高考數(shù)學(xué)解題錯(cuò)題的成因分析與應(yīng)對(duì)策略

1、高考數(shù)學(xué)解題錯(cuò)題的成因分析與應(yīng)對(duì)策略高考是人生一件大事，在高考屮取得數(shù)學(xué)科目的高分是莘莘學(xué)子 夢(mèng)寐以求的事，為此不少的學(xué)生做出十幾年艱苦奮斗，但是在歷年的 高考中還是有些數(shù)學(xué)得很好的同學(xué)考出不滿(mǎn)意的成績(jī)，不能很好地展 現(xiàn)個(gè)人的才華，造成人生第一次，第大憾事。是什么原因造成這些考 生的終生遺憾，這是本課研究的主題，怎樣有效地避免類(lèi)似的悲劇在 高考中重演則是本課要達(dá)到的冃標(biāo)。一.數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的特征解題錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)過(guò)程中的正?，F(xiàn)象，它既與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境有關(guān)， 又與試題的難易程度有關(guān)同時(shí)也考生學(xué)習(xí)水平、身體與心理狀況有 關(guān)。數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤既有個(gè)性乂有共性，據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤有一定的規(guī)律 性。1. 1主觀盲動(dòng)性：

2、數(shù)學(xué)解題是主休感受并處理數(shù)學(xué)信息的創(chuàng)造性的 思維過(guò)程。部分考生末切題意，加之高考求勝心切，憑個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)盲 目做題,以至于出現(xiàn)主觀認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤和限入主觀思維定勢(shì)，造成的主觀 盲動(dòng)性錯(cuò)誤和解題思維障礙。1. 2漏洞隱蔽性：數(shù)學(xué)解題是考生借助特定“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”進(jìn)行數(shù)學(xué) 思維的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中考生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著 決定性的作用。個(gè)體思維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因，這種 思維漏洞一旦產(chǎn)生，考生是很難發(fā)現(xiàn)的，考生本人還處我感覺(jué)很好。 這是思維跳躍度大和平時(shí)解題不寫(xiě)過(guò)程的考生的共同特點(diǎn)。（是聰明 人犯的愚蠢的錯(cuò)誤） 識(shí)過(guò)程中的正?，F(xiàn)象。因此高考數(shù)學(xué)解題中的錯(cuò)誤也是可以避免的。3錯(cuò)誤可避性:

3、解題錯(cuò)誤是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中形成的,是數(shù)學(xué)認(rèn)所謂“吃一塹長(zhǎng)一智”，就是說(shuō)我們要增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的錯(cuò)鎂警 戒意識(shí)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，并構(gòu)建數(shù)學(xué)解題過(guò)程中常見(jiàn)性錯(cuò) 誤的“錯(cuò)題庫(kù)”1. 4形式多樣性：數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤形式多樣性是由數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛性 和個(gè)體思維的不確定性決定的。一般來(lái)說(shuō)考生有解題錯(cuò)誤有知識(shí)性錯(cuò) 誤、邏輯性錯(cuò)誤、心理性錯(cuò)誤、策略性的錯(cuò)誤。二.數(shù)學(xué)解題失誤的形式2.1基本概念數(shù)學(xué)特征不明1. 曲線(xiàn)丄+丄= g6）與曲線(xiàn)丄+丄“5加9）的10 - /«6-m5-w 9一加（a）焦距相等（b）離心率相等（c）焦點(diǎn)相同（d）準(zhǔn)線(xiàn)相同2若朕（0,穴）方程_? +）,2心0=表示的曲線(xiàn)可

4、以是直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)2.2策略性錯(cuò)誤策略性錯(cuò)誤是指解題思路阻塞或一種策略產(chǎn)生錯(cuò)誤導(dǎo)向，或指一種策略明顯增加了過(guò)程的難度和復(fù)朵性，市于時(shí)間的限制，問(wèn)題最終得不到解決。主要有：方法不當(dāng)，不能止確轉(zhuǎn)化問(wèn)題或運(yùn)用模式。(消除策略性錯(cuò)誤的應(yīng)對(duì)策略是：后期復(fù)習(xí)注意歸類(lèi)總結(jié)，對(duì)基礎(chǔ) 題中檔題形成模式化解法)3. 過(guò)圓疋+,2二4外一點(diǎn)m (4, -1)引圓的兩條切線(xiàn)，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程為 析：4x-y-4 = 0,錯(cuò)誤的思、路是先找切點(diǎn)而后再直線(xiàn)方程，造成了很大的計(jì)算量。4. 對(duì)正整數(shù)n,設(shè)拋物線(xiàn)y2(2n+l)x,過(guò)點(diǎn)p(2n,0)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于an,bn兩點(diǎn)，則數(shù)列右的滸°和二“

5、+ °2.3閱讀理解失誤【錯(cuò)誤形式1】忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。5. 設(shè)q、0是方程x2-2kx + k+6 = 0的兩個(gè)實(shí)根，貝|j(& 1)2+(0 1)2的最小值是 49(a) (b) 8(c) 18(d)不存在4析：誤了 a,應(yīng)注意 a = 4k2-4(k + 6)>0 =>k<-2 k > 3.思路分析木例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a + 0 = 2k,cc0 = r + 6, (1)2 +(0_ 1尸"一20 + 1+ 02 一 20 + 1=(q + 0) 2 - 2妙一

6、 2(a + 0) + 2有的學(xué)生一看到-二，常受選擇答案(a)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思4性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從屮選 出正確答案。原方程有兩個(gè)實(shí)根q、0,a = 4k2-4(k + 6)>0 =>k<-2 或k»3.當(dāng)k、3時(shí)，&一1)2+(0-1)2的最小值是&當(dāng)k<-2時(shí)，(a 一 i)2 + (0 -1)2的最小值是180這時(shí)就可以作出正確選擇，只有(b)正確。6. 已知(x+2)?+才=1,求x2+y2的取值范圍。8 ?8錯(cuò)解 由已知得 y2=-4x2-16x-12,因此

7、 x2+y2= -3x2- 16x-12= -3(x+ - )2+ ,3 3o2=or當(dāng)x=3時(shí)，x?+y2冇最大值亍，即的取值范圍是(一8, o分析 沒(méi)有注意x的収值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。.y2.y2事實(shí)上，由于(x+2)2+ - =1=>(x+2)2=1- :3wxw l,28從而當(dāng)x= 1時(shí)有最小值1。x?+y2的取值范圍是1,。注意有界性：偶次方x20,三角函數(shù)一lwsinxwl,指數(shù)函數(shù)ax>0,圓錐曲線(xiàn)有界性等。2 ,27. 已知橢he： + - = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片、只，若點(diǎn)p在橢圓e上，且滿(mǎn)足4 312pf,pf2=t.求實(shí)數(shù)f的収值范圍.8在函

8、數(shù)y=x3-8x的圖象上，其切線(xiàn)的傾斜角小于蘭的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 4a.3b.2c.ld.0析：(忽視了傾角的定義與斜率之間的關(guān)系，即導(dǎo)數(shù)限制條件是：80<3jt2-8<1=>-<x2<3,xgz=>g)39在極坐標(biāo)系中，從極點(diǎn)0作圓x? = 8sin &的弦on,則on的中點(diǎn)的軌跡方程是 析：p = 4sin&,錯(cuò)誤原因是寫(xiě)成了直角坐標(biāo)系內(nèi)的方程x + b4), = 010.直線(xiàn)x + y = l與圓x2y2-2ay = 0 (a0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。取值范圍是()a. (0,血一1) b.(血一 1,血+ 1) c. (一&

9、quot;一1,血 + 1) d. (0,72 + 1)析：應(yīng)選a,忽視了 a0,錯(cuò)誤地選取了 c。11設(shè)0(0, o)a(1,o),b(o, 1)p是線(xiàn)段ab上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ap = aab若麗忑'頂両 則實(shí)數(shù)2取值范圍是()a丄,1 b. 1- -1,1| c.|-,l + d. |1- ,1 + | 2 2 2 2 2 2 析：忽視了點(diǎn)p在線(xiàn)段ab上應(yīng)滿(mǎn)條件0s/is1,錯(cuò)選了 d,應(yīng)選b12. 已知 (x, y) | (m+3)x+y=3m-4 cl (x, y) 17x+ (5-m) y-8=0 = 4> 則直線(xiàn)(m+3) x+y=3m+4 與 坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是

10、析：只重平行，忽視重合，忘舍了呼4【錯(cuò)誤形式2】忽視不等式中等號(hào)成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。1 113. 已知：a>0, b>0, a+b=l,(a+ - )2+(b+)2 的授小值。錯(cuò)解(a )2+(b+ )2=a2+b2+ h +4$2ab+4m4 jcib +4=8,a ba bah v cib(a+)2+(b+ )2 的最小值是 8.a b分析 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab,笫一次等號(hào)成立的條件是護(hù)b二丄,2笫二次等號(hào)成立的條件是ab=,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不 ab是最小值。事實(shí)上，原式二 a2+b2+ 亠 + 亠 +4=( a2+

11、b2)+(亠 + 丄)+4=(a+b)22ab+(丄 + 丄)2 +4 a ba ha b ah=(1 2ab)(l+-)+4,ab由 abw( a* » f 二丄 得：2ab21 丄=,h. '316, 1+ "317,2 42 2 a2b2a2b21 251原式>-x17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)護(hù)b二一時(shí)，等號(hào)成立)，2 22i125（a+ l）2 + （b+丄f的最小值是亍oabz14. illi線(xiàn)y = l + j4-,與直線(xiàn)y = k（兀2）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k取值范圍是（）5 1 355 3a. (0,-) b.c.它,+oc)d.析：錯(cuò)選c,錯(cuò)因化一元

12、二次方程求解，忽視了函數(shù)y = 1 + 丁4-f的特點(diǎn)，解題策略不當(dāng), 應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，用直線(xiàn)和圓珠筆的位置關(guān)系求解?！惧e(cuò)誤形式3】重視一般性，忘記特殊性15. 求過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)b = 2兀僅有一個(gè)交點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線(xiàn)為y = b + l,則它與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為|），_也+ 1,消去），得（也+ 1尸_2兀=0.整理得+（2鳥(niǎo)一2）兀+ i = o.卜=2x直線(xiàn)與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，a = 0,解得£=*所求直線(xiàn)為+ 錯(cuò)誤分析 此處解法共冇三處錯(cuò)誤：第一，設(shè)所求直線(xiàn)為y二也+ 1時(shí)，沒(méi)有考慮£=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上 就是承認(rèn)

13、了該肓線(xiàn)的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題小要求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述 解法沒(méi)有考慮和切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)丁直線(xiàn)耳拋物線(xiàn)“相切”和“只有 一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。第三，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式, 所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即rho,而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求氏線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即肓線(xiàn)垂宜x軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（0,1）,所以 兀=（）,即），軸，它正好與拋物線(xiàn)b = 2%相切。 當(dāng)所求直線(xiàn)斜率為零時(shí)，直線(xiàn)為y二1平行兀軸，它正好與拋物線(xiàn)y2 = 2兀只有一個(gè) 交點(diǎn)。y

14、 = kx + l 一般地，設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0）的直線(xiàn)為y = kx伙工0）,則初9,b =2x:.k2x2 +（2k-2）x = o.令 = （）,解得 k =!，.-.所求直線(xiàn)為 y = -x+l.乙2綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)為：y = 1, x = 0, 丁 =丄x + 1. 216. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閞,則實(shí)數(shù)。取值范圍是（）ax + ax-3a. ci > b. -12 < tz < 0 c一12vds0d. a 5 3 3析：應(yīng)選c,錯(cuò)誤原因是只把分母看成二次函數(shù)研究，而忽視了0情況?！惧e(cuò)誤形式4】以偏概全，錯(cuò)將特殊當(dāng)一般17. 設(shè)等比數(shù)列%的全項(xiàng)和為s”.若s3+s

15、6=2s9,求數(shù)列的公比g.錯(cuò)誤解法 53+s6 =259, /. 整理得 q3(2q6_q3_° =0 由q h 0得方程 2q6 -q3 -1 = 0.皿-q)+e(l_g6)=2.%(l_g9)(2q3+l)(q3-l) = 0,.-.qv4tqi錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解屮，由®(1 9)+如(1一/)=2円(1一/),-q-q-q整理得q3(2q6-q3-d =0時(shí),應(yīng)有工0和qhl。在等比數(shù)列中，絢h0是顯然的，但公比q完全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公 比q = l的情況，再在qh1的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。正確解法 若q = l，則有s3二3切爲(wèi)=6°

16、;門(mén)9 =9%但絢h0,即得s3+s6h2s”與題設(shè)才盾，故qh1.又依題意q3(2q6_q3_l)s3 +s& = 2s9=>g*(f)=2 円(t) q1-q=>i g=0 ,即(2/+1)(/_ 1) = 0,因?yàn)閝hl,所以護(hù)一1工0,所以2, +1 = 0.解得說(shuō)明 此題為1996年全國(guó)高考文史類(lèi)數(shù)學(xué)試題第(21)題，不少考生的解法同錯(cuò)謀解法, 根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分?！惧e(cuò)誤形式5】忽視分類(lèi)討論，或分類(lèi)不全18. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和s“ = 2” + 1,求%.錯(cuò)誤解法 匕=s” 一 s = (2" +1) - (2t + 1)二 2" -

17、 2心=2心.錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng)斤=1時(shí)，二s】=3工2卜|=1。 錯(cuò)課原因：沒(méi)有注意公式-s-成立的條件是。s. (n = 1)因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)” =1時(shí)的情形。即：色=彳1""八"(/? >2,«g/v)19. 實(shí)數(shù)d為何值時(shí)，圓x2 + y2 -2ax + a2-1 = 0與拋物線(xiàn)y2有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 將圓兀2+y22處+ /1 = 0與拋物線(xiàn)y2 =丄兀聯(lián)立，消去y,2得 x2 - (2a)x +-1 = 0 (% > 0).2a = 01 17因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等正根，得£ 2d->0,解

18、z得a=.2 8 a2-l>0.要使圓與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。 a>0當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得彳9解z,得-l<a<l.a2 -<0.171因此，當(dāng)a二一或lvavl時(shí)，圓x2 +y2 -2ax + a2 = 0與拋物線(xiàn)y2 =-x兩個(gè) 8 2公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)g為何值時(shí)，圓x2 + y2-2ax + a2 -1 = 0與拋物線(xiàn)y2 =x,（1）有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）有三個(gè)公共點(diǎn)；（3）有四個(gè)公共點(diǎn)；（4）沒(méi)有公共點(diǎn)。【錯(cuò)誤形式6】空間圖形讀圖平面化dc20. 一個(gè)簡(jiǎn)單空間兒何體的三視圖其主視圖與左視圖為邊長(zhǎng)為2的

19、正三角形，俯視圖是正 形則其體積二 3析：課將斜高當(dāng)側(cè)棱c【錯(cuò)謀形式7】類(lèi)比推理中，推理方向的盲目性21. 如圖，在三角形abc中，ab丄ac, ad丄bc, d是垂足，貝uab? = bdbc （射影定理）類(lèi)似有命題：三棱錐a-bcd中ad丄平面abc, ao丄平面bcd, 0為垂足，且0在abcd內(nèi)， 則有【錯(cuò)誤形式8】歸納推理中，推理方向的盲目性22. 將正偶數(shù)按右表排列，則2006在第行，第列。第列第二列第三列第四列第五列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826【錯(cuò)誤形式9】限域求值，等號(hào)取舍不當(dāng)23. 不共線(xiàn)的向量：與啲夾角不超過(guò)150°,且歷 ", c = a-2b,則2的取值范圍是tt24. 設(shè)函數(shù) y = log2(sin <9 + cos 3),x g (0,),求函數(shù)的值域。225. 對(duì)v兀w/?,