2020年中考上海初中數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題匯總

1、初中數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題的討論以及解決策略最短路徑問(wèn)題中,關(guān)鍵在于，我們善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，或利用平移和展開(kāi)圖來(lái)處理。這對(duì)于我們解決此類問(wèn)題有事半功倍的作用。理論依據(jù)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”，“線段的平移”“立體圖形展開(kāi)圖”。教材中的例題“飲馬問(wèn)題”，“造橋選址問(wèn)題”“立體展開(kāi) 圖”?？嫉妮^多的還是“飲馬問(wèn)題”。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，利用平移把“折” 轉(zhuǎn)“直”，利用平面展開(kāi)圖把“折”轉(zhuǎn)“直”。一、運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問(wèn)題 為兩定點(diǎn)之間的距離。利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化基本思路是運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線

2、段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為 一條線段的長(zhǎng)，是解決距離之和最小問(wèn)題，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住 直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相 同注意： 利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題應(yīng)注意題目要 求，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利 用三角形的三邊關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一種方法解決這類 最值問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求， 審題不清導(dǎo)致答 非所問(wèn)1、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)例：已知：如圖，A，B 在直線 L 的兩側(cè)，在 L 上求一點(diǎn) P，使得 PA+PB 最小。解：連接 AB,線段 AB 與直線 L 的交點(diǎn) P ，就是所求。（根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最 短.）

3、2、 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)例：圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū) A、B 提供牛奶，奶站應(yīng)1B C建在什么地方，才能使從 A、B 到它的距離之和最短解：只有 A、C、B 在一直線上時(shí)，才能使 AC+BC 最小作點(diǎn) A 關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn) A，然后連接 AB，交“街道”于點(diǎn) C，則點(diǎn) C 就是所求的點(diǎn)應(yīng)用 1 在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD 中，點(diǎn) Q 為 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為對(duì)角線 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PB、PQ， 則PBQ 周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)（結(jié)果不取近似值）.2 如圖所示，正方形 ABCD的面積為 12 ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形 ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 AC上有一

4、點(diǎn) P ，使 PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）A2 3B2 6ADPC3D6E3 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn) P 在 BC 上移動(dòng)，則當(dāng) PA+PD 取最小值時(shí)， APD 中邊 AP 上的高為（ ）A、21717B、41717C、81717D、33、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例：已知：如圖 A 是銳角MON 內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON 的兩邊 OM，ON 上各取一點(diǎn) B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.解：分別作點(diǎn) A 關(guān)于 OM，ON 的對(duì)稱點(diǎn) A，A；連接 A，A，分別交 OM，ON 于點(diǎn) B、 點(diǎn) C，則點(diǎn) B、點(diǎn) C 即為所求分析：當(dāng)

5、AB、BC 和 AC 三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小 4、兩個(gè)點(diǎn)在矩形內(nèi)部例：已知矩形 ABCD 內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn) M、N，過(guò) M 擊球到 CD 邊 P，然后擊到 BC 邊 Q，然后到 N,則小球所走的最短路線？二、利用平移確定最短路徑選址 兩定點(diǎn)之間的距離。通過(guò)平移，除去固定部分的長(zhǎng)，使其余幾段的和正好為2選址問(wèn)題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點(diǎn)在一條直線的 同側(cè)時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在一條 直線的異側(cè)時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以 用三角形三邊關(guān)系來(lái)推理說(shuō)明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)

6、點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法使 河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的 問(wèn)題在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線 段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來(lái)解決問(wèn)題例：如圖，A.B 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋 MN，橋造在何處A·M才能使從 A 到 B 的路徑 AMNB 最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與 河垂直）解：1.將點(diǎn) B 沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到 E，2.連接 AE 交河對(duì)岸與點(diǎn) M,則點(diǎn) M 為建橋的位置，MN 為所建的橋。

7、證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以 A.B 兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在 CD 處，連接 AC.CD.DB.CE,則 AB 兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN所以橋的位置建在 CD 處，AB 兩地的路程最短。NEB例：如圖，A、B 是兩個(gè)蓄水池，都在河流 a 的同側(cè)，為了方便灌溉作A·B·a物， 要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到 A、B 兩地

8、，問(wèn)該站建在河EDC邊什么地方， 可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。作法：作點(diǎn) B 關(guān)于直線 a 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) C,連接 AC 交直線 a 于點(diǎn) D，則點(diǎn) D 為建抽水站的位置。 證明：在直線 a 上另外任取一點(diǎn) E，連接 AE.CE.BE.BD,點(diǎn) B.C 關(guān)于直線 a 對(duì)稱,點(diǎn) D.E在直線 a 上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE 中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB3所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn) D 處，例：某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的 AO，BO)，AO 桌面上擺滿DM了桔子，OB 桌面上擺滿了糖果，坐在 C 處的學(xué)

9、生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點(diǎn) C 關(guān)于直線 OA 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) D,2. 作點(diǎn) C 關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) E,2. 連接 DE 分別交直線 OA.OB 于點(diǎn) M.N，則 CM+MN+CN 最短例：如圖：C 為馬廄，D 為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，AONC EB先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫 他確定這一天的最短路線。AF·OCH作法：1.作點(diǎn) C 關(guān)于直線 OA 的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) F, 2. 作點(diǎn) D 關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) E,GD3.連接 EF 分別交直線 OA.OB 于

10、點(diǎn) G.H，B則 CG+GH+DH 最短四、求圓上點(diǎn)，使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)在此問(wèn)題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。例:一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為 9，最短距離為 1，則圓的半徑為多少？（5 或 4）三、利用展開(kāi)圖求立體圖形表面上小蟲(chóng)的最短路線問(wèn)題。通過(guò)展開(kāi)立E體圖形的表面或側(cè)面，化立體為平面，化曲線或折線為直線，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題。1.臺(tái)階問(wèn)題（1）如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階的 兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A 點(diǎn)上有一只螞蟻，想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從 A 點(diǎn)

11、出發(fā)，沿 著臺(tái)階面爬到 B 點(diǎn)，最短線路是多少？A(3+1)×3=12 B5351BA4析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=52+122=13cm（2）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為 2 米，寬為 1 米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬 AD 平行且AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為 0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn) A 處，到達(dá) C 處需要走的最短路程是 確到 0.01 米）分析：解答此題要將木塊展開(kāi)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答解：由題意可知，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于是 AB+2 個(gè)正方形的寬， 長(zhǎng)為 2+0.2×2=2.4 米；寬為 1 米米（精于是最短路徑為：=2.60 米2.圓

12、柱問(wèn)題 、點(diǎn)在圓柱中可將其側(cè)面展開(kāi)求出最短路程將圓柱側(cè)面展成長(zhǎng)方形，圓柱體展開(kāi)的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高是長(zhǎng)方形的 寬可求出最短路程（1）如圖所示，是一個(gè)圓柱體，ABCD 是它的一個(gè)橫截面，AB=螞蟻，要從 A 點(diǎn)爬行到 C 點(diǎn)，那么，最近的路程長(zhǎng)為（ ），BC=3，一只A7 BCD 5分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果 解：將圓柱體展開(kāi)，連接 A、C，= = =4，BC=3，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AC=5故選 D（2）有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為 24m，高為 6m，一只老鼠從距底面 1m 的 A 處爬行到對(duì)角 B 處吃食物， 它爬行的

13、最短路線長(zhǎng)為多少？BCBAA5。則 BA =析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=52+122=13m變式 1：有一圓柱形油罐，已知油罐周長(zhǎng)是 12m，高 AB 是 5m，要從點(diǎn) A 處開(kāi)始繞油罐一周建造梯子，正 好到達(dá) A 點(diǎn)的正上方 B 處，問(wèn)梯子最短有多長(zhǎng)？BcBA A析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=52+122=13m變式 2： 桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高為 12 厘米，底面周長(zhǎng) 18 厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口 3 厘米 的 A 處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面 3 厘米的 B 處時(shí)， 突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問(wèn)小蟲(chóng)至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。AAABB析

14、：展開(kāi)圖如圖所示，做 A 點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn) A 92+122=15 厘米3.正方體問(wèn)題（1）如圖，邊長(zhǎng)為 1 的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn) A 出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn) B 的最短距離是 （ ）.（A）3（B）5（C）2（D）1BCAC1A2B析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=12+22=54.長(zhǎng)方體問(wèn)題1）將右側(cè)面展開(kāi)與下底面在同一平面內(nèi)，求得其路程62 2 22 2 22 2 22） 將前表面展開(kāi)與上表面在同一平面內(nèi)，求得其路程3） 將上表面展開(kāi)與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，求得其路程了然后進(jìn)行比較大小，即可得到最短路程.（1）有一長(zhǎng)、寬、高分別是5cm，4cm，3cm 的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)

15、方體的一個(gè)頂點(diǎn) A 處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和 A 相對(duì)的頂點(diǎn) B 處，則 需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為（ ）A5 cm Bcm C4 cm D3 cm分析：把此長(zhǎng)方體的一面展開(kāi)，在平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短利用勾股定理求點(diǎn) A 和 B 點(diǎn)間的線段長(zhǎng)， 即可得到螞蟻爬行的最短距離在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的高，另一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng) 方體的長(zhǎng)寬之和，利用勾股定理可求得解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線（1） 展開(kāi)前面、右面，由勾股定理得 AB =（5+4） +3 =90；（2） 展開(kāi)前面、上面，由勾股定理得 AB =（3+4） +5

16、=74；（3） 展開(kāi)左面、上面，由勾股定理得 AB =（3+5） +4 =80；所以最短路徑長(zhǎng)為cm（2）如圖是一個(gè)長(zhǎng) 4m，寬 3m，高 2m 的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的 A 處（長(zhǎng)的四等分）有一只壁虎，B 處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處 最短距離為（ ）A4.8 BC5 D分析：先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知 解：有兩種展開(kāi)方法：將長(zhǎng)方體展開(kāi)成如圖所示，連接 A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB= =；將長(zhǎng)方體展開(kāi)成如圖所示，連接 A、B，則 AB= 所以最短距離 5=5 ；711; AC =2o（3） 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn) A 出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂

17、點(diǎn) C 處（三條棱長(zhǎng)如圖 所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？析：展開(kāi)圖如圖所示，25 <29 < 37D1C1路線 1 即為所求。A1AD4BB121C長(zhǎng)、寬、高中，較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最長(zhǎng)的邊作為另 一條直角邊， 斜邊長(zhǎng)即為最短路線長(zhǎng)。D C1 1D C2A B4AC =42+32 =25 1A B C1 1 11A 4 B 2 C 62+12 =371;D D C1 1A 1 A 4 B1 1AC =52+2 =29 . 1例：如圖，AB 為O 直徑，AB=2，OC 為半徑，OCAB,D 為 AC三等分點(diǎn)，點(diǎn) P 為 OC 上的動(dòng)點(diǎn)，求 AP+PD 的最小值。分折：作 D 關(guān)于 OC 的對(duì)稱點(diǎn) D，于是有 PA+PDAD,（當(dāng)且僅當(dāng) P 運(yùn)動(dòng)到 P 處