專題05正余弦定理的應(yīng)用原卷版

1、專題05正余弦定理的應(yīng)用1、【2019年高考全國n卷文數(shù)】 ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知bsinA+acosB=0,則 B=.2、 【2019年高考浙江卷】在 ABC中，ABC 90 , AB 4 , BC 3，點D在線段AC上，若BDC 45，貝U BD , cos ABD .3、 【2019年高考江蘇卷】在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.2(1 )若 a=3c, b=、2 , cosB=，求 c 的值；3sin A cosB(2)若，求sin(B)的值.a 2b24、【2019年高考江蘇卷】如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一

2、條直線型公路I，湖上有橋AB (AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路 l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路 PB、QA.規(guī)劃要求： 線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓.O的半徑已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足)，測得 AB=10, AC=6, BD=12 (單位：百米).(1) 若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2) 在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在 D處？并說明理由；(3) 在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d(單位：百米)求當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離.5【2019年高考全國 川卷文數(shù)】 ABC的內(nèi)角A、BC的對邊分別為a、b、c.已

3、知asinbsin A .2(1 )求 B；(2)若ABC為銳角三角形，且 c=1,求 MBC面積的取值范圍.16、【2019年高考北京卷文數(shù)】在 AABC中，a=3, b -C 2 , cosB=-2(1 )求b, c的值； (2 )求 sin (B+C)的值.7、【2019年高考天津卷文數(shù)】在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為 a,b,c.已知b c 2a ,3csi nB 4as inC.(1 )求cos B的值；n(2)求sin 2b 的值.6難點突破一、正弦、余弦定理1、在 ABC中，若角A, B, C所對的邊分別是 a, b, c,只為厶ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定

4、理內(nèi)容abc=2Rsin A sin B sin C2 2 2a = b + c 2bccos A；b = c + a 2cacos B； c2= a2 + b2 2abcos C變形(1) a= 2Rsin A, b= 2Fsin B, c= 2Rsin C;(2)sinA= JR, sinB= 2R, sinC= 2R；(3) a : b : c= sin A： sin B: sin C; asinB= bsin A, bsin C= csin B,as inC= csinAb2+ c2 a2cos A=2bc；2 2 . 2 c + a b cos B門;2ac2 . 2 2 c a +

5、 b c cos C2ab111abc2、& AB尸 qabsin C= qbcsin A=，acsin B= -4R3、正余弦定理的作用：正弦定理的作用：邊角互化問題，方法有:利用 a= 2RsinA, b= 2Rsin B, c = 2FSinC將邊化為角;.222利用cosA= VbF等將余弦化為邊;ccosB+ bcosC= a等化角為邊.(2).求邊長問題，方法有：利用正弦定理求邊；利用余弦定理求邊.二、在 ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形/4B"aVLAA關(guān)系式a bsin AbsinA<a<ba> ba>

6、;b解的個數(shù)一解兩解一解一解三、實際問題中的常用角1、仰角和俯角：與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖). 方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°B點的方位角為a (如圖).方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值四、注意點：1、解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則考慮兩個定理都有可能用 到2關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定

7、理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的 三角恒等變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”題型一、運用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指變、角、面積等。解題時注意一下兩點：(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用正、余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2)熟練運用正、余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用例1、(2019通州、海門、啟東期末)在厶ABC中，角A , B , C所對的邊分別為a, b, c,若acosB =n rt r3bcosA , B = A 百，貝V B=例2、(2019蘇州三市、蘇北四市

8、二調(diào))在厶 ABC中，已知 C= 120 ° , sinB = 2sinA，且 ABC的面積 為2©，則AB的長為例3、(2019鎮(zhèn)江期末)在厶 ABC中，角A, B , C所對的邊分別為 a, b, c,且ccosB + bcosC = 3acosB. (1)求cosB的值；若|cA CB|= 2, ABC的面積為2.2,求邊b.題型二、運用正余弦定理研究三角形中的范圍運用正余弦定理研究三角形中的范圍主要涉及兩方面的問題：一是：與不等式結(jié)合；二是有角的范圍，確定三角函數(shù)值的范圍例4、(2019蘇州期初調(diào)查)在斜三角形 ABC中，已知+- + tanC= 0，則tanC的最

9、大值等于 tanA tanB例5、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)在厶ABC中，三個內(nèi)角A, B , C的對邊分別為a , b , c，設(shè) ABC 的面積為S ,且4S , 3( a2 c2 b2).(1) 求 B的大小；(2) 設(shè)向量 m (si n2A,3cosA) , n (3, 2cos A)，求 m n 的取值范圍.題型三、正余弦定理與向量的綜合正余弦定理與向量的綜合主要就是借助于向量的知識轉(zhuǎn)化為邊角的函數(shù)關(guān)系式，然后運用正余弦定理解 決問題。例6、(2019無錫期末)在 ABC中，設(shè)a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知向量m= (a, sinCsinB), n = (b + c,

10、sinA+ sinB), 且 m II n.(1) 求角C的大?。?2) 若c = 3,求 ABC的周長的取值范圍.題型四、運用正余弦定理解決實際問題解三角形應(yīng)用題的解題技巧：首先，理清題干條件和應(yīng)用背景，畫出示意圖；其次，把所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識求解；最后，回歸實際問題并檢驗結(jié)果例7、( 2019蘇北三市期末)如圖，某公園內(nèi)有兩條道路AB , AP，現(xiàn)計劃在AP上選擇一點C,新建n道路BC,并把 ABC所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域.已知/BAC = , AB = 2 km.(1) 若綠化區(qū)域 ABC的面積為1 km2，求道路BC的長度；2 n(2) 若

11、綠化區(qū)域 ABC改造成本為10萬元/km2,新建道路BC成本為10萬元/km.設(shè)/ ABC = 0 0< 03當(dāng)0為何值時，該計劃所需總費用最??？、填空題1、（2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)） 在厶ABC中，若sin A:si n B :si nC 4:5:6，則cosC的值為.2、（2017常州期末）在厶 ABC中，角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若a2= 3b2+ 3c2 2 3bcsinA,貝 y c=.3、 （2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）在厶ABC中，已知 C= 120°, sinB = 2sinA，且 ABC的面積為2羽，貝U AB的長為.4、 （

12、2019南京學(xué)情調(diào)研） 已知 ABC的面積為315，且AC AB = 2 ,cosA =寸,則BC的長為5、 （2019蘇州期初調(diào)查）已知 ABC的三邊上高的長度分別為2, 3, 4,則厶ABC最大內(nèi)角的余弦值等于在銳角 ABC中，AB 3 , AC 4 .若 ABC的面積為3 3 ,6、（2017南通、揚州、泰州、淮安三調(diào)） 則BC的長是7、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一）在厶ABC中，角A , B, C所對的邊分別為a, b, c,已知 5a= 8b, An=2B，貝U si nA =48、（2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）設(shè) ABC的內(nèi)角A ,B , C的對邊分別是a, b, c ,且滿足a cos

13、B b cos Atan B9、（2019南京、鹽城二模）在厶ABC 中,若 sinC = 2cosA cosB ,則coa + cos2B的最大值為10、 （2017南京、鹽城一模）在厶 ABC中，A , B , C所對的邊分別為a , b , c ,若a2 + b2+ 2& = 8,貝憶ABC面積的最大值為.二、解答題11、（2019南京、鹽城一模）在厶 ABC中，設(shè)a , b , c分別為角A, B , C的對邊，記 ABC的面積為S,若 2S= AB AC ,(1) 求角A的大??；4(2) 若 c= 7 , cosB = 5,求 a 的值.12、(2019南通、泰州、揚州一調(diào))

14、在厶ABC中，a, b, c分別為角 A , B , C所對邊的長，acosB = 2bcosA,cosA =(1)求角B的值;若a= 6,求厶ABC的面積.13、(2019宿遷期末)已知 ABC的面積是S, AB AC = S.3(1)求si nA的值；若BC = 2 ,3，當(dāng) ABC的周長取得最大值時，求ABC的面積S.14、(2017 蘇州期末)已知函數(shù)f(x) ="23sin2x cos2x *.(1) 求函數(shù)f(x)的最小值，并寫出取得最小值時的自變量x的集合；(2) 設(shè)厶ABC的內(nèi)角A , B, C所對的邊分別為 a, b, c,且c=. 3, f(C) = 0,若sinB = 2sinA，求a, b的值15、(2019鎮(zhèn)江期末)某房地產(chǎn)商建有三棟樓宇 A , B , C,三樓宇間的距離都為 2千米，擬準(zhǔn)備在此三 樓宇圍成的區(qū)域 ABC外建第四棟樓