(shí)間序列分解出來的純趨勢成分和純季節(jié)成分兩條曲線 TimeTrend and Seasonal199619982000200220040 e+002 e+054 e+056 e+0525例15.1的時(shí)間序列分解出來的純趨勢成分和純誤差成分兩條曲線 TimeTrend and Remainder199619982000200220040 e+002 e+054 e+056 e+0526指數(shù)平滑指數(shù)平滑 如果我們不僅僅滿足于分解現(xiàn)有的時(shí)間序列，而如果我們不僅僅滿足于分解現(xiàn)有的時(shí)間序列，而且想要對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測，就需要建立模型。首先，且想要對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測，就需要建立模型。首先

17、，這里介紹比較簡單的這里介紹比較簡單的指數(shù)平滑指數(shù)平滑(exponential smoothing)。 指數(shù)平滑指數(shù)平滑只能用于純粹時(shí)間序列只能用于純粹時(shí)間序列的情況，而不能的情況，而不能用于含有獨(dú)立變量時(shí)間序列的因果關(guān)系的研究。用于含有獨(dú)立變量時(shí)間序列的因果關(guān)系的研究。 指數(shù)平滑的原理為：當(dāng)利用過去觀測值的加權(quán)平指數(shù)平滑的原理為：當(dāng)利用過去觀測值的加權(quán)平均來預(yù)測未來的觀測值時(shí)（這個(gè)過程稱為平滑），均來預(yù)測未來的觀測值時(shí)（這個(gè)過程稱為平滑），離得越近的觀測值要給以更多的權(quán)。離得越近的觀測值要給以更多的權(quán)。 而而“指數(shù)指數(shù)”意味著：按照已有觀測值意味著：按照已有觀測值“老老”的程的程度，其上的權(quán)

18、數(shù)按指數(shù)速度遞減。度，其上的權(quán)數(shù)按指數(shù)速度遞減。27指數(shù)平滑指數(shù)平滑 以簡單的沒有趨勢和沒有季節(jié)成分的純粹以簡單的沒有趨勢和沒有季節(jié)成分的純粹時(shí)間序列為例，指數(shù)平滑在數(shù)學(xué)上這實(shí)際時(shí)間序列為例，指數(shù)平滑在數(shù)學(xué)上這實(shí)際上是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)。這時(shí)，如果用上是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)。這時(shí)，如果用Yt表示表示在在t時(shí)間的平滑后的數(shù)據(jù)（或預(yù)測值），而時(shí)間的平滑后的數(shù)據(jù)（或預(yù)測值），而用用X1, X2, , Xt表示原始的時(shí)間序列。那么表示原始的時(shí)間序列。那么指數(shù)平滑模型為指數(shù)平滑模型為 1(1), (01)tttYXY或者，等價(jià)地，或者，等價(jià)地，0(1)ktt kkYX這里的系數(shù)為幾何級(jí)數(shù)。因此稱之為這里的系數(shù)為幾何級(jí)

19、數(shù)。因此稱之為“幾何幾何平滑平滑”比使人不解的比使人不解的“指數(shù)平滑指數(shù)平滑”似乎更有似乎更有道理。道理。 28指數(shù)平滑指數(shù)平滑 自然，這種在簡單情況下導(dǎo)出的公式（如上面的自然，這種在簡單情況下導(dǎo)出的公式（如上面的公式）無法應(yīng)對(duì)具有各種成分的復(fù)雜情況。公式）無法應(yīng)對(duì)具有各種成分的復(fù)雜情況。 后面將給出各種實(shí)用的指數(shù)平滑模型的公式。后面將給出各種實(shí)用的指數(shù)平滑模型的公式。 根據(jù)數(shù)據(jù)，可以得到這些模型參數(shù)的估計(jì)以及對(duì)根據(jù)數(shù)據(jù)，可以得到這些模型參數(shù)的估計(jì)以及對(duì)未來的預(yù)測。在和我們例子有關(guān)的指數(shù)平滑模型未來的預(yù)測。在和我們例子有關(guān)的指數(shù)平滑模型中，需要估計(jì)中，需要估計(jì)1212個(gè)季節(jié)指標(biāo)和三個(gè)參數(shù)（包含

20、前個(gè)季節(jié)指標(biāo)和三個(gè)參數(shù)（包含前面公式權(quán)重中的面公式權(quán)重中的 ，和趨勢有關(guān)的，和趨勢有關(guān)的g g，以及和季節(jié)，以及和季節(jié)指標(biāo)有關(guān)的指標(biāo)有關(guān)的d d）。）。 在簡單的選項(xiàng)之后，在簡單的選項(xiàng)之后，SPSSSPSS通過指數(shù)平滑產(chǎn)生了對(duì)通過指數(shù)平滑產(chǎn)生了對(duì)20052005年年6 6月后一年的預(yù)測。下圖為原始的時(shí)間序月后一年的預(yù)測。下圖為原始的時(shí)間序列和預(yù)測的時(shí)間序列列和預(yù)測的時(shí)間序列( (光滑后的光滑后的) )。下面為誤差。下面為誤差。 2930例15.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的指數(shù)平滑和對(duì)未來的預(yù)測 TimeTax1996199820002002200420060200000600000100000031x=s

21、can(d:/booktj1/data/tax.txt)tax=ts(x, frequency = 12, start = c(1995, 1)ts.plot(tax,ylab=Tax) #plot(x1,ylab=Sales) a=stl(tax, period) #分解a$time.series #分解結(jié)果(三列) ts.plot(a$time.series,1:3)b=HoltWinters(tax,beta=0) #Holt-Winters濾波指數(shù)平滑predict(b,n.ahead=12) #對(duì)未來12個(gè)月預(yù)測pacf(tax); acf(tax)w=arima(tax, c(0,

22、 1, 1),seasonal = list(order=c(1,2 ,1), period=12)predict(w, n.ahead = 12) w$residuals#殘差acf(w$resi)pacf(w$resi)w$coef#估計(jì)的模型系數(shù)w$aic #aic值32Box-Jenkins 方法：方法：ARIMA模型模型 如果要對(duì)比較復(fù)雜的純粹時(shí)間序列進(jìn)行細(xì)如果要對(duì)比較復(fù)雜的純粹時(shí)間序列進(jìn)行細(xì)致的分析致的分析,指數(shù)平滑往往是無法滿足要求的指數(shù)平滑往往是無法滿足要求的. 而若想對(duì)有獨(dú)立變量的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測，而若想對(duì)有獨(dú)立變量的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測，指數(shù)平滑更是無能為力。指數(shù)平滑更是無能為

23、力。 于是需要更加強(qiáng)有力的模型。這就是下面于是需要更加強(qiáng)有力的模型。這就是下面要介紹的要介紹的Box-Jenkins ARIMA模型。模型。 數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上,指數(shù)平滑僅僅是指數(shù)平滑僅僅是ARIMA模型的特例模型的特例. 33ARIMA模型模型 ：AR模型模型 比指數(shù)平滑要有用和精細(xì)得多的模型是比指數(shù)平滑要有用和精細(xì)得多的模型是Box-Jenkins引引入的入的ARIMA模型。或稱為整合自回歸移動(dòng)平均模型模型?；蚍Q為整合自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA 為為Autoregressive Integrated Moving Average一些關(guān)鍵字母的縮寫一些關(guān)鍵字母的縮寫)。該模型的基礎(chǔ)是自回歸和移

24、動(dòng)。該模型的基礎(chǔ)是自回歸和移動(dòng)平均模型或平均模型或ARMA(Autoregressive and Moving Average) 模型。模型。 它由兩個(gè)特殊模型發(fā)展而成，一個(gè)特例是自回歸模型或它由兩個(gè)特殊模型發(fā)展而成，一個(gè)特例是自回歸模型或AR (Autoregressive) 模型。假定時(shí)間序列用模型。假定時(shí)間序列用X1, X2, , Xt表示，則一個(gè)純粹的表示，則一個(gè)純粹的AR (p)模型意味著變量的一個(gè)觀模型意味著變量的一個(gè)觀測值由其以前的測值由其以前的p個(gè)觀測值的線性組合加上隨機(jī)誤差項(xiàng)個(gè)觀測值的線性組合加上隨機(jī)誤差項(xiàng)at（該誤差為獨(dú)立無關(guān)的）而得：（該誤差為獨(dú)立無關(guān)的）而得： 11tt

25、ptptXXXa這看上去象自己對(duì)自己回歸一樣，所以稱為自回歸模型；這看上去象自己對(duì)自己回歸一樣，所以稱為自回歸模型；它牽涉到過去它牽涉到過去p個(gè)觀測值（相關(guān)的觀測值間隔最多為個(gè)觀測值（相關(guān)的觀測值間隔最多為p個(gè)個(gè). .34ARIMA模型模型 ：MA模型模型 ARMA模型的另一個(gè)特例為移動(dòng)平均模型或模型的另一個(gè)特例為移動(dòng)平均模型或MA (Moving Average) 模型，一個(gè)純粹的模型，一個(gè)純粹的MA (q)模型意味著模型意味著變量的一個(gè)觀測值由目前的和先前的變量的一個(gè)觀測值由目前的和先前的q個(gè)隨機(jī)誤差的線個(gè)隨機(jī)誤差的線性的組合：性的組合： 由于右邊系數(shù)的和不為由于右邊系數(shù)的和不為1（q q

26、 甚至不一定是正數(shù)），因此甚至不一定是正數(shù)），因此叫做叫做“移動(dòng)平均移動(dòng)平均”不如叫做不如叫做“移動(dòng)線性組合移動(dòng)線性組合”更確切；雖更確切；雖然行家已經(jīng)習(xí)慣于叫然行家已經(jīng)習(xí)慣于叫“平均平均”了，但初學(xué)者還是因此可能了，但初學(xué)者還是因此可能和初等平滑方法中的什么和初等平滑方法中的什么“三點(diǎn)平均三點(diǎn)平均”之類的術(shù)語混淆。之類的術(shù)語混淆。 11tttqt qXaaaqq35ARIMA模型模型 ：ARMA模型模型 顯然顯然ARMA(p,q)模型應(yīng)該為模型應(yīng)該為AR (p)模型和模型和MA(q)模型的模型的組合了：組合了：顯然顯然ARMA(p,0)模型就是模型就是AR (p)模型，而模型，而ARMA(0

27、,q)模型模型就是就是MA(q)模型。這個(gè)一般模型有模型。這個(gè)一般模型有p+q個(gè)參數(shù)要估計(jì)，看個(gè)參數(shù)要估計(jì)，看起來很繁瑣，但利用計(jì)算機(jī)軟件則是常規(guī)運(yùn)算；并不復(fù)雜。起來很繁瑣，但利用計(jì)算機(jī)軟件則是常規(guī)運(yùn)算；并不復(fù)雜。 1111ttptpttqt qXXXaaaqq36ARIMA模型：平穩(wěn)性和可逆性模型：平穩(wěn)性和可逆性 但是要想但是要想ARMA(p,q)模型有意義則要求時(shí)間序列滿足平模型有意義則要求時(shí)間序列滿足平穩(wěn)性穩(wěn)性(stationarity)和可逆性和可逆性(invertibility)的條件，的條件， 這意味著序列均值不隨著時(shí)間增加或減少，序列的方差這意味著序列均值不隨著時(shí)間增加或減少，序

28、列的方差不隨時(shí)間變化，另外序列本身相關(guān)的模式不改變等。不隨時(shí)間變化，另外序列本身相關(guān)的模式不改變等。 一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列是否滿足這些條件是無法在數(shù)學(xué)上一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列是否滿足這些條件是無法在數(shù)學(xué)上驗(yàn)證的，驗(yàn)證的， 這沒有關(guān)系，但可以從下面要介紹的時(shí)間序列的自相關(guān)這沒有關(guān)系，但可以從下面要介紹的時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖中可以識(shí)別出來。函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖中可以識(shí)別出來。 一般人們所關(guān)注的的有趨勢和季節(jié)一般人們所關(guān)注的的有趨勢和季節(jié)/循環(huán)成分的時(shí)間序循環(huán)成分的時(shí)間序列都不是平穩(wěn)的。這時(shí)就需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分列都不是平穩(wěn)的。這時(shí)就需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分(difference)來消除這些使

29、序列不平穩(wěn)的成分，而使其變來消除這些使序列不平穩(wěn)的成分，而使其變成平穩(wěn)的時(shí)間序列，并估計(jì)成平穩(wěn)的時(shí)間序列，并估計(jì)ARMA模型，估計(jì)之后再轉(zhuǎn)模型，估計(jì)之后再轉(zhuǎn)變?cè)撃Ｐ停怪m應(yīng)于差分之前的序列（這個(gè)過程和差變?cè)撃Ｐ?，使之適應(yīng)于差分之前的序列（這個(gè)過程和差分相反，所以稱為整合的分相反，所以稱為整合的(integrated)ARMA模型），模型），得到的模型于是稱為得到的模型于是稱為ARIMA模型。模型。37ARIMA模型：差分模型：差分 差分是什么意思呢？差分可以是每一個(gè)觀差分是什么意思呢？差分可以是每一個(gè)觀測值減去其前面的一個(gè)觀測值，即測值減去其前面的一個(gè)觀測值，即Xt-Xt-1。這樣，如果時(shí)間

30、序列有一個(gè)斜率不變的趨這樣，如果時(shí)間序列有一個(gè)斜率不變的趨勢，經(jīng)過這樣的差分之后，該趨勢就會(huì)被勢，經(jīng)過這樣的差分之后，該趨勢就會(huì)被消除了。消除了。 當(dāng)然差分也可以是每一個(gè)觀測值減去其前當(dāng)然差分也可以是每一個(gè)觀測值減去其前面任意間隔的一個(gè)觀測值；比如存在周期面任意間隔的一個(gè)觀測值；比如存在周期固定為固定為s的季節(jié)成分，的季節(jié)成分， 那么相隔那么相隔s的差分的差分 為為Xt-Xt-s就可以把這種以就可以把這種以s為周期的季節(jié)成分消除。為周期的季節(jié)成分消除。 對(duì)于復(fù)雜情況，可能要進(jìn)行多次差分，才對(duì)于復(fù)雜情況，可能要進(jìn)行多次差分，才能夠使得變換后的時(shí)間序列平穩(wěn)。能夠使得變換后的時(shí)間序列平穩(wěn)。 38AR

31、MA模型的識(shí)別和估計(jì)模型的識(shí)別和估計(jì) 上面引進(jìn)了一些必要的術(shù)語和概念。上面引進(jìn)了一些必要的術(shù)語和概念。下面就如何識(shí)別模型進(jìn)行說明。下面就如何識(shí)別模型進(jìn)行說明。要想擬合要想擬合ARIMA模型，必須先把它利模型，必須先把它利用差分變成用差分變成ARMA(p,q)模型，并確定模型，并確定是否平穩(wěn)，然后確定參數(shù)是否平穩(wěn)，然后確定參數(shù)p,q。現(xiàn)在利用一個(gè)例子來說明如何識(shí)別一現(xiàn)在利用一個(gè)例子來說明如何識(shí)別一個(gè)個(gè)AR(p)模型和參數(shù)模型和參數(shù)p。由此由此MA(q)及及ARMA(p,q)模型模型可用模型模型可用類似的方法來識(shí)別。類似的方法來識(shí)別。39ARMA模型的識(shí)別和估計(jì)模型的識(shí)別和估計(jì) 根據(jù)根據(jù)ARMA(

32、p,q)模型的定義模型的定義,它的參數(shù)它的參數(shù)p,q和和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)(acf，autocorrelations function)及偏自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)(pacf，partial autocorrelations function)有關(guān)。有關(guān)。 自相關(guān)函數(shù)描述觀測值和前面的觀測值的自相關(guān)函數(shù)描述觀測值和前面的觀測值的相關(guān)系數(shù)；相關(guān)系數(shù)； 而偏自相關(guān)函數(shù)為在給定中間觀測值的條而偏自相關(guān)函數(shù)為在給定中間觀測值的條件下觀測值和前面某間隔的觀測值的相關(guān)件下觀測值和前面某間隔的觀測值的相關(guān)系數(shù)。系數(shù)。 這里當(dāng)然不打算討論這兩個(gè)概念的細(xì)節(jié)。這里當(dāng)然不打算討論這兩個(gè)概念的細(xì)節(jié)。引進(jìn)這兩個(gè)概念主

33、要是為了能夠引進(jìn)這兩個(gè)概念主要是為了能夠了解如何了解如何通過研究關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的通過研究關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的acf和和pacf圖來圖來識(shí)別模型。識(shí)別模型。 40例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR2.sav 為了直觀地理解上面的概念，下面利用一個(gè)數(shù)據(jù)例子來描述。為了直觀地理解上面的概念，下面利用一個(gè)數(shù)據(jù)例子來描述。Timex0100200300400500-4-202441例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR2.sav；拖尾和截尾；拖尾和截尾先來看該時(shí)間序列的先來看該時(shí)間序列的acf(左左)和和pacf圖圖( (右右) ) 左邊的左邊的acf條形圖是衰減的指數(shù)型的波動(dòng)；這種圖形稱為條形圖是衰減的指數(shù)型的波動(dòng)；這種圖形稱為拖尾拖尾

34、。而右邊的。而右邊的pacf條形圖是在第二個(gè)條條形圖是在第二個(gè)條(p=2)之后就很小，之后就很小，而且沒有什么模式；這種圖形稱為在在而且沒有什么模式；這種圖形稱為在在p=2后后截尾截尾。這說。這說明該數(shù)據(jù)滿足是平穩(wěn)的明該數(shù)據(jù)滿足是平穩(wěn)的AR(2)模型。模型。05101520250.00.20.40.60.81.0LagACFSeries x05101520250.00.20.40.60.8LagPartial ACFSeries x42拖尾和截尾拖尾和截尾 所謂拖尾圖形模式也可能不是以指數(shù)形式，而是所謂拖尾圖形模式也可能不是以指數(shù)形式，而是以正負(fù)相間的正弦形式衰減。類似地，如果以正負(fù)相間的正弦

35、形式衰減。類似地，如果acf圖形是在第圖形是在第q=k個(gè)條后截尾，而個(gè)條后截尾，而pacf圖形為拖尾圖形為拖尾，則數(shù)據(jù)滿足，則數(shù)據(jù)滿足MA(q)模型。如果兩個(gè)圖形都拖尾模型。如果兩個(gè)圖形都拖尾則可能滿足則可能滿足ARMA(p,q)模型。具體判別法總結(jié)在模型。具體判別法總結(jié)在下面表中下面表中（并不一定嚴(yán)格?。ú⒉灰欢▏?yán)格?。?3acf和和pacf圖圖 如如acf和和pacf圖中至少一個(gè)不是以指數(shù)形式圖中至少一個(gè)不是以指數(shù)形式或正弦形式衰減，那么說明該序列不是平或正弦形式衰減，那么說明該序列不是平穩(wěn)序列，必須進(jìn)行差分變換來得到一個(gè)可穩(wěn)序列，必須進(jìn)行差分變換來得到一個(gè)可以估計(jì)參數(shù)的滿足以估計(jì)參數(shù)

36、的滿足ARMA(p,q)模型的序列模型的序列 如一個(gè)時(shí)間序列的如一個(gè)時(shí)間序列的acf和和pacf圖沒有任何模圖沒有任何模式，而且數(shù)值很小，那么這個(gè)序列可能就式，而且數(shù)值很小，那么這個(gè)序列可能就是一些互相獨(dú)立的無關(guān)的隨機(jī)變量。一個(gè)是一些互相獨(dú)立的無關(guān)的隨機(jī)變量。一個(gè)很好擬合的時(shí)間序列模型的殘差就應(yīng)該有很好擬合的時(shí)間序列模型的殘差就應(yīng)該有這樣的這樣的acf和和pacf圖。圖。44AR(2)、MA(2)和和ARMA(2,2)模型所對(duì)應(yīng)的模型所對(duì)應(yīng)的acf和和pacf圖。圖。注意，圖中有些條是從注意，圖中有些條是從0開始的（不算在開始的（不算在p或或q內(nèi)）。內(nèi)）。 0510152025300.00.4

37、0.8LagACFACF of AR(2) process0510152025300.00.20.40.6LagPartial ACFACF of AR(2) process051015202530-0.20.20.61.0LagACFPACF of MA(2) process051015202530-0.3-0.10.1LagPartial ACFPACF of MA(2) process051015-0.20.20.61.0LagACFACF of ARMA(2,2) process51015-0.20.20.6LagPartial ACFPACF of ARMA(2,2) process

38、45例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR2.sav 根據(jù)根據(jù)acf和和pacf圖圖的形態(tài)，不用進(jìn)行任何差分就可的形態(tài)，不用進(jìn)行任何差分就可以直接用以直接用AR(2)模型擬合。利用模型擬合。利用SPSS軟件，選擇軟件，選擇AR(2)模型模型( (等價(jià)地等價(jià)地ARIMA(2,0,0)(0,0,0)模型模型),),得得到參數(shù)估計(jì)為到參數(shù)估計(jì)為120.4783,0.4062也就是說該也就是說該AR(2)模型為模型為 120.47830.4062ttttXXXa46例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR2.sav 例例15.2的原始序列和由模型的原始序列和由模型AR(2)得到的擬合值得到的擬合值及對(duì)未來及對(duì)未來10個(gè)觀測的預(yù)測圖（虛線）

39、個(gè)觀測的預(yù)測圖（虛線） Timex0100200300400500-4-202447例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR2.sav 下面再看剩下的殘差序列是否還有什么模式。這還可以由殘差的下面再看剩下的殘差序列是否還有什么模式。這還可以由殘差的pacf(左左)和和acf(右右)圖來判斷?？梢钥闯觯鼈儧]有什么模式；這圖來判斷?？梢钥闯?，它們沒有什么模式；這說明擬合比較成功。說明擬合比較成功。 05101520250.00.20.40.60.81.0LagACFSeries d$res0510152025-0.050.000.05LagPartial ACFSeries d$res48例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)AR2.s

40、av 下圖為殘差對(duì)擬合值的散點(diǎn)圖。看不出任何模式。說明殘差的確下圖為殘差對(duì)擬合值的散點(diǎn)圖?？床怀鋈魏文Ｊ健Ｕf明殘差的確是獨(dú)立的和隨機(jī)的。是獨(dú)立的和隨機(jī)的。-4-3-2-10123-2-1012Fitted ValueResiduals49ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s模型模型 在對(duì)含有季節(jié)和趨勢在對(duì)含有季節(jié)和趨勢/循環(huán)等成分的時(shí)間序列進(jìn)行循環(huán)等成分的時(shí)間序列進(jìn)行ARIMA模型的擬合研究和預(yù)測時(shí)，就不象對(duì)純粹的滿模型的擬合研究和預(yù)測時(shí)，就不象對(duì)純粹的滿足可解條件的足可解條件的ARMA模型那么簡單了。模型那么簡單了。 一般的一般的ARIMA模型有多個(gè)參數(shù)，沒有季節(jié)成分的可以模型有多個(gè)參

41、數(shù)，沒有季節(jié)成分的可以記為記為ARIMA(p,d,q)，如果沒有必要利用差分來消除趨，如果沒有必要利用差分來消除趨勢或循環(huán)成分時(shí)，差分階數(shù)勢或循環(huán)成分時(shí)，差分階數(shù)d=0，模型為，模型為ARIMA(p,0,q)，即，即ARMA(p, q)。 在有已知的固定周期在有已知的固定周期s時(shí)，模型多了時(shí)，模型多了4個(gè)參數(shù)，可記為個(gè)參數(shù)，可記為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。這里增加的除了周期。這里增加的除了周期s已知之外已知之外，還有描述季節(jié)本身的，還有描述季節(jié)本身的ARIMA(P,D,Q)的模型識(shí)別問題的模型識(shí)別問題。因此，實(shí)際建模要復(fù)雜得多。需要經(jīng)過反復(fù)比較。因此，實(shí)際建模要復(fù)雜得多。需要經(jīng)

42、過反復(fù)比較。50用用ARIMA模型擬合模型擬合tax.savtax.sav 先前對(duì)例先前對(duì)例15.1(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)tax.txt或或tax.sav)進(jìn)行了分解，并且用進(jìn)行了分解，并且用指數(shù)平滑做了預(yù)測。知道其中有季節(jié)和趨勢成分。指數(shù)平滑做了預(yù)測。知道其中有季節(jié)和趨勢成分。 下面試圖對(duì)其進(jìn)行下面試圖對(duì)其進(jìn)行ARIMA模型擬合。先試圖對(duì)該序列做模型擬合。先試圖對(duì)該序列做acf和和pacf條形圖。其中條形圖。其中acf圖顯然不是拖尾（不是以指數(shù)速率遞減），圖顯然不是拖尾（不是以指數(shù)速率遞減），因此說明需要進(jìn)行差分。因此說明需要進(jìn)行差分。0.00.51.01.5-0.20.00.20.40.60.81.0

43、LagACFSeries tax0.51.01.5-0.40.00.20.40.60.8LagPartial ACFSeries tax51用用ARIMA模型擬合例模型擬合例tax.savtax.sav 關(guān)于于參數(shù)，不要選得過大；每次擬合之后要檢關(guān)于于參數(shù)，不要選得過大；每次擬合之后要檢查殘差的查殘差的acf和和pacf圖，看是否為無關(guān)隨機(jī)序列。圖，看是否為無關(guān)隨機(jī)序列。 在在SPSS軟件中還有類似于回歸系數(shù)的檢驗(yàn)以及軟件中還有類似于回歸系數(shù)的檢驗(yàn)以及其他一些判別標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)輸出可做參考（這里其他一些判別標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)輸出可做參考（這里不細(xì)說）。不細(xì)說）。 經(jīng)過幾次對(duì)比之后，對(duì)于例經(jīng)過幾次對(duì)比之

44、后，對(duì)于例16.1數(shù)據(jù)我們最后選數(shù)據(jù)我們最后選中了中了ARIMA(0,1,1)(1,2,1)12模型來擬合。模型來擬合。擬合的擬合的結(jié)果和對(duì)結(jié)果和對(duì)2005年年6月之后月之后12個(gè)月的預(yù)測在個(gè)月的預(yù)測在下圖中下圖中52例例tax.sav的原始序列和由模型得到的擬合值及對(duì)未來的原始序列和由模型得到的擬合值及對(duì)未來12個(gè)個(gè)月的預(yù)測圖。月的預(yù)測圖。 Timetax1996199820002002200420062e+054e+056e+058e+051e+0653例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)tax.sav 為了核對(duì)，當(dāng)然要畫出殘差的為了核對(duì)，當(dāng)然要畫出殘差的acf和和pacf的條形圖來看是否還有什的條形圖來看是

45、否還有什么非隨機(jī)的因素存在。下圖為這兩個(gè)點(diǎn)圖，看來我們的模型選擇么非隨機(jī)的因素存在。下圖為這兩個(gè)點(diǎn)圖，看來我們的模型選擇還是適當(dāng)?shù)?。還是適當(dāng)?shù)摹?0.00.51.01.5-0.20.00.20.40.60.81.0LagACF0.51.01.5-0.15-0.050.050.15LagPartial ACF5455例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)tax.sav 例例15.1數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合ARIMA(0,1,1)(1,2,1)12模型后殘模型后殘差序列的差序列的Ljung-Box檢驗(yàn)的檢驗(yàn)的p值值 51015200.00.20.40.60.81.0lagp value for Ljung-Box test56

46、新SPSSModel DescriptionModel DescriptionARIMA(0,1,1)(1,2,1)Model_1稅收收入_稅種合計(jì)Model IDModel TypeARIMA Model ParametersARIMA Model Parameters1.820.06113.447.000-.504.149-3.384.0012.563.1753.214.002DifferenceLag 1MALag 1AR, SeasonalSeasonal DifferenceLag 1MA, SeasonalNo Transformation稅收收入_稅種合計(jì)稅收收入_稅種合計(jì)-Mo

47、del_1EstimateSEtSig.575859用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 DAY, period 746135724613572461SALES7060504030 例例：數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)tsadds2.sav是一個(gè)銷售時(shí)間序列，以每周七天是一個(gè)銷售時(shí)間序列，以每周七天為一個(gè)季節(jié)周期，除了銷售額序列為一個(gè)季節(jié)周期，除了銷售額序列sales之外，還有一個(gè)之外，還有一個(gè)廣告花費(fèi)的獨(dú)立變量廣告花費(fèi)的獨(dú)立變量adds。先不理睬這個(gè)獨(dú)立變量，把。先不理睬這個(gè)獨(dú)立變量，把該序列當(dāng)成純粹時(shí)間序列來用該序列當(dāng)成純粹時(shí)間序列來用ARIMAARIMA模型擬合。右圖為

48、模型擬合。右圖為該序列的點(diǎn)圖。該序列的點(diǎn)圖。60數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)tsadds2.sav再首先點(diǎn)出其再首先點(diǎn)出其acfacf和和pacfpacf條形圖條形圖 SALESLag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientSALESLag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientacf圖顯然不是拖尾模式，因此，必須進(jìn)行差分以圖顯然不是拖尾模式，因此，必須進(jìn)行差分以消除季節(jié)影響。

49、試驗(yàn)多次之后，看上去消除季節(jié)影響。試驗(yàn)多次之后，看上去ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)7的結(jié)果還可以接受。殘差的的結(jié)果還可以接受。殘差的pacfpacf和和acfacf條形圖在下一頁圖中條形圖在下一頁圖中 61用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 繼續(xù)改進(jìn)我們的模型，再把獨(dú)立變量廣告支出加入模型，最后得繼續(xù)改進(jìn)我們的模型，再把獨(dú)立變量廣告支出加入模型，最后得到的帶有獨(dú)立變量到的帶有獨(dú)立變量addsadds的的ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)7 7模型。擬合后模型。擬合后的殘差圖在下圖中。的殘差圖在下圖

50、中。 Error for SALES from ARIMALag Number16151413121110987654321ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficientError for SALES from ARIMALag Number16151413121110987654321Partial ACF1.0.50.0-.5-1.0Confidence LimitsCoefficient62用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 從各種角度來看擬合帶獨(dú)立變量平方從各種角度來看擬合帶獨(dú)立變量平方的的ARIMA

51、(2,1,2)( 0,1,1)ARIMA(2,1,2)( 0,1,1)7 7模型給出更模型給出更好的結(jié)果。好的結(jié)果。雖然從上面的雖然從上面的acfacf和和pacfpacf圖看不出（一圖看不出（一般也不應(yīng)該看出）獨(dú)立變量對(duì)序列的般也不應(yīng)該看出）獨(dú)立變量對(duì)序列的自相關(guān)性的影響，但是根據(jù)另外的一自相關(guān)性的影響，但是根據(jù)另外的一些判別準(zhǔn)則，獨(dú)立變量的影響是顯著些判別準(zhǔn)則，獨(dú)立變量的影響是顯著的，而且加入獨(dú)立變量使得模型更加的，而且加入獨(dú)立變量使得模型更加有效。有效。 63用用ARIMA模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列模型擬合帶有獨(dú)立變量的時(shí)間序列 要注意，一些獨(dú)立變量的效果也可能是滿要注意，一些獨(dú)立變

52、量的效果也可能是滿足某些時(shí)間序列模型的，也可能會(huì)和季節(jié)、足某些時(shí)間序列模型的，也可能會(huì)和季節(jié)、趨勢等效應(yīng)混雜起來不易分辯。這時(shí)，模趨勢等效應(yīng)混雜起來不易分辯。這時(shí)，模型選擇可能就比較困難。也可能不同模型型選擇可能就比較困難。也可能不同模型會(huì)有類似的效果。會(huì)有類似的效果。 一個(gè)時(shí)間序列在各種相關(guān)的因素影響下的一個(gè)時(shí)間序列在各種相關(guān)的因素影響下的模型選擇并不是一件簡單明了的事情。實(shí)模型選擇并不是一件簡單明了的事情。實(shí)際上沒有任何統(tǒng)計(jì)模型是絕對(duì)正確的，它際上沒有任何統(tǒng)計(jì)模型是絕對(duì)正確的，它們的區(qū)別在于，在某種意義上，一些模型們的區(qū)別在于，在某種意義上，一些模型的某些性質(zhì)可能要優(yōu)于另外一些。的某些性質(zhì)

53、可能要優(yōu)于另外一些。64新新SPSS的時(shí)間序列實(shí)現(xiàn)的時(shí)間序列實(shí)現(xiàn) 特點(diǎn): 在ARIMA中自動(dòng)選擇用什么參數(shù) 在指數(shù)平滑和ARIMA中自動(dòng)選擇模型(包括參數(shù)) 下面是兩個(gè)例子 TAX AIRPORT65tsadds2.sav66Model DescriptionModel DescriptionWinters AdditiveModel_1salesModel IDModel TypeExponential Smoothing Model ParametersExponential Smoothing Model Parameters.171.0622.778.007.252.1252.018.

54、047.001.098.010.992Alpha (Level)Gamma (Trend)Delta (Season)NoTransformationModelsales-Model_1EstimateSEtSig.676869Airport.sav70GET FILE=C:XZWUHEPbookdataAirport.sav.DATASET NAME DataSet1 WINDOW=FRONT.PREDICT THRU END.* Time Series Modeler.TSMODEL /MODELSUMMARY PRINT= MODELFIT /MODELSTATISTICS DISPLA

55、Y=YES MODELFIT= SRSQUARE /SERIESPLOT OBSERVED FORECAST /OUTPUTFILTER DISPLAY=ALLMODELS /AUXILIARY CILEVEL=95 MAXACFLAGS=24 /MISSING USERMISSING=EXCLUDE /MODEL DEPENDENT=北京 成都 福州 桂林 杭州 濟(jì)南 老河口 南京 上海 武漢 鹽城 銀川 PREFIX=Model /EXPERTMODELER TYPE=ARIMA EXSMOOTH TRYSEASONAL=YES /AUTOOUTLIER DETECT=OFF .71PRE

56、DICT THRU YEAR 2004 .* Time Series Modeler.TSMODEL /MODELSUMMARY PRINT= MODELFIT /MODELSTATISTICS DISPLAY=YES MODELFIT= SRSQUARE /SERIESPLOT OBSERVED FORECAST FIT /OUTPUTFILTER DISPLAY=ALLMODELS /SAVE PREDICTED(Predicted) LCL(LCL) UCL(UCL) /AUXILIARY CILEVEL=95 MAXACFLAGS=24 /MISSING USERMISSING=EXC

57、LUDE /MODEL DEPENDENT=北京 成都 福州 桂林 杭州 濟(jì)南 老河口 南京 上海 武漢 鹽城 銀川 PREFIX=Model /EXPERTMODELER TYPE=ARIMA EXSMOOTH TRYSEASONAL=YES /AUTOOUTLIER DETECT=OFF .727374Model DescriptionModel DescriptionARIMA(1,0,1)(0,1,1)Simple SeasonalSimple SeasonalSimple SeasonalSimple SeasonalWinters AdditiveSimple SeasonalSi

58、mple SeasonalARIMA(0,0,2)(0,1,0)Simple SeasonalSimple SeasonalARIMA(0,0,2)(1,1,0)Model_1北京Model_2成都Model_3福州Model_4桂林Model_5杭州Model_6濟(jì)南Model_7老河口Model_8南京Model_9上海Model_10武漢Model_11鹽城Model_12銀川ModelIDModel Type75Model StatisticsModel Statistics0.5858.85915.88500.22927.83716.03300.34930.96516.01400.2

59、4224.17216.08600.09230.92416.01400.19630.19015.01100.28848.64316.00000.18121.73916.15200.61715.37016.49800.44026.02716.05400.43924.24816.08400.36019.94115.1740Model北京-Model_1成都-Model_2福州-Model_3桂林-Model_4杭州-Model_5濟(jì)南-Model_6老河口-Model_7南京-Model_8上海-Model_9武漢-Model_10鹽城-Model_11銀川-Model_12Number ofPre

60、dictorsStationaryR-squaredModel FitstatisticsStatisticsDFSig.Ljung-Box Q(18)Number ofOutliers76Exponential Smoothing Model ParametersExponential Smoothing Model Parameters.999.09910.142.000.00028.3141.65E-0051.000.900.0979.241.000.000.341.001.999.999.1039.674.000.00051.0487.65E-0061.000.999.09810.17